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逻辑推理——平面向量与三角形的“四心”
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质．通过学习平面向量与三角形“四心”的推论，提升学生的逻辑推理能力．
三角形的“四心”
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝；
(2)O为△ABC的重心 ＋＋＝0；
(3)O为△ABC的垂心 ·＝·＝·；
(4)O为△ABC的内心 ||·＋||·＋||·＝0．
一、平面向量与三角形的“重心”问题
　已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)
A．△ABC的内心　　　 B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心 D．AB边的中点
[解析]　取AB的中点D，则2＝＋，∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
[答案]　C
二、平面向量与三角形的“外心”问题
　(2022·沈阳质检)在△ABC中，O为其外心，·＝，且 ＋＋＝0，则边AC的长是________．
[解析]　设△ABC外接圆的半径为R，∵O为△ABC的外心，∴||＝||＝||＝R，又 ＋ ＋＝0，则 ＋＝－，∴32＋2＋2 ·＝72，从而·＝R2，又·＝，所以R2＝2，又·＝||||cos∠AOC＝R2cos∠AOC＝
，∴cos∠AOC＝，∴∠AOC＝，在△AOC中，由余弦定理得AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOC＝R2＋R2－2R2×＝(2－)R2＝4－2．所以AC＝－1．
[答案]　－1
三、平面向量与三角形的“垂心”问题
　(2022·济南质检)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足＝＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(,||cos B)＋\f(||,||cos C)))，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．重心　　 B．外心　　　C．垂心　　 D．内心
[解析]　－＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(,||cos B)＋\f(,||cos C)))，＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(,||cos B)＋\f(,||cos C)))，·＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(·,||cos B)＋\f(·,||cos C)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(||||cos π－B ,||cos B)＋\f(||||cos C,||cos C)))＝λ(－||＋||)＝0，所以⊥，动点P在BC的高线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，故选C．
[答案]　C
四、平面向量与三角形的“内心”问题
　(2022·海南模拟)在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0,1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A． B．
C．4 D．6
[解析]　根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7．设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝．故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝．
[答案]　B
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，则x＝(　　)
A．－2　　 B．±　　　C．±2　　 D．2
解析：C　法一：a＋b＝(1＋x,3)，a－b＝(1－x,1)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(1＋x)(1－x)＋3＝0，解得x＝±2．
法二：因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|a|＝|b|，所以x＝±2．故选C．
2．(2022·淄博三模)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|2a＋b|＝(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．
C．7 D．
解析：D　由已知可得|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，则a·b＝，因此，|2a＋b|＝＝＝．故选D．
3．(2022·襄阳期中)在水流速度10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为(　　)
A．北偏西30°，20 km/h
B．北偏西60°，10 km/h
C．北偏东30°，10 km/h
D．北偏东60°，20 km/h
解析：A　如图，船从点O出发，沿方向行驶才能垂直到达对岸，||＝10，||＝10，则||＝＝20，则cos∠BOC＝eq \f(||,||)＝，因为∠BOC为锐角，故∠BOC＝30°，故船以20 km/h的速度，以北偏西30°的方向行驶，才能垂直到达对岸．故选A．
4．(2022·金陵月考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a＝(1,0)，则满足不等式2＋a·≤0的点A(x，y)构成的集合用阴影表示为(　　)
解析：B　∵A(x，y)，向量与关于y轴对称，∴B(－x，y)，＝(－2x,0)．∵2＋a·≤0，∴x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1≤0，故满足要求的点A(x，y)在以(1,0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．故选B．
5．(多选)(2022·滕州模拟)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是(　　)
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
解析：BD　由于b，c是不共线的向量，因此(a·b)c与(c·a)b相减的结果应为向量，故A错误；由于a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，因此B正确；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，故C中两向量垂直，故C错误；根据向量数量积的运算可以得出D是正确的．故选B、D．
6．(多选)(2022·青岛质检)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(2，t)，下列说法正确的是(　　)
A．若(a＋b)∥c，则t＝6
B．若(a＋b)⊥c，则t＝
C．若t＝1，则cos〈a，c〉＝
D．|a＋c|<3
解析：BC　a＋b＝(－1,3)，若(a＋b)∥c，则－t－6＝0，所以t＝－6，故A错误；
若(a＋b)⊥c，则－2＋3t＝0，所以t＝，故B正确；
若t＝1，则cos〈a，c〉＝＝＝，故C正确；
a＋c＝(3，t＋2)，则|a＋c|＝≥3，故D错误．故选B、C．
7．在四边形ABCD中，＝(3，－1)，＝(2，m)，⊥，则该四边形的面积是________．
解析：由题意，向量＝(3，－1)，＝(2，m)，由⊥，可得·＝3×2＋(－1)×m＝0，解得m＝6，所以四边形的面积为||·||＝ ·＝10．
答案：10
8．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝．又因为0≤θ≤π，所以θ＝，则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6．
答案：　6
9．(2022·淮安模拟)已知平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝，平面内动点E，满足|ED|＝2|EC|，则(－)·的取值范围为________．
解析：∵平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝，∴建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(5，2)，D(2,2)，设E(x，y)，∵平面内动点E满足|ED|＝2|EC|，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4[(x－5)2＋(y－2)2]，即(x－6)2＋(y－2)2＝4，∴(x－6)2≤4 4≤x≤8，∴(－)·＝·＝(3,0)·(x，y)＝3x∈[12,24]．
答案：[12,24]
10．(2022·天津模拟)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
解：(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题意知C，
所以＋＝，所以|＋|2＝2＋(0≤t≤1)，
所以当t＝时，|＋|最小，最小值为．
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1，即m·n取得最小值1－．
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝．
B级——综合应用
11．(多选)引入平面向量之间的一种新运算“ ”如下：对任意的向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，规定m n＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的有(　　)
A．a b＝b a B．(λa) b＝λ(a b)
C．a·(b c)＝(a b)·c D．|a|·|b|≥|a b|
解析：ABD　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)．A项，因为a b＝x1x2－y1y2，b a＝x2x1－y2y1，所以a b＝b a，故正确；
B项，因为(λa) b＝(λx1)x2－(λy1)y2＝λ(x1x2－y1y2)＝λ(a b)，故正确；
C项，a·(b c)＝(x2x3－y2y3)a，(a b)·c＝(x1x2－y1y2)c，此时a·(b c)＝(a b)·c不恒成立，故错误；
D项，因为(|a|·|b|)2＝( ·)2＝xx＋yy＋xy＋xy，|a b|2＝xx＋yy－2x1x2y1y2，所以(|a|·|b|)2－|a b|2＝xy＋xy＋2x1x2y1y2＝(x1y2＋x2y1)2≥0，所以(|a|·|b|)2－|a b|2≥0，且|a|·|b|≥0，|a b|≥0，所以|a|·|b|≥|a b|，故正确，故选A、B、D．
12．(2022·本溪模拟)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，·的最大值为(　　)
A．8 B．2
C．4 D．4
解析：C　以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(－8,0)，B(－6,2)，C(－2,2)．圆D的方程为x2＋y2＝3，可设P(cos α，sin α)，所以＝(2,2)，＝(cos α＋6，sin α－2)．故·＝2cos α＋12＋6sin α－12＝4sin≤4．故选C．
13．(2022·珠海模拟)已知平面向量a＝(，)，则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为________．(写出满足条件的一个向量即可)
解析：设b＝(x，y)，∴a·b＝x＋y＝··，∴＝x＋y，∴xy＝0，且b为非零向量，∴x＝1，y＝0满足题意，∴b＝(1,0)．
答案：(1,0)(答案不唯一，满足b＝(x，y)，xy＝0且x2＋y2≠0的任意一个均可)
14．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2CD＝3，AD＝2，若EF在线段AB上运动，且EF＝1，则·的最小值为________．
解析：如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C，D(0,2)，不妨设E(t,0)，F(t＋1,0)(0≤t≤2)，则＝，＝，∴·＝·＝×＋4＝(t－1)2＋(t∈[0,2])，∴·的最小值为，当且仅当t＝1时取得．
答案：
15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，分别将边BC与DC等分成8份，并将等分点自下而上依次记作E1，E2，…，E7，自左到右依次记作F1，F2，…，F7，满足·≤2(其中i，j∈N*,1≤i，j≤7)的有序数对(i，j)共有________对．
解析：以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则Ei，Fj(其中i，j∈N*,1≤i，j≤7)，由·≤2得＋≤2，即i＋4j≤16．当j＝1,2时，i＝1,2，…，7，共2×7＝14对；当j＝3时，i＝1,2,3,4，共4对，故满足题意的有序数对(i，j)共有18对．
答案：18
16．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2) ))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2) ))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2) ))＝0，
得||2－||2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简，得＋＝1．
所以点P的运动轨迹为椭圆，其方程为＋＝1．
(2)因为·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝2－2＝2－1，
P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(x0，y0)，
则有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，
所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17
＝－(y0＋3)2＋20．
因为y0∈[－2，2]，所以当y0＝－3时，2取得最大值20，故·的最大值为19；
当y0＝2时，2取得最小值13－4(此时x0＝0)，故·的最小值为12－4．

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