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概率的基本性质（知识讲解）
课程要求：
1.掌握事件的关系与运算：
2.掌握概率的基本性质并利用其完成概率的相关运算
事件的关系与运算
1.从属（包含）关系
一般地，对于事件A与事件B,如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或
称事件A包含于事件B)记作B2A(或A二B)·与集合类比，可用下图表示，
不可能事件记作0，任何事件都包含不可能事件
2.相等关系
一般地，若B2A,且A2B,那么称事件A与事件B相等，记作A=B.
3.并事件（和事件)
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事
件)，记作AUB(或A+B)
例如，掷骰子的试验中，事件C1UCs表示出现1点或5点这个事件，即C1UC6={出现1点或5点}，
4.交事件（积事件)
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若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事
件)，记作AnB(或AB),如下图：
A∩B
5.互斥事件
若A门B为不可能事件(A门B=②)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在
任何一次试验中不会同时发生，如下图：
6.对位事件
若A∩B为不可能事件，AUB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对位事件，其含义是：事
件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生
判断下列每对事件是不是互斥事件·
(1)将一枚硬币抛两次，记事件A:两次都出现正面；事件B:没有一次出现正面：
(2)某人射击一次，记事件A:中靶；事件B:射中9环.
(3)某人射击一次，记事件A:射中环数大于5；事件B:射中环数小于5.
2
有下列四个命题：
(1)对立事件一定是互斥事件；
(2)若A、B为两个事件，则P(AUB)=P(A)+P(B);
(3)若A、B、C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1;
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(4)事件A、B满足P(A)+P(B)=1,则A、B是对立事件，
其中错误的命题个数是(）·
A.0
B.1
C.2
D.3
同时掷三枚硬币，那么互为对立事件的是()，
A.至少有一枚是正面和最多有一枚是正面
B.最多有一枚是正面和恰有两枚是正面
C.不多于一枚是正面和至少有两枚是正面
D.至少有两枚是正面和恰好有一枚是正面
一人在打靶时，连续射击两次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是(）·
A.至多有一次中靶B.两次都中靶
C.两次都未中靶
D.只有1次中靶
概率的基本性质
(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0~1之间，从而任何事件的概率在
01之间，即0≤P(A)≤1.
(2)在每次试验中，必然事件一定发生，因此它的频率为1，从而必然事件的概率为1.
(3)在每次试验中，不可能事件一定不出现，因此它的频率为0，从而不可能事件的概率为0.
(4)当事件A与事件B互斥时，AUB发生的频率等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而
AUB的频率fn(AUB)=fn(A)+fn(B).
由此得到概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)
(5)特别地，若事件B与事件A互为对立事件，则AUB为必然事件，P(AUB)=1.再由加法公
式得P(A)=1-P(B)·
【例题】如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A)的概率是
},取到方片（事件B)的概率是子，问：
取到红色牌（事件C)的概率是多少？
取到黑色牌（事件D)的概率是多少？
解：(1)因为C=AUB,且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件.
根据概率的加法公式，得PO=P心)+P回=专
第3页（共4页)概率的基本性质（知识讲解）
课程要求：
1.掌握事件的关系与运算：
2.掌握概率的基本性质并利用其完成概率的相关运算
事件的关系与运算
1.从属（包含）关系
一般地，对于事件A与事件B,如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或
称事件A包含于事件B)记作B2A(或A二B)·与集合类比，可用下图表示，
不可能事件记作0，任何事件都包含不可能事件
2.相等关系
一般地，若B2A,且A2B,那么称事件A与事件B相等，记作A=B.
3.并事件（和事件)
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事
件)，记作AUB(或A+B)
例如，掷骰子的试验中，事件C1UCs表示出现1点或5点这个事件，即C1UC6={出现1点或5点}，
4.交事件（积事件)
第1页（共6页）
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事
件)，记作AnB(或AB),如下图：
A∩B
5.互斥事件
若A门B为不可能事件(A门B=②)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在
任何一次试验中不会同时发生，如下图：
6.对位事件
若A∩B为不可能事件，AUB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对位事件，其含义是：事
件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生
判断下列每对事件是不是互斥事件·
(1)将一枚硬币抛两次，记事件A:两次都出现正面；事件B:没有一次出现正面：
(2)某人射击一次，记事件A:中靶；事件B:射中9环.
(3)某人射击一次，记事件A:射中环数大于5；事件B:射中环数小于5.
答案
(1)互斥事件
(2)不是互斥事件·
(3)是互斥事件.
解析
第2页（共6页）
(1)A、B是互斥事件；解析：基本事件空间={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，而
A={(正，正)}，B={(反，反)}是互斥事件
(2)A、B不是互斥事件；解析：因为射中9环也是中靶，不是互斥事件.
(③)A、B是互斥事件；解析：射中环数大于6与射中环数小于5不能同时发生，是互斥事
件.
2
有下列四个命题：
(1)对立事件一定是互斥事件：
(2)若A、B为两个事件，则P(AUB)=P(A)+P(B);
(3)若A、B、C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1:
(4)事件A、B满足P(A)+P(B)=1,则A、B是对立事件·
其中错误的命题个数是()·
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
解析
只有(1)正确，(2)中A、B为互斥事件才能成立，
(3)中P(A)+P(B)+P(C)≤1，（4)中A、B为互斥事件才能成立.
3
同时掷三枚硬币，那么互为对立事件的是()·
A.至少有一枚是正面和最多有一枚是正面
B.最多有一枚是正面和恰有两枚是正面
C.不多于一枚是正面和至少有两枚是正面
D.至少有两枚是正面和恰好有一枚是正面
答案
C
解析
A中，两事件中有一枚是正面的情况可同时发生；
B中，两事件不能包含事件发生的所有情况：
D中，两事件不能包括事件发生的所有情况，
第3页（共6页）

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