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考点二 命题及其关系、充分条件与必要条件
知识梳理
1．命题的概念
可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及相互关系
(1) 四种命题
命题 表述形式
原命题 若p，则q
逆命题 若q，则p
否命题 若非p，则非q
逆否命题 若非q，则非p
(2) 四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
4．充分条件与必要条件
(1)如果p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p q，q p，则p是q的充要条件．
(3) 如果pq，qp，那么称p是q的充分不必要条件．
(4) 如果qp，pq，那么称p是q的必要不充分条件．
(5) 如果p q，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件．
典例剖析
题型一 四种命题及其相互关系
例1　命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
答案　B
解析　将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
变式训练 命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
答案　C
解析　由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.
解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
2.一些常见词语的否定
词语 是 相等 > < 都是 都不是
否定 不是 不相等 ≤ ≥ 不都是 至少有一个是
例2　有下列几个命题：
①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
答案 ②③
解析 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．
②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．
变式训练 下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)
① 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；
② 若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；
③ 命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；
④ 命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题．
答案 ④
解析 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x＝y ，则sinx＝siny”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．
解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．
2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
题型二 充分条件与必要条件
例3　已知p：“a，b，c成等比数列”，q：“b＝”，那么p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 若a，b，c成等比数列，则有b2＝ac，所以b＝±，所以充分性不成立．当a＝b＝c＝0时，b＝成立，但此时a，b，c不成等比数列，所以必要性不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件．
变式训练 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的 (　　)
A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
答案 A
解析 由正弦定理，知a≤b 2Rsin A≤2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径) sinA≤sinB．
例4　设函数f(x)＝log2x，则“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．
答案 必要不充分
解析 因为f(x)＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)；反之，当f(a)>f(b)时，a>b.故“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的必要不充分条件．
变式训练 设x∈R，则“x>1”是“”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由不等式得，即或，所以由可以得到不等式成立，故充分性成立；但由不一定得到，所以必要性不成立，即“x>1”是“”的充分而不必要条件．
解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．
2．充要条件的三种判断方法
(1) 定义法：根据pq，qp进行判断；
(2) 集合法：根据p、q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；
(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．
当堂练习
1. 设p：11，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当11，得x>0，∴qp，故选A.
2．设, 则 “”是“”的 (　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由(a－b)a2<0 a≠0且a由a3．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
答案　D
解析　对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．
4．已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的 条件．
答案 充分不必要条件
解析 当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；
当(a＋bi)2＝2i时，得
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．
5.U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A C，B UC”是“A∩B＝ ” 条件．
答案　充要条件
解析　若存在集合C使得A C，B UC，则可以推出A∩B＝ ；
若A∩B＝ ，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A C，B UC.
故“存在集合C使得A C，B UC”是“A∩B＝ ”的充要条件．
课后作业
选择题
1．下列语句中命题的个数是(　　)
①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D
2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．
3．“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
4．设p：x<3，q：－1A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　∵x<3－15．下列结论错误的是(　　)
A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
答案　C
解析　C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题，故选C.
6．若m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
答案　D
解析　原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若q，则p”．
∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
7．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)
A．0 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　向量a，b共线 x－x(x＋2)＝0 x＝0或x＝－1，
∴命题p为真，其逆命题为假，
故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.
8．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α.“m∥β”是“α∥β”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　m α，m∥βα∥β，但m α，α∥β m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分条件．
二、填空题
9．x≠3或y≠5是x＋y≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
答案 必要不充分
解析 设p：x＝3且y＝5，q：x＋y＝8，显然p是q的充分不必要条件，
∴p是q的必要不充分条件，即x≠3或y≠5是x＋y≠8的必要不充分条件．
10．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
答案　2
解析　其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
11．(1)“x>y>0”是“<”的________条件．
(2) 设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的________条件．
答案　(1)充分不必要　(2)充要
解析　(1)< xy·(y－x)<0，
即x>y>0或y所以x>y>0 <，但反过来<，
所以是充分不必要条件．
(2) 构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．
因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a＞b f(a)＞f(b) a|a|＞b|b|.
所以是充要条件．
12．下列命题：①“若k＞0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；②“若＞，则a＜b”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.
答案　①②
解析　对于①其否命题为“若k≤0，则方程x2＋2x＋k＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a＜b，则＞”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题.
13．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____________条件．
答案　充分不必要
解析　x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，
即m≤，因为m< m≤，反之不成立．
故“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．