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第八章 机械能守恒定律
8.3 动能和动能定理
新课引入
思考：物体的动能与哪些因素有关？是什么样的关系？
物体的动能跟物体的质量和速度都有关系。物体的质量越大，速度越大，它的动能就越大。
一、探找物体动能表达式
设质量为m的某物体，在与运动方向总相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2，如图所示。试寻求这个过程中力F做的功与v1、v2的关系？
l
F
F
v1
v2
一、探找物体动能表达式
F合=m a
v22-v12
2a
S =
v22-v12=2as
一、探找物体动能表达式
初态和末态的表达式均为“mv2/2”，这个“mv2/2”代表什么？
一、探找物体动能表达式
（1）定义：在物理学中用 这个量表示物体的动能。
（2）公式：
（3）单位：在国际单位制中是焦耳，符号为J。1 kg(m/s)2＝1 N·m＝1 J。
1、动能的表达式
一、探找物体动能表达式
1、动能的表达式
（4）动能是标量，且只有正值，动能只与物体的速度大小有关，与速度方向无关。
（5）动能是状态量.V是瞬时速度。在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能。
（6）动能具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，也就具有不同的动能，一般都以地面为参考系研究物体的运动。
二、动能定理
1. 动能定理：合外力在一个过程中对物体所做的总功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2. 表达式：
合力做的功
末态的动能
初态的动能
(1) 因果关系：前因后果；
(2)数量关系：功能互求；
(3)同一性：位移l 与速度v 相对同一参考系，通常选地面。
① W＞0， Ek2__ Ek1 ， △ Ek—— 0
② W＜0， Ek2__ Ek1 ， △ Ek—— 0
＞
＞
＜
＜
3. 理解：
如果物体受到几个力的共同作用，动能定理中的力对物体做的功W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。
4.
二、动能定理
②分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况，然后求各个力做功的代数和:W总
明确始末状态初动能Ek1 ，末动能Ek2 根据动能定理列出方程:
W总＝Ek2—Ek1
④根据动能定理列方程求解并检验。
3、应用动能定理解题的一般步骤
① 明确研究对象，明确运动过程。
课堂小结
典例探究
【例题 1】一架喷气式飞机，质量 m 为 7.0×104 kg，起飞过程中从静止开始滑跑。当位移 l 达到 2.5×103m 时，速度达到起飞速度 80 m/s。在此过程中，飞机受到的平均阻力是飞机所受重力的1/50。g 取10 m/s2 ，求飞机平均牵引力的大小。
F牵
f 阻
l
x
o
v
解： 以飞机为研究对象， 设飞机滑跑的方向为x轴正方向。飞机的初动能Ek1＝0，末动能： ，合力 F 做的功：
根据动能定理： ,有：
由于 ，
把数值代入后得到：
典例探究
【例题 1】一架喷气式飞机，质量 m 为 7.0×104 kg，起飞过程中从静止开始滑跑。当位移 l 达到 2.5×103m 时，速度达到起飞速度 80 m/s。在此过程中，飞机受到的平均阻力是飞机所受重力的1/50。g 取10 m/s2 ，求飞机平均牵引力的大小。
F牵
f 阻
l
x
o
v
从这个例题可以看出，动能定理不涉及物体运动过程中的加速度和时间，因此用它处理问题常常比较方便。
在应用动能定理时还应该注意到，力对物体做的功可以为正值，也可以为负值。合力做正功时，物体的动能增加；合力做负功时，物体的动能减少。
典例探究
【例题2】人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实。设某次打夯符合以下模型：两人同时通过绳子对重物各施加一个力，力的大小均为320N，方向都与竖直方向成37°，重物离开地面30cm后人停止施力，最后重物自由下落把地面砸深2cm。已知重物的质量为50kg，g取10m/s2，cos37°＝0.8。求：
（1）重物刚落地时的速度是多大？
（2）重物对地面的平均冲击力是多大？
典例探究
解：（1）两根绳子对重物的合力：
（2）由E到F的过程中，应用动能定理可得：
重物落地时的速度大小为2.5 ｍ/s，对地面的平均冲击力的大小为8.3 × 103 Ｎ。
F合＝ 2Fcos 37°＝2×320×0.8N＝512N
由A至E的过程中，应用动能定理可得：
典例探究
例3．质量不等，但有相同动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平地面上滑行，直至停止，下列说法正确的是（　　）
A．质量大的物体滑行的距离大
B．质量大的物体滑行的时间长
C．质量大的物体滑行的加速度大
D．它们克服摩擦力所做的功一样多
D
典例探究
例4、某滑沙场有两个坡度不同的滑道AB和AB′（均可看作斜面），甲、乙两名旅游者分别乘两个完全相同的滑沙橇从A点由静止开始分别沿AB和AB′滑下，最后甲停在水平沙面上的C处，如图所示。设滑沙橇和沙面间的动摩擦因数处处相同，斜面与水平面连接处均可认为是圆滑的，滑沙者保持一定姿势坐在滑沙撬上不动。则下列说法中正确的是（　　）
A．甲在B点的动能一定等于乙在B′点的动能
B．甲在B点的速率一定大于乙在B′点的速率
C．甲滑行的总路程一定等于乙滑行的总路程
D．最后乙停在C处的左边
B
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8.3 动能与动能定理
【基础题组】
将的物体从沙坑表面上方处由静止释放，经一段时间后，物体落入沙坑，测得落入沙坑的深度为。若忽略空气阻力，取，则物体克服沙坑的阻力所做的功为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以物体从开始运动到落到落入沙中停止为研究过程，重力和沙的阻力做功，
根据动能定理，可得：，
即：，
代入数据解得：，则物体克服沙坑的阻力所做的功为。
如图，用同种材料制成的一个轨道，段为四分之一圆弧，半径为，水平放置的段长为。一个物块质量为，与轨道的动摩擦因数为，它由轨道顶端从静止开始下滑，恰好运动到端停止，物块在段克服摩擦力做功为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
设物块在段克服摩擦力做功为，
从到由动能定理可得，
整理可得，
故选B。
质量为的物体受到水平拉力的作用，在光滑的水平面上由静止开始做直线运动，运动过程中物体的加速度随时间变化的规律如图所示。则下列判断正确的是
A. 第末物体的动能为 B. 第末拉力反向
C. 第末速度为 D. 前内拉力做功为
【答案】C
【解析】A.根据图象与时间轴所围的面积表示速度的变化量，由静止开始做直线运动，第末物体的速度为，故动能，故A错误；
B.第末加速度变小，但依然为正，故拉力减小，但并没有反向，故B错误；
C.根据图象与时间轴所围的面积表示速度的变化量，由静止开始做直线运动，故第末速度为，故C正确；
D.根据图象可知，第末物体的速度为，根据动能定理，前内拉力做功为，故D错误；
故选C。
如图所示，质量为的物体，由高处无初速滑下，至水平面上点静止，不考虑点处能量转化，若施加平行于路径的外力使物体由点沿原路径返回点，则外力至少做功为
A. B.
C. D. 条件不足，无法计算
【答案】B
【解析】
在下滑过程中有动能定理可知：
在上滑过程中，有动能定理可知：
联立解得，故B正确，ACD错误。
故选B。
某同学在操场上踢足球，足球质量为，该同学将足球以速度从地面上的点踢起，最高可以到达离地面高度为的点位置，从到足球克服空气阻力做的功为，选地面为零势能的参考平面，则下列说法中正确的是
A. 足球从到机械能守恒
B. 该同学对足球做的功等于
C. 足球在点处的机械能为
D. 足球在点处的动能为
【答案】D
【解析】
足球从到过程，足球克服空气阻力做的功为，足球从到机械能不守恒，故A错误；
该同学将足球以速度从地面上的点踢起，由动能定理可知该同学对足球做的功，故B错误；
选地面为零势能面，足球在点处的机械能，故错误；
对足球从到的过程中应用动能定理可得：，解得足球在点处的动能为：，故正确。
关于动能定理，下列说法中正确的是
A. 在某过程中，外力做的总功等于各个力做功的绝对值之和
B. 只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
C. 动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D. 动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况
【答案】D
【解析】外力做的总功等于各个力做功的代数和，错；
根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，错；
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况，错，对。
故选D。
小孩玩冰壶游戏，如图所示，将静止于点的冰壶视为质点沿直线用水平恒力推到点放手，此后冰壶沿直线滑行，最后停在点．已知冰面与冰壶的动摩擦因数为，冰壶质量为，，重力加速度为求：
冰壶在点的速率；
冰壶从点运动到点的过程中受到小孩施加的水平推力．
【答案】
解：冰壶从到过程，由动能定理得：
，
解得：；
从到过程，由动能定理得：
解得：
如图所示，轨道的部分光滑，与水平部分相切，、之间的距离为；轨道右侧有一个半径的四分之一的圆弧轨道，点为其圆心，为圆弧上的一点，与水平方向的夹角为。现将一质量的滑块从轨道上某点由静止释放，滑块与段的动摩擦因数，滑块从点水平飞出后落到点。不计空气阻力和滑块的形状大小，取重力加速度为，，。求：
滑块落到点时的动能；
释放滑块的位置距离平面的竖直高度。
【答案】
解：
设滑块经过点的速度为，从点到点做平抛运动，则有


解得
从到，据动能定理可得

解得
从释放点到，据动能定理可得

解得
【能力提升】
如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为的圆环相连，圆环套在倾斜的粗糙固定杆上，杆与水平面之间的夹角为，圆环在处时弹簧竖直且处于原长．将圆环从处静止释放，到达处时速度为零．若圆环在处获得沿杆向上的速度，恰好能回到已知，是的中点，弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为，则下列说法正确的是
A. 下滑过程中，环受到的合力不断减小
B. 下滑过程中，环与杆摩擦产生的热量为
C. 从到过程，弹簧对环做功为
D. 环经过时，上滑的速度小于下滑的速度
【答案】C
【解析】
A.圆环从处由静止开始下滑，初速度为零，到达处的速度为零，所以圆环先做加速运动，再做减速运动，所以加速度先减小至零，后反向增大，则合力先减小后增大，故A错误；
B.圆环从处由静止开始下滑到过程，由动能定理得：
在处获得一竖直向上的速度，恰好能回到，运用动能定理列出等式
联立解得：，所以产生的热量为，故B错误；
C.从到过程，由动能定理得，，
联立解得：弹簧对环做功为，故C正确；
D.研究圆环从处由静止开始下滑到过程，运用动能定理列出等式
研究圆环从处上滑到的过程，运用动能定理列出等式
。
即得。
由于，所以有，则环经过时，上滑的速度大于下滑的速度，故D错误。
如图所示，图线表示作用在某物体上的合外力随时间变化的关系，若物体开始时是静止的，那么
A. 从开始，内物体的动能变化量为零
B. 在前内只有第末物体的动能最大
C. 在前内只有第末物体的速率最大
D. 前内合外力对物体做的功为零
【答案】D
【解析】
设质量为，第一秒加速度为，加速度为，作出速度时间图象如图所示：
A.由图象可知，前内的动能变化量不为零，故A错误；
末及末速度相等且最大，则动能最大，故BC错误；
D.前内动能增加量为零，故合外力对物体做的功为零，故D正确。
故选D。
如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率顺时针匀速运动一质量为的滑块从传送带右端以水平向左的速率滑上传送带，最终滑块又返回至传送带的右端关于上述过程，下列判断正确的是
A. 滑块返回传送带右端时的速率为
B. 此过程中传送带对滑块做功为
C. 此过程中电动机做功为
D. 此过程中滑块与传送带间因摩擦产生的热量为
【答案】BD
【解析】
A.由于传送带足够长，物体减速向左滑行，直到速度减为零，然后物体会在滑动摩擦力的作用下向右加速，由于，物体会先在滑动摩擦力的作用下加速，当速度增大到等于传送带速度时，物体还在传送带上，之后不受摩擦力，故物体与传送带一起向右匀速运动，
有；故A错误；
B.此过程中只有传送带对滑块做功根据动能定理得：，故B正确；
D.设滑块向左运动的时间，位移为，则：
摩擦力对滑块做功：
又摩擦力做功等于滑块动能的减小，即：
该过程中传送带的位移：
摩擦力对滑块做功：
将代入得：
设滑块向右运动的时间，位移为，则：
摩擦力对滑块做功：
该过程中传送带的位移：
滑块相对传送带的总位移：
滑动摩擦力对系统做功：
滑块与传送带间摩擦产生的热量大小等于通过滑动摩擦力对系统做功，，故D正确；
C.全过程中，电动机对皮带做的功与滑块动能的减小量等于滑块与传送带间摩擦产生的热量，即
整理得：，故C错误。
故选BD。
如图所示，一水平方向足够长的传送带以恒定的速度沿顺时针方向转动，传送带右端有一个与传送带等高的光滑水平面，一物体以恒定的速率沿直线向左滑上传送带后，经过一段时间又返回光滑水平面，速率为，则在整个运动过程中，下列说法正确的是
A. 若，则
B. 若时，摩擦力对物体做功为零
C. 若时，则传送带与物体摩擦生热为
D. 其中在物体向左运动过程中，传送带与物体摩擦生热为
【答案】BD
【解析】
解：由于传送带足够长，物体匀减速向左滑行，直到速度减为零，然后物体会在滑动摩擦力的作用下向右匀加速，分三种情况讨论：
A.如果，返回时物体会一直向右匀加速，根据对称性，知当速度大小增大到等于时，物体恰好离开传送带，则有，故A错误；
B.如果，根据动能定理可得：摩擦力对物体做功为，故B正确；
若时，设物体所受的摩擦力大小为，物体向左运动的加速度大小，时间
物体向左运动的位移，传送带的位移，摩擦生热，物体向右运动时，运动时间为，物体向右运动的位移，传送带的位移，摩擦生热，故传送带与物体摩擦生热共为，故C错误，D正确。
故选BD。
某同学在操场上踢足球，足球质量为，该同学将足球以速度从地面上的点踢起，最高可以到达离地面高度为的点位置，从到足球克服空气阻力做的功为，选地面为零势能的参考平面，则下列说法中正确的是
A. 足球从到机械能守恒
B. 该同学对足球做的功等于
C. 足球在点处的机械能为
D. 足球在点处的动能为
【答案】BD
【解析】
A.足球从到过程，足球克服空气阻力做的功为，足球从到机械能不守恒，故A错误；
B.该同学将足球以速度从地面上的点踢起，该同学对足球做的功，故B正确；
C.选地面为零势能面，足球在点处的机械能，故C错误；
D.对足球从到的过程中应用动能定理可得：，解得足球在点处的动能为：，故D正确。
故选BD。
如图所示，半径为的竖直光滑圆轨道与光滑水平轨道相切，质量均为的小球、用轻杆连接，置于圆轨道上，位于圆心的正下方，与点等高某时刻将它们由静止释放，最终在水平面上运动。下列说法正确的是
A. 下滑过程中重力对做功的功率一直增大
B. 当滑到圆轨道最低点时的速度为
C. 整个过程中轻杆对做的功为
D. 下滑过程中的机械能增加
【答案】BC
【解析】
A.因为初位置速度为零，则重力的功率为，最低点速度方向与重力的方向垂直，重力的功率为零，可知重力的功率先增大后减小。故A错误；
B.小球组成的系统，在运动过程中，机械能守恒，设到达轨道最低点时速度为，根据机械能守恒定律得：，解得：，故B正确；
C.整个过程中对，根据动能定理得：，故C正确；
D.下滑过程中，的重力势能减小，动能增加量，所以机械能减小，故D错误。
故选BC。
质量的物体水平拉力的作用下，在粗糙水平面上以初速度开始运动，经过位移为时，撤去拉力，物体运动到位移为时停止运动，运动过程中的动能随位移的变化关系的图线如图所示，取，下列说法正确的是
A. 拉力做功等于整个过程克服摩擦力做功
B. 物体初速度
C. 滑动摩擦力
D. 拉力
【答案】CD
【解析】
A.由题意并根据功能关系可知，初动能加上拉力做的功等于克服摩擦力做功，故拉力做功小于整个过程克服摩擦力做功，故A错误；
B.由图线可知初始动能为，根据，可求出物体初速度，故B错误；
C.减速阶段根据动能定理可得，解得，故C正确；
D.加速阶段根据动能定理得，解得，故D正确。
故选CD。
如图甲所示，光滑斜面与倾斜传送带在点相接，且在一条直线上，与水平面夹角，轻质弹赁下端固定在点，上端可自由伸长到点在点放一个物体，在力的作用下向下缓慢压缩弹簧到点，该过程中力随压缩距离的变化如图乙所示．已知物体与传送带间动牌擦因数，传送带部分长为，顺时针转动，速度，重力加速度取 ， 求：
物体的质量；
弹簧从点被压缩到点过程中力所做的功；
若在点撤去力，物体被弹回并滑上传送带，同物体在传送带上最远能到何处
【答案】
解：由图象可知：
解得：
图乙中图线与横轴所围成的面积表示力所做的功，为：
。
撒去力，设物体返回至点时速度大小为，
从出发再次返回处的过程应用动能定理得：
解得：
由于，物块所受摩擦力沿传送带向下，设此阶段加速度大小为，由牛顿第二定律得：

解得：
速度减为时，设沿斜面向上发生的位移大小为，由运动学规律得：
解得：
此后摩擦力改变方向，由于，所以物块所受合外力仍沿传送带向下，设此后过程加速度大小为，再由牛顿第二定律得：

设之后沿斜面向上发生的最大位移大小为，由运动学规律得：
解得：
所以物块能够在传送带上发生的最大位移为：十
即恰好到达传送带顶端点
答：物体的质量是；
弹簧从点被压缩到点过程中力所做的功是；
若在点撤去力，物体被弹回并滑上传送带，物体在传送带上最远能到传送带顶端点。
如图所示，的截面为竖直平面内的圆弧轨道，半径为，点位于圆弧水平半径上。质量为的小滑块视为质点，从点由静止开始释放，它运动到点时速度为。当滑块经过后立即将圆弧轨道撤去。为光滑水平轨道，与光滑圆弧连接光滑换向轨道，通过光滑换向轨道由点过渡到倾角为、长的斜面上，之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在之间调节斜面底部点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在点，自然状态下另一端恰好在点设滑块通过和前后速度大小不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力取，，，不计空气阻力求：
滑块对点的压力大小以及在上克服阻力所做的功；
若设置，求质点通过点后运动的最大路程；
若最终滑块停在点，求的取值范围．
【答案】
解：在点，
解得
由牛顿第三定律，
从到，由动能定理，
解得
，因且
所以滑块在间运动，最终静止于点。
从到，由动能定理，
解得
最终滑块停在点有两种可能：
滑块恰好能从下滑到则有
，得到
滑块在斜面和水平地面间多次反复运动，最终静止于点当滑块恰好能返回：
得到
当滑块恰好能静止在斜面上，则有，得到
所以，当时，滑块能在和水平地面间多次反复运动，最终静止于点．
综上所述，的取值范围是或。
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8.3 动能与动能定理
【基础题组】
将的物体从沙坑表面上方处由静止释放，经一段时间后，物体落入沙坑，测得落入沙坑的深度为。若忽略空气阻力，取，则物体克服沙坑的阻力所做的功为
A. B. C. D.
如图，用同种材料制成的一个轨道，段为四分之一圆弧，半径为，水平放置的段长为。一个物块质量为，与轨道的动摩擦因数为，它由轨道顶端从静止开始下滑，恰好运动到端停止，物块在段克服摩擦力做功为
A. B.
C. D.
质量为的物体受到水平拉力的作用，在光滑的水平面上由静止开始做直线运动，运动过程中物体的加速度随时间变化的规律如图所示。则下列判断正确的是
A. 第末物体的动能为 B. 第末拉力反向
C. 第末速度为 D. 前内拉力做功为
如图所示，质量为的物体，由高处无初速滑下，至水平面上点静止，不考虑点处能量转化，若施加平行于路径的外力使物体由点沿原路径返回点，则外力至少做功为
A. B.
C. D. 条件不足，无法计算
某同学在操场上踢足球，足球质量为，该同学将足球以速度从地面上的点踢起，最高可以到达离地面高度为的点位置，从到足球克服空气阻力做的功为，选地面为零势能的参考平面，则下列说法中正确的是
A. 足球从到机械能守恒
B. 该同学对足球做的功等于
C. 足球在点处的机械能为
D. 足球在点处的动能为
关于动能定理，下列说法中正确的是
A. 在某过程中，外力做的总功等于各个力做功的绝对值之和
B. 只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
C. 动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D. 动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况
小孩玩冰壶游戏，如图所示，将静止于点的冰壶视为质点沿直线用水平恒力推到点放手，此后冰壶沿直线滑行，最后停在点．已知冰面与冰壶的动摩擦因数为，冰壶质量为，，重力加速度为求：
冰壶在点的速率；
冰壶从点运动到点的过程中受到小孩施加的水平推力．
如图所示，轨道的部分光滑，与水平部分相切，、之间的距离为；轨道右侧有一个半径的四分之一的圆弧轨道，点为其圆心，为圆弧上的一点，与水平方向的夹角为。现将一质量的滑块从轨道上某点由静止释放，滑块与段的动摩擦因数，滑块从点水平飞出后落到点。不计空气阻力和滑块的形状大小，取重力加速度为，，。求：
滑块落到点时的动能；
释放滑块的位置距离平面的竖直高度。
【能力提升】
如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为的圆环相连，圆环套在倾斜的粗糙固定杆上，杆与水平面之间的夹角为，圆环在处时弹簧竖直且处于原长．将圆环从处静止释放，到达处时速度为零．若圆环在处获得沿杆向上的速度，恰好能回到已知，是的中点，弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为，则下列说法正确的是
A. 下滑过程中，环受到的合力不断减小
B. 下滑过程中，环与杆摩擦产生的热量为
C. 从到过程，弹簧对环做功为
D. 环经过时，上滑的速度小于下滑的速度
如图所示，图线表示作用在某物体上的合外力随时间变化的关系，若物体开始时是静止的，那么
A. 从开始，内物体的动能变化量为零
B. 在前内只有第末物体的动能最大
C. 在前内只有第末物体的速率最大
D. 前内合外力对物体做的功为零
如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率顺时针匀速运动一质量为的滑块从传送带右端以水平向左的速率滑上传送带，最终滑块又返回至传送带的右端关于上述过程，下列判断正确的是
A. 滑块返回传送带右端时的速率为
B. 此过程中传送带对滑块做功为
C. 此过程中电动机做功为
D. 此过程中滑块与传送带间因摩擦产生的热量为
如图所示，一水平方向足够长的传送带以恒定的速度沿顺时针方向转动，传送带右端有一个与传送带等高的光滑水平面，一物体以恒定的速率沿直线向左滑上传送带后，经过一段时间又返回光滑水平面，速率为，则在整个运动过程中，下列说法正确的是
A. 若，则
B. 若时，摩擦力对物体做功为零
C. 若时，则传送带与物体摩擦生热为
D. 其中在物体向左运动过程中，传送带与物体摩擦生热为
某同学在操场上踢足球，足球质量为，该同学将足球以速度从地面上的点踢起，最高可以到达离地面高度为的点位置，从到足球克服空气阻力做的功为，选地面为零势能的参考平面，则下列说法中正确的是
A. 足球从到机械能守恒
B. 该同学对足球做的功等于
C. 足球在点处的机械能为
D. 足球在点处的动能为
如图所示，半径为的竖直光滑圆轨道与光滑水平轨道相切，质量均为的小球、用轻杆连接，置于圆轨道上，位于圆心的正下方，与点等高某时刻将它们由静止释放，最终在水平面上运动。下列说法正确的是
A. 下滑过程中重力对做功的功率一直增大
B. 当滑到圆轨道最低点时的速度为
C. 整个过程中轻杆对做的功为
D. 下滑过程中的机械能增加
质量的物体水平拉力的作用下，在粗糙水平面上以初速度开始运动，经过位移为时，撤去拉力，物体运动到位移为时停止运动，运动过程中的动能随位移的变化关系的图线如图所示，取，下列说法正确的是
A. 拉力做功等于整个过程克服摩擦力做功
B. 物体初速度
C. 滑动摩擦力
D. 拉力
如图甲所示，光滑斜面与倾斜传送带在点相接，且在一条直线上，与水平面夹角，轻质弹赁下端固定在点，上端可自由伸长到点在点放一个物体，在力的作用下向下缓慢压缩弹簧到点，该过程中力随压缩距离的变化如图乙所示．已知物体与传送带间动牌擦因数，传送带部分长为，顺时针转动，速度，重力加速度取 ， 求：
物体的质量；
弹簧从点被压缩到点过程中力所做的功；
若在点撤去力，物体被弹回并滑上传送带，同物体在传送带上最远能到何处
如图所示，的截面为竖直平面内的圆弧轨道，半径为，点位于圆弧水平半径上。质量为的小滑块视为质点，从点由静止开始释放，它运动到点时速度为。当滑块经过后立即将圆弧轨道撤去。为光滑水平轨道，与光滑圆弧连接光滑换向轨道，通过光滑换向轨道由点过渡到倾角为、长的斜面上，之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在之间调节斜面底部点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在点，自然状态下另一端恰好在点设滑块通过和前后速度大小不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力取，，，不计空气阻力求：
滑块对点的压力大小以及在上克服阻力所做的功；
若设置，求质点通过点后运动的最大路程；
若最终滑块停在点，求的取值范围．
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