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考点七 指数与指数函数
知识梳理
1．根式
如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根(n>1且n∈N*)，当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，记为：；当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(1)两个重要公式
① ＝
② ()n＝a(注意a必须使有意义)．
(2)0的任何次方根都是0．
(3)负数没有偶次方根．
2．分数指数幂
(1)分数指数幂的概念：
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a＝eq \f(1,a)＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ar s(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂ar(a>0，r是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过点(0,1)，即x＝0时y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01
是R上的增函数 是R上的减函数
典例剖析
题型一 指数幂的化简与求值
例1　 的值是　 　．
答案 －3
解析 　.
变式训练 下列各式正确的是　 　．(填序号)
　　 ② ④a0＝1
答案
解析　根据根式的性质可知正确．
，a＝1条件为(a≠0)，故①、②、④错．
例2 化简或求值
(1)
(2) eq \f( a·b－1 ·a·b,\r(6,a·b5))
解析　(1)原式=
=
.
(2)原式＝eq \f(ab·ab,ab)＝a·b＝.
解题要点 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
题型二 指数函数的图象和性质
例3　函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是　 ．(填序号)
a>1，b<0 ② a>1，b>0 ③ 00 ④ 0答案　④
解析 由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0变式训练 指数函数y=恒过的定点为　 　．
答案　(，2)
解析 由函数y=ax恒过(0，1)点,
可得当3x－2=0，即时，y=2恒成立,
故函数恒过点(，2).
故答案为：(，2)．
题型三 指数值的大小比较
例4　设，则y1、y2、y3 的大小关系是　 　．
答案　y1＞y3＞y2
解析 ．
因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1＞y3＞y2．
变式训练 若，则x的取值范围是　 　．
答案　(－∞，－3)
解析 原不等式可化为，而指数函数y=是定义在R上的减函数,
所以x＜－3.
解题要点 比较大小时，首先要观察有无同底或是同指数的，①若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性；②若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性；③若底数不同，指数也不同，应寻找中间值(常用0，1)进行比较.
当堂练习
1．的大小关系是________．
答案　
解析　函数是减函数，由，知；
又，由函数的性质，知，故；
所以.
2．函数y＝ax－3＋3恒过定点________．
答案 (3，4)
解析 当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，所以f(x)必过定点(3，4)．
3. 已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域　 　．
答案 [1,9]
解析 由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，
f(x)max＝f(4)＝9.
4．化简的结果是　 　．
答案
解析
5．若指数函数y=(a－2)x在(－∞，+∞)上是减函数，那么解得　 　．
答案 A
解析 ∵指数函数y=(a－2)x在(－∞，+∞)上是减函数，
∴0＜a－2＜1，解得2＜a＜3．
课后作业
填空题
1.设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝　 　．
答案　[1，3)
解析　由|x－1|<2，解得－1∴A∩B＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．
2．若a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系是　 　 　．
答案 c解析 由y＝x在R上单调递减，知<，
而<1<，所以<<.
即c3．的值为　 　．
答案 0
解析 .
4．的值是　 　 　．
答案　0或2(a－b)
解析 当a－b≥0时，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；
当a－b<0时，原式＝b－a＋a－b＝0.
5．设a＝40.7，b＝0.30.5，c＝log23，则a、b、c的大小关系是　 　 　．
答案 b解析 a＝40.7>4＝2,06．函数f(x)＝＋的定义域为　 　．
答案 (－3,0]
解析 若使函数有意义，则，解得－37．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于　 　．
答案 7
解析 由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7， f(2a)＝7.
8．如果指数函数y=(a2)x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是　 　．
答案 (2，3)
解析 因为指数函数y=(a2)x在x∈R上是减函数，所以有0＜a2＜1，解得2＜a＜3，即a的取值范围为(2，3)．
9．函数y=ax－1+1过定点　 　．
答案 (1，2)
解析 ∵函数f(x)=ax过定点(0，1)，∴当x－1=0时，x=1，∴此时y=ax－1+1=1+1=2，
故y=ax－1+1过定点(1，2)．故答案为：(1，2)．
10．函数的定义域是________．
答案 (－∞，0]
解析 由题意得()x－1≥0，即()x≥1，x≤0.
11．计算：2××＝________.
答案 6
解析 原式＝2×3×()×12＝2×3×3×2×3×2＝2×3×2＝6.
二、解答题
12．计算下列各式的值
(1)×＋80.25×＋(×)6－；
(2) .
解析 (1) 原式＝×1＋×＋(×)6－＝2＋4×27＝110；
(2)原式
.
13．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解析 当a>1时，f(x)＝ax为增函数，在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a.
∴a2－a＝.即a(2a－3)＝0.∴a＝0(舍)或a＝>1.∴a＝.
当0∴a－a2＝.∴a(2a－1)＝0，
∴a＝0(舍)或a＝.
∴a＝.综上可知，a＝或a＝.

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