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极坐标系（知识讲解）
学习目标：
1.理解极坐标系的相关定义：
2.能够进行极坐标与直角坐标的相互变换；
3.能够对一些简单的曲线的直角坐标方程与极坐标方程进行互相转化·
平面上点的极坐标
在平面上取一个定点0，由O点出发的一条射线0x,一个长度单位及计算角度的正方向（通常取
逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O点称为极点，Ox称为极轴
平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度来刻画，如下图：
○
这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标·p称为极径，称为极角
【补充说明】
在极坐标系中，一般限定ρ≥20,0≤0<2r,则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一
对应关系；当p=0时，就与极点重合，此时不确定.也可以允许p<0,此时M( ，)就是点
M(-,9+)
二、
极坐标与直角坐标的关系
设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的：轴的正半轴，以0=？的射线作为y
轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系，
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(，)，极坐标为(，).根据三角函数的定义可以得出：
第1页（共3页）
=PC030
或
y=psin
tam0=(e≠0)，这就是极坐标与直角坐标的变换公式
p2=x2+2
在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，一√③).若以圆点0为极点，轴半轴为极轴建立
坐标系，则点P的极坐标可以是()·
A.3)
86-到
c.2,
4π、
在极坐标系中，点(2，合)
)到极轴的距离是
pcos0+2psin0=1的直角坐标方程为
三、
曲线的极坐标方程
1.曲线的极坐标方程
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(0,)=0.如果曲线C是由极坐标(·，)满足方
程的所有点组成的，则称此二元方程F(,)=0为曲线C的极坐标方程·
【补充说明】
今后我们遇到的极坐标方程多是p=p(0)的形式，即p为的一个函数，
2.直角坐标方程与极坐标方程的互化
在给定的平面直角坐标系下，设曲线C的直角坐标方程为F(x,)=0,利用上面介绍的极坐标与
直角左边的变换公式可将直角坐标方程变为F(pcos8,pi血)=0，进一步整理变形为F(p,)=0
(更理想的状况是整理成p=p()的形式)，就得到了曲线C的极坐标方程
4
极坐标系中，直线的方程是Pcos9=2,则点M(2,
到直线的距离为
5
将极坐标方程p=2cos化成直角坐标方程为
第2页（共3页)极坐标系（知识讲解）
学习目标：
1.理解极坐标系的相关定义：
2.能够进行极坐标与直角坐标的相互变换；
3.能够对一些简单的曲线的直角坐标方程与极坐标方程进行互相转化·
平面上点的极坐标
在平面上取一个定点0，由O点出发的一条射线0x,一个长度单位及计算角度的正方向（通常取
逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O点称为极点，Ox称为极轴
平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度来刻画，如下图：
○
这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标·p称为极径，称为极角
【补充说明】
在极坐标系中，一般限定ρ≥20,0≤0<2r,则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一
对应关系；当p=0时，就与极点重合，此时不确定.也可以允许p<0,此时M( ，)就是点
M(-,9+)
二、
极坐标与直角坐标的关系
设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的：轴的正半轴，以0=？的射线作为y
轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系，
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(，)，极坐标为(，).根据三角函数的定义可以得出：
第1页（共4页）
=PC030_
p2=2+2
y=psin
tam0=(仁≠0)，这就是极坐标与直角坐标的变换公式
在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，一√③).若以圆点0为极点，轴半轴为极轴建立
坐标系，则点P的极坐标可以是()
A.-
B.2,-爱
cB经)
0-5)
答案
B
解析
.点P的直角坐标为(1，-√③)，
p=VP+(-网=2，am0=-8,解得0=-百
:点P的极坐标可以是2，-爱).故选B
2
在极坐标系中，点（么，）到极轴的距离是
答案
解析
点（么）的直角坐标为(V,),此点到极轴的距离为1
3
pcos0+2psin0=1的直角坐标方程为
答案
x+2w=1
解析
根据直角坐标和极坐标的互化公式x=pcos、y=psi血9，
可得Pcos0+2pin0=1的直角坐标方程为x+2y-1=0·
三、曲线的极坐标方程
1.曲线的极坐标方程
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在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(,)=0.如果曲线C是由极坐标(p,0)满足方
程的所有点组成的，则称此二元方程F(,)=0为曲线C的极坐标方程
【补充说明】
今后我们遇到的极坐标方程多是p=p()的形式，即p为的一个函数.
2.直角坐标方程与极坐标方程的互化
在给定的平面直角坐标系下，设曲线C的直角坐标方程为F(,)=0,利用上面介绍的极坐标与
直角左边的变换公式可将直角坐标方程变为F(pcos8,psi血)=0，进一步整理变形为F(p,)=0
(更理想的状况是整理成p=p()的形式)，就得到了曲线C的极坐标方程.
4
极坐标系中，直线的方程是pc0s9=2,则点M(么，)到直线的距离为
答案
2-v5
解析
将极坐标转化为平面直角坐标系，则直线：：=2，点M(√，1)·
所以点M到直线的距离为2一√
5
将极坐标方程p=2cos化成直角坐标方程为
答案
x2+y2-2c=0
解析
p=2cos0,∴p2=2pco80,x2+y2=2x,即x2+2-2x=0.
6
在极坐标系中，点(1,0)到直线p(cos0+8n0)=2的距离为(）·
A.V②
B.1
C.2
D.3v2
2
2
答案
第3页（共4页）

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