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考点四 函数的概念与表示
知识梳理
1．函数的基本概念
(1) 函数的定义
设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，通常记为f：A→B，或y＝f(x)(x∈A) ．
(2)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(5)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
2. 分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．
3. 映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
4．常见函数定义域的求法
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．
(3)一次函数、二次函数的定义域为R．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R．
(5)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
5．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：
当a＞0时，值域为；
当a＜0时，值域为．
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．
(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R．
(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1，1]．
(7)y＝tan x的值域是R．
典例剖析
题型一 函数的概念
例1　下列各组函数中，表示同一函数的是________.(填序号)
f(x)＝|x|，g(x)＝ ② f(x)＝，g(x)＝()2
③ f(x)＝，g(x)＝x＋1 ④ f(x)＝·，g(x)＝
答案 ①
解析 ①中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)．
②中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x (x≥0)，
∴两函数的定义域不同．
③中，f(x)＝x＋1 (x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)，
∴两函数的定义域不同．
④中，f(x)＝·(x＋1≥0且x－1≥0)，
f(x)的定义域为{x|x≥1}；
g(x)＝(x2－1≥0)，
g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．
∴两函数的定义域不同．故选①.
变式训练 下列四个图象中，是函数图象的是________.(填序号)
答案 ①③④
解析　由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知②不是函数图象，①③④是函数图象．
解题要点 1．判断是否是同一函数关键看两点：①定义域相同；2对应关系相同．
2.判断是否是函数图象，要看定义域和值域是否在所指定范围，同时每一个自变量应只对应一个因变量．
题型二 函数解析式求法
例2　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
(3) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．
答案　(1) f(x)＝x2－1(x≥1)，(2) f(x)＝2x＋7，(3) f(x)＝x2－x＋1
解析(1) (换元法)设＋1＝t(t≥1)，则＝t－1.代入f(＋1)＝x＋2，得f(t)＝t2－1(t≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
∴解得∴f(x)＝2x＋7.
(3) (待定系数法) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.
由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x，
整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，
比较系数得∴
∴ f(x)＝x2－x＋1.
变式训练 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
答案 －
解析　当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，
由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．
解题要点 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(4)方程组法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
题型三 函数的定义域
例3　求下列函数的定义域
(1);
(2)
答案 (1)，(2) (1，1)∪(1，＋)
解析 (1) 使函数有意义，则且，得或，
所以定义域为
(2)使函数有意义，则，解得：且.
所以定义域为(1，1)∪(1，＋)
变式训练 函数f()=的定义域为________.
答案 [0，1)(1， +∞)
解析 由题意知，所以函数定义域为[0，1)(1， +∞)
解题要点 抓住常见函数有意义的约束条件是解题的关键，需要注意的是：函数定义域应写成集合或区间的形式．
题型四 函数的值域
例4　求下列函数的值域
(1) y＝x2＋2x，x∈[0，3]；
(2)
(3) y＝，x∈[3，5]；
(4) f(x)＝x－.
解析 (1) (配方法)
y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵y＝(x＋1)2－1在[0，3]上为增函数，
∴0≤y≤15，
即函数y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域为[0，15]．
(2) (换元法)设＝t，t≥0，则y＝(t2＋2)－t＝2－，当t＝时，y有最小值－，故所求函数的值域为.
(3) (分离常数法)由y＝＝2－，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以ymax＝，ymin＝，故所求函数的值域是.
(4) (单调性法)f(x)的定义域为，容易判断f(x)为增函数，
所以f(x)≤f＝，即函数的值域是.
题型五 分段函数
例5　(1)已知函数f(x)＝则f(f())＝________.
(2) 已知函数f(x)＝则f＝________．
答案　(1) (2) －2
解析　(1)f(f())＝f(log3)＝f(－2)＝2－2＝.
(2) ∵∈，
∴f＝－tan＝－1，
∴f＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
变式训练 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
答案 －3
解析　(1)由题意知f(1)＝21＝2.∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＋2＝0.
①当a>0时，f(a)＝2a,2a＋2＝0无解；
②当a≤0时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，∴a＝－3.
解题要点 1.分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．2.在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论．
当堂练习
1. 函数f(x)＝＋的定义域为________．
答案 {x|x≥－1且x≠2}
2．函数y＝2－的值域是________．
答案 [0，2]
解析 －x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，
0≤≤2，
－2≤－≤0，
0≤2－≤2，所以0≤y≤2.
3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是________．
② ③ ④
答案　②
4．设函数f(x)＝若f＝4，则b等于________．
答案　
解析　由题意，得f＝3×－b＝－b.
若－b≥1，即b≤时，2－b＝4，解得b＝.
若－b＜1，即b＞时，3×－b＝4，
解得b＝(舍去)．
所以b＝.
5．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是_________________．
答案　(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析　需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，
所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
课后作业
一、填空题
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是__________．
① ② ③ ④
答案　①
解析　汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．
2．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是__________．
② ③ ④
答案　②
解析　根据函数的概念，任意一个只能有唯一的值和它对应，故排除③；由定义域为排除①、④,选②.
3．设f(x)＝则f(f(－2))等于__________．
答案　
解析　∵f(－2)＝2－2＝＞0，则f(f(－2))＝f＝1－＝1－＝.
4．函数y＝＋lg(2x＋1)的定义域是__________．
答案 (－，2)
解析 x同时满足不等式2－x>0,2x＋1>0，
解得－5．设A＝{0,1,2,4}，B＝，则下列对应关系能构成A到B的映射的是__________．(填序号)
①f：x→x3－1 ②f：x→(x－1)2 ③f：x→2x－1 ④f：x→2x
答案 ③
解析 对于选项①，由于集合A中x＝0时，x3－1＝－1 B，即A中元素0在集合B中没有元素与之对应，所以选项①不符合；同理可知②、④两选项均不能构成①到②的映射，选项③符合.
6．函数y＝的值域是__________．
答案 [0，4)
解析 ∵4x＞0，∴0≤16－4x＜16，∴0≤y＜4.
7．若f(2x+1)=6x+3，则f(x)的解析式为f(x)= __________．
答案　3x
解析　令t=2x+1，则x=，所以f(t)=6·+3=3t，故f(x)=3x.
8．已知函数f(x)＝若f(f(1))＝4a，则实数a等于__________．
答案 2
解析 ∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得a＝2.
9．函数y＝＋(x－1)0的定义域是__________．
答案 {x|－3解析 由，得所以－3故所求函数的定义域为{x|－310．已知f(x－)＝x2＋，则f(3)＝______.
答案 11
解析 ∵f(x－)＝(x－)2＋2，∴f(x)＝x2＋2(x∈R)，∴f(3)＝32＋2＝11.
二、解答题
11．(1)已知f(x)是一次函数，且满足f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋3，求f(x)的解析式．
(2) 若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，求g(x)的解析式．
解析 (1)设f(x)＝kx＋b(a≠0)，
则f(x＋1)－2f(x－1)＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，
即－kx＋3k－b＝2x＋3不论x为何值都成立，
∴解得∴f(x)＝－2x－9.
(2) 设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴解得
∴g(x)＝3x2－2x.
12．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．
解析 当x∈[0,30]，设y＝k1x＋b1，由已知得
∴k1＝，b1＝0，y＝x；
当x∈(30,40)时，y＝2；
当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，
由已知得
∴k2＝，b2＝－2，y＝x－2.
∴f(x)＝
13．设函数f(x)＝试解不等式f(x)解析　f(－1)＝3，f(x)<3，当x≤0时，x2＋4x＋6<3，
解得x∈(－3，－1)；当x>0时，－x＋6<3，
解得x∈(3，＋∞)，
故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)．

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