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高考历来都把“源于教材，高于教材”作为命题时遵循的原则，随着课程改革、高考改革的深入进行，这个原则加以坚持并且力度持续增强．新高考数学考查的学科素养提炼为理性思维，数学应用，数学探究和数学文化，其中数学文化作为素养考查的四大内涵之一，以数学文化为背景的试题将是新高考的必考内容，如何将教材中蕴涵的数学文化与高考试题衔接将是广大师生共同面临的问题．
一、中华传统文化中的数列问题
(1)(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏　　　　　　 B．3盏
C．5盏 D．9盏
(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
[解析]　(1)每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3．
(2)由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n．设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3 402，故选C．
[答案]　(1)B　(2)C
[试题分析]　本题(1)直接源于我国古代数学名著《算法统宗》中的一首七绝，这表明我国古代数学家很早就对等差、等比数列概念有足够的认识，并且在我国的古代数学名著《九章算术》《孙子算经》《张丘建算经》等书中记载了很多有趣的数列问题．该题现已收录到教科书人教A版选择性必修第二册第55页第4题中．
本题(2)源于教科书选择性必修第二册第12页等差数列的概念中的情境导入材料．
由此可知，高考试题中渗透中华优秀传统文化，可以积极培育社会主义核心价值观，践行文化自信理念，发挥高考育人功能和积极的导向作用．
二、源于世界数学名题的高考试题
(湖北高考)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为________．
[解析]　因为a1为正整数，由数列{an}的递推公式可得数列{an}各项均为正整数．所以a6＝1 a5＝2 a4＝4 a3＝8或a3＝1，当a3＝8时，可知a2＝16 a1＝32或a1＝5．当a3＝1时，可知a2＝2 a1＝4，因此a1即m所有可能的取值为4,5,32．
[答案]　4,5,32
[试题分析]　本题源于教科书选择性必修第二册第56页9题．以背景3x＋1设置问题(也称角谷猜想、克拉茨问题、叙拉古问题)，是至今尚未解决的世界数学难题之一．求解本题的关键是理解题意，一个正自然数，如果它是偶数，那么用2除它；如果是奇数，则将它乘以3以后再加上1，这样不断地运算下去，最终必然得到“1”．通过本题，加强对递推公式的理解，同时激励学生学会探索，勇于创新的良好品格．
[高考还曾这样考]
1．五位同学围成一圈依次循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．
已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．
解析：先列出前若干个数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，可以发现第4个、第8个、第12个数能被3整除．由此猜想第4k(k∈N*，k≤25)个数能被3整除．因为依次循环报数中，甲同学为第一个报数，故甲同学所报的数为第1个，第6个，…，第(5t－4)(t∈N*，t≤20)个，…，第96个数，令4k＝5t－4，得4(k＋1)＝5t，故t只能取4,8,12,16,20，即甲同学拍手的总次数为5．
答案：5
2．Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28．记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0．9]＝0，[lg 99]＝1．
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
解：(1)设数列{an}的公差为d，由已知得7＋21d＝28，解得d＝1．
所以数列{an}的通项公式为an＝n．
b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2．
(2)因为bn＝
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893．
总之，教科书中蕴涵有丰富的数学文化，命题者通过对教科书中的知识进行适度延伸、变式拓展、多题揉合、背景材料的加工提炼、思想方法的类比应用等手段，命制出即蕴涵数学文化又考查目标明确的高考试题．
[高考还可这样考]
1．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，{x}＝x－[x]，则，，(　　)
A．是等差数列但不是等比数列
B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
解析：B　因为＝，＝1，于是根据等比中项有2＝·，故选B．
2．满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)的数列{an}称为斐波那契数列，又称黄金分割数列．依次以斐波那契数列{an}各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线(也称“黄金螺旋线”)．如图，圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，则阴影部分面积与扇形OAB面积的比值为(　　)
A．　　 B．　　　C．　　 D．
解析：C　由题意得，a1＝a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，则阴影部分面积为(a＋a＋a＋a＋a)＝×(12＋12＋22＋32＋52)＝10π，扇形OAB的面积为＝16π，所以所求比值为＝．故选C．
3．(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了球体堆垒的形状，后人称为“三角垛”(其平面图形如图所示)，其中最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设从上到下各层球数构成数列{an}，则下列说法正确的是(　　)
A．a4＝12 B．an＋1＝an＋n＋1
C．a100＝5 050 D．2an＋1＝an·an＋2
解析：BC　由题意归纳可知，an＝．则a4＝＝10，故A错误．an＋1＝an＋n＋1，故B正确．a100＝＝5 050，故C正确．2an＋1＝(n＋1)·(n＋2)，an·an＋2＝，显然2an＋1＝an·an＋2不恒成立，故D错误．故选B、C．

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