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参数方程（知识讲解）
学习目标：
(1)了解参数方程的定义；
(2)掌握直线和圆的参数方程及其简单应用·
参数方程
设在平面上取定了一个直角坐标系x0y,把坐标x,表示为第三个变量的函数
需=()
1y=g(
t∈D
.(*)
如果对于的每一个值(t∈D),(*)式所确定的点M(,y)都在一条曲线上；而这条曲线上的
任一点M(,),都可以由的某个值通过(*)式得到，则称(*)式为该曲线的参数方程，其中
变量称为参数
参数方程
人g=√4一平（功参数）化为普通方程是
=t
答案
x2+=4y≥0)
解析
消元即可得到普通方程：x2+2=4(y≥0)·
二、
直线的参数方程
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y一物=k(e一0)，
其中k=tana(a为直线的倾斜角)，代入上式，得：
y-6=
cosa(-2∞)，a≠
sina
2
,即3-0=y-驰
cosa
记上式的比值为t,整理后得到：
花=0+tcosa
y=yo +tsin a
这就是直线的参数方程·
第1页（共5页）
【补充说明】
直线的参数方程中参数有明显的几何意义，如下图：
M(x.y)
y
y
Mo(xo-yo)
0
在t△AM中，MA=e-o,MA=y-物，MM=,即表示直线上任意一点
M(,)到定点M(e0,6)的距离.
2
若点P(2,4)在直线1：
∫=1+专（为参数）上，则a的值为(）·
ly=3-at
A.3
B.2
C.1
D.-1
答案
D
解析
直线1：
x=1+t(为参数)消参得=-ax+3+a,
y=3-at
把点P(2,4)代入直线，4=-2a+3+a,解得a=-1.
3
若直线的参数方程为
”=1+t其中为参数，则直线的斜率为
ly=1-2t1
答案
-2
解析
直线的参数方程为{工=1+t其中为参数，
1y=1-2t
·消去参数t得y-1=-2(e-1)，
则直线的斜率为-2.
第2页（共5页）
故答案为-2.
4
已知直线：
=1+3t(为参数)与直线划，：2m-4创=5相交于点B,又点A(1,2),则1AB=
y=2-4钻
答案
5
2
解析
由参数方程得：
4:,1=2-y
3
4
即4+3划-10=0，
联立/4红+3g-10=0
→
=
2x-4y=5
(y=0
,5
B(20),
又4，=侣+0-呼=
故答案为：2
三、圆的参数方程
圆心在点Mo(o,%)且半径为r的圆的参数方程为
龙=0十rc088
y=6十r8i血0
0≤0≤2r
5
花=2c089
y=2in0+2
的圆心坐标是()·
A.(0,2)
B.(2,0)
C.(0,-2)
D.(-2,0)
答案
解析
圆
花=2c088
y=2sin0+2'
利用同角三角函数的基本关系消去参数0，
化为直角直角坐标方程为x2+(y-2)2=4，
第3页（共5页）参数方程（知识讲解）
学习目标：
(1)了解参数方程的定义：
(2)掌握直线和圆的参数方程及其简单应用
参数方程
设在平面上取定了一个直角坐标系x0y,把坐标x,表示为第三个变量的函数
宠=f()
y=g()
t∈D
.(*)
如果对于的每一个值(t∈D),(*)式所确定的点M(,y)都在一条曲线上；而这条曲线上的
任一点M(,),都可以由的某个值通过(*)式得到，则称(*)式为该曲线的参数方程，其中
变量称为参数
参数方程
y=√4一（功参数)化为普通方程是
=t
二、
直线的参数方程
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y一物=k(x一0)。
其中k=tana(a为直线的倾斜角)，代入上式，得：
ag()
2,即54=y-6
cos o sino
记上式的比值为t,整理后得到：
花=0十tc08a
y=6十t sin a
这就是直线的参数方程·
【补充说明】
直线的参数方程中参数有明显的几何意义，如下图：
第1页（共3页）
M(x,)
y
Mo(xo:yo)
0
在Rt△AM中，MA=e-ol,MA=y-物，MM=,即表示直线上任意一点
M(,)到定点M6(0,%)的距离.
2
若点P(2,4)在直线1：
∫=1+t(伪参数)上，则a的值为（）·
ly=3-at
A.3
B.2
C.1
D.-1
3
若直线的参数方程为
”=1+七其中为参数，则直线的斜率为
y=1-2t1
已知直线1：
=1+3t(为参数)与直线2：2-4g=5相交于点B,又点A(1,2),则AB到=
y=2-4
三、圆的参数方程
圆心在点M(xo,%)且半径为r的圆的参数方程为
优=0+rc080
y=yo +rsin
0≤0≤2m
5
圆安=2cs0
ly=2sin0+2
的圆心坐标是()·
A.(0,2)
B.(2,0)
C.(0,-2)
D.(-2,0)
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6
在平面直角坐标系：0y中，已知迪线0，：{：-{在（功参数）与线6：
2=2+rcos9(0
y=1+rsin0
为参数，r>0)有一个公共点在轴上，则r=（)·
A.
B.2
C.2
D.1
7
在直线坐标系x0y中，曲线C,的参数方程为
花=C08t
y=1十amt
(为参数，a>0)·
在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:p=4os0.
(1)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为8=ao,其中满足tana=2,若曲线C与C2的公共点都在C上，
求a.
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