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第2课时　空间向量基本定理的初步应用
学习目标　1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．
知识点一　证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
思考　怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？
答案　平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．
知识点二　求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0.
思考　怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？
答案　几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围．
知识点三　求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
思考　怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？
答案　几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得．
1．四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是＝.(　×　)
2．若＝，则A，B，C，D四点共线．(　×　)
3．已知两个向量 ， 的夹角为 60°，则 ∠NMP＝60°.(　×　)
4．如果＝＋，则四点O，P，M，N一定共面．(　√　)
一、证明平行、共面问题
例1　如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点．
求证：BF∥ED′.
证明　＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝＋，
∴＝，
∴∥，
∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
反思感悟　证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
跟踪训练1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
求证：A，E，C1，F四点共面．
证明　因为＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝＋＋＋＝＋，
所以，，共面，
所以A，E，C1，F四点共面．
二、求夹角、证明垂直问题
例2　如图所示，在三棱锥 A－BCD 中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．
(1)证明：AE⊥BC ；
(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值．
(1)证明　因为＝－＝(＋)－，＝－，
所以·＝·(－)
＝2－2－·＋·，
又DA，DB，DC两两垂直， 且DB＝DC＝DA＝2，
所以·＝0，
故 AE⊥BC.
(2)解　·＝·
＝·＋2－·＝2＝2，
由2＝2＝2＋2＋2＝6，得＝.
所以cos〈，〉＝＝＝ .
故直线AE与DC的夹角的余弦值为.
反思感悟　求夹角、证明线线垂直的方法
利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．
跟踪训练2　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN与BC1所成角的余弦值．
解　＝－＝(－)，
＝＋＝－＋ ，
所以·＝·＝2＝，
又＝＝， ＝，
所以 cos〈，〉＝＝＝，
故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为.
三、求距离(长度)问题
例3　已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，在l上有两点A，B，线段AC α ，线段BD β ，并且AC⊥l ，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则 CD＝ ________.
答案　26
解析　∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC α，线段BD β，
AC⊥ l ，BD⊥ l ，AB＝6，BD＝24，AC＝8，
∴＝＋＋ ，
∴2 ＝(＋＋ )2
＝2＋2＋2 ＝64＋36＋576＝676，
∴CD＝26.
反思感悟　求距离(长度)问题的思路
选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题．
跟踪训练3　正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则
||等于(　　)
A.a B.a
C.a D.a
答案　A
解析　∵＝－＝－
＝＋－(＋＋)
＝＋－，
∴||＝
＝a.
1．(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是(　　)
A.＝2－－
B.＝＋－
C.＝＋＋
D.＝＋＋
答案　BD
解析　根据“＝x＋y＋z ，若 x＋y＋z＝1，则点M与点A，B，C 共面”，
因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,1＋＋＝≠1，＋＋＝1，
由上可知，BD满足要求．
2．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
答案　B
解析　在△BCD中，·＝(－)·(－)＝2＞0，∴B为锐角，
同理，C，D均为锐角．
3．如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则SC与AB所成角的大小为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案　B
解析　因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以·＝0，
又AB⊥BC，AB＝BC＝2，
所以 ∠BAC＝45° ，AC＝2 .
因此·＝cos 45°＝2×2×＝4，
所以·＝·－·＝4，
又SA＝2，所以 SC＝＝4 ，
因此cos〈，〉＝＝＝ ，
所以SC与AB所成角的大小为60° .
4．如图，已知 ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________．
答案　7
解析　∵＝＋＋，
∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49.
∴PC＝7.
5．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.
答案　
解析　将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝，
再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝.
1．知识清单：
(1)空间向量基本定理．
(2)空间向量共线、共面的充要条件．
(3)向量的数量积及应用．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：
(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆．
(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义．
1．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)
A．2－ B．－＋2
C.－ D．－＋
答案　A
解析　由已知得2(－)＋(－)＝0，
∴＝2－.
2．如图，已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P，Q，R，S，所得图形是(　　)
A．长方形
B．正方形
C．梯形
D．菱形
答案　D
解析　因为＝－＝－＝.
同理＝，所以＝，
所以四边形PQRS为平行四边形．
又＝－＝－＝，
所以||＝||，即PS＝BD.
又||＝||，
故PQ＝AC，而AC＝BD，
所以PS＝PQ，故四边形ABCD为菱形．
3．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(　　)
A．0 B.
C. D.
答案　A
解析　根据题意可得，
·＝(＋＋)·(＋＋)
＝(－＋＋)·(－－－)
＝2 －2 －2＝×4－1－×4＝0，
从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0.
4．在正三棱柱ABC－A1B1C1 中，若AB＝BB1，则 CA1 与 C1B 所成的角的大小是(　　)
A．60° B．75°
C．90° D．105°
答案　C
解析　设||＝m，＝a，＝b，＝c，
则＝a＋c，＝b－c，
·
＝(a＋c)·(b－c)
＝a·b＋b·c－a·c－c2
＝m·mcos ＋0－0－m2＝0，
∴⊥，
∴ CA1 与 C1B 所成的角的大小是 90°.
5．如图，二面角α－l－β等于，A，B是棱l上两点， BD, AC 分别在平面α，β内，AC⊥l ，BD⊥l ，且 2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于(　　)
A．2 B.
C．4 D．5
答案　B
解析　∵二面角α－l－β等于，AC⊥l,BD⊥l，所以〈，〉＝π－＝，
∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2×cos ＝13.即CD＝.
6．已知向量a，b满足条件|a|＝3，|b|＝4，若m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则实数λ＝________.
答案　－
解析　因为m·n＝0，所以(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
所以18＋(1＋λ)×3×4×＋16λ＝0，
解得λ＝－.
7．如图，在空间四边形ABCD 中，∠ABD＝∠CBD＝ ，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是________．
答案　
解析　依题意可知CD＝＝，·＝·(－)
＝·－·＝0＋·＝··cos 45°＝1.
设直线AB与CD所成角为α，则cos α＝＝＝，故α＝.
8．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________．
答案　
解析　∵ ＝＋＋，
∴ 2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋2×1×1×＋2×1×1×＋2×1×1×＝2，
∴AC1＝.
9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
解　(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
＝＋
＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋
＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．
(2)＝(＋)
＝(－＋)
＝(－c＋a－b－c)
＝a－b－c，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.
(1)求〈，〉的余弦值；
(2)求证：⊥.
(1)解　＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－.
因为·＝0，·＝0，·＝0，
所以·＝·＝.
又||＝||＝，所以cos〈，〉＝.
(2)证明　＝＋＝－＋，
＝＋＝－(＋)，
所以·＝0，所以⊥.
11．在四面体O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且＝x＋y＋z，则log3|xyz|等于(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案　A
解析　连接AG(图略)，
＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)
＝＋＋＝x＋y＋z，
∴x＝y＝z＝，则log3|xyz|＝log3＝－3.
12．在三棱柱ABC－ A1B1C1中， AA1⊥底面ABC, AB＝BC＝AA1, ∠ABC＝90°， 点E，F分别是棱AB，BB1的中点， 则直线EF和BC1所成的角是(　　)
A．30° B．45°
C．90° D．60°
答案　D
解析　因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点，
所以 ＝－＝(－)，＝＋，
所以·＝(－)(＋)＝2 ，
设所求异面直线的夹角为 θ，则
cos θ＝＝，所以θ＝60° .
13．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
答案　90°
解析　不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝＝＝0，
则〈，〉＝90°.
14．如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)
① (＋＋)2＝2()2 ；
②·(－)＝0 ；
③向量与的夹角是60°；
④BD1与AC所成角的余弦值为.
答案　①②
解析　以顶点A为端点的三条棱长都相等， 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1，则·＝·＝·＝1×1×cos 60°＝，
(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋3×2×＝6，
而 2()2＝2(＋)2＝2(2＋2＋2·)
＝2＝2×3＝6，所以①正确．
·(－)＝(＋＋)·(－)
＝·－·＋2－·＋·－2＝0，所以②正确．
向量＝ ，
显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60° .
所以向量与的夹角是 120°，向量与的夹角是 120° ，则③不正确．
又＝＋－，＝＋，
则||＝＝，
||＝＝，
·＝·(＋)＝1，
所以cos〈，〉＝＝＝ ，
所以④不正确，故①②正确．
15．(多选)在四面体P－ABC 中，以上说法正确的有(　　)
A．若＝＋，则可知 ＝3
B．若Q为△ABC 的重心，则＝＋＋
C．若·＝0，·＝0，则 ·＝0
D．若四面体P－ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1
答案　ABC
解析　对于A, ∵＝＋，
∴3＝＋2，
∴2－2＝－，
∴2＝，
∴3＝＋，
即3＝，故A正确；
对于B，若Q为△ABC 的重心，则＋＋＝0，
∴3＋＋＋＝3，
∴3＝＋＋，即＝＋＋，故B正确；
对于C，∵·＝0，·＝0，
∴·＋·＋·＝0，
∴(－)·＋·＝0，
∴·＋·＝0，
∴·＝0，
∴·＝0，故C正确；
对于D，∵＝－
＝(＋)－
＝(＋ －),
∴||＝|－－|，
∵|－－|
＝2.
∴||＝，故D错误，故选ABC .
16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.
证明　如图，连接BD，则BD过点O，令＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且＝＋＝a＋b，
＝＋＝＋＝(－)＋＝a－b＋c .
∴·＝(a＋b)·
＝|a|2＋a·b－a·b－|b|2＋a·c＋b·c＝－＝0.
∴⊥，即AC⊥OB1.
又＝＋＝b＋c，
∴·＝·
＝a·b－|b|2＋c·b＋a·c－b·c＋|c|2
＝－＋＝0，
∴⊥，
即OB1⊥AP.又AC∩AP＝A，AC，AP 平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.§1.2　空间向量基本定理
第1课时　空间向量基本定理
学习目标　 1.掌握空间向量基本定理. 2.会用空间向量基本定理对向量进行分解 .
知识点一　空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
思考　零向量能否作为基向量？
答案　不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面．
知识点二　空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
1．只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．(　×　)
2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(　√　)
3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(　√　)
4．对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.(　×　)
一、空间的基底
例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
解　假设，，共面．
则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴此方程组无解，
∴，，不共面，
∴{，，}可以作为空间的一个基底．
反思感悟　基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
跟踪训练1　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
答案　B
解析　因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．
如图，
令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝.
可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.
(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________.
答案　0
解析 因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．
所以
所以
所以x＋y＝0.
二、空间向量基本定理
例2　如图，在三棱柱ABC －A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，.
解　连接A′N(图略)．
＝＋＝＋(＋)
＝＋＋＝＋(－)＋
＝＋＋＝(a＋b＋c)．
＝＋＝＋(＋)
＝＋(＋)＝a＋b＋c.
延伸探究
若把本例中“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
解　因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，
所以＝(＋)
＝a＋b.
＝(＋)
＝(＋＋)
＝＋＋
＝＋(－)＋
＝＋－
＝b＋a－c.
反思感悟　 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
跟踪训练2　如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.
解　连接BO，
则＝＝(＋)
＝(＋＋)
＝(c－b－a)
＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)
＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
1．下列结论错误的是(　　)
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底
D．若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面
答案　C
解析　由基底的概念可知A，B，D正确，对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误．
2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　)
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c
答案　C
解析　对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D中的向量共面．故选C.
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是(　　)
A.，， B.，，
C.，， D.，，
答案　C
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，只有C中的三个向量，，不共面，可以作为空间的一个基底．
4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则(　　)
A．x＝y＝z＝ B．x＝y＝z＝1
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
答案　B
解析　＝＋＝＋＋＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
对比＝x＋y＋z，得x＝y＝z＝1.
5．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)
答案　a＋b＋c
解析　＝＋＝＋×(＋)＝＋×(－＋－)
＝＋＋＝a＋b＋c.
1．知识清单：
(1)空间的基底．
(2)空间向量基本定理．
2．方法归纳：
转化化归．
3．常见误区：
(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件．
(2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心．
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　B
解析　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，
当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．
因此p q，q p.
2．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是(　　)
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
答案　C
解析　对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1) M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，易知，，共面，故选C.
3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为(　　)
A．a－b＋2c
B．a－b－2c
C．－a＋b＋c
D.a－b＋c
答案　D
解析　＝＋＝＋
＝＋(－)＝a－b＋c.
4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则(　　)
A．a，p，q是空间的一组基底
B．b，p，q是空间的一组基底
C．c，p，q是空间的一组基底
D．p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底
答案　C
解析　假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得(k1＋k2)a＋(k1－k2)b－c＝0，
这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一组基底，故选C.
5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则下列向量与相等的是(　　)
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C．－a－b＋c
D.a－b＋c
答案　A
解析　＝＋＝＋(＋)
＝＋(＋)
＝(－a＋b)＋c＝－a＋b＋c.
6．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.
答案　－－＋
解析　设AC的中点为F，则＝＋＝＋＝－×(＋)＋
＝－(－2)＋(－)
＝－－＋.
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝____________.
答案　(＋＋)
解析　∵2＝2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，
∴＝(＋＋)．
8.如图所示，已知PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝1，四边形ABCD为正方形，以{，，}为基底，则＝________.
答案　＋
解析　＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－＋＋(＋＋)
＝＋.
9．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
解　(1)＝＋＝－＋＝b＋c－a.
(2)＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)．
10.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．
(1)用基底{a，b，c}表示向量，，；
(2)化简＋＋，并在图中标出化简结果．
解　(1)＝＋＝＋－＝a－b＋c.
＝＋＋＝－a＋b＋c.
＝＋＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c.
(2)＋＋＝＋(＋)＝＋＝＋＝.
如图，连接DA1，则即为所求．
11．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　)
A．－，， B.，－，
C．－，，－ D．－，－，
答案　D
解析　取PC的中点E，连接NE，
则＝－＝－(－)＝－＝－
＝－－(－＋＋)＝－－＋，
比较知x＝－，y＝ －，z＝，故选D.
12.如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一个基底，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________.
答案　
解析　＝－＝－，所以有序实数组(x，y，z)＝.
13．已知四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用a，b，c表示)
答案　3a＋3b－5c
解析　如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，
则＝－＝－＝＋
＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c.
14．如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，则向量＝________.(用a，b，c表示)
答案　a＋b＋c
解析　＝＋＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋
＝＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
15．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，
＝(＋)
＝(－2＋)，
＝
＝(－2＋)，
∵＝3＝3(－)，
∴＝＝(＋)
＝
＝＋＋，故选A.
16.如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示向量.
解　因为＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋
＝＋×(＋)＝(a＋b＋c)，
又＝＝×(＋)＝(b＋c)，
所以＝－＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.

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