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间接证明（知识讲解）
课程要求：
了解间接证明的一种方法一反证法；准确掌握反证法的结构和步骤，并利用反证法解决数学问
题
反证法是间接证明的一种基本方法，我们对于这种方法其实并不陌生，在日常生活或解决某些数
学问题时，有时会不自觉地使用反证法
【思考】桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币.那么无论怎样翻转，都不
能使硬币全部反面朝上·你能解释这种现象吗？
上述现象可以用直接证明的方法解释，但是，我们这里采用反证法
【分析】假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝
上，都需要翻转奇数次，所以3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转3个奇数之和次，即要翻转奇数
次.但由于每次用双手同时翻转2枚硬币，3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数，即偶数次，这
个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使3枚硬币全部反面朝上·
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出
矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法·
用反证法证明命题的基本步骤如下：
第一步：将命题加工成若p,则g的形式，分清条件和结论，方便下一步否定；
第二步：作出命题的结论g的否定形式q;
第三步：以知和一g为已知条件出发，采用正确的推理方法，导出“矛盾”：
第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设q是假命题，则为真命题，这样就间
接的得到了“若p,则g”是真命题
下面我们以一个实例来示范一下：
【例题】求证√2是无理数
【证明】（此处省略了第一步，无需将其体现在纸面上）假设√2不是无理数，那么它就是有理数
(g）·
第1页（共10页）
于是，存在互质的正整数m,n,使得V2=究，从而有m=V2m,
因此m2=2n2,
所以m为偶数.于是m=2(k是正整数)，从而有42=2n2,
即n2=22
所以也为偶数.这与m,n互质矛盾（导出“矛盾”）！
由上述矛盾可知假设错误(q是假命题)，从而√②是无理数，
从上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件
矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等
已知a>0,b>0,且a+b>2.
求证：1+B、1十“中至少有一个小于2.
a、b
答案
答案见解析
解析
假设1+也、1+“都不小于2，
b
则1+6
a
.a>0,b>0,
'1+b≥2a,1+a≥2b.
两式相加可得1+1+a+b≥2(a+),
即2≥a+b,这与已知a+b>2矛盾
故假设不成立，即1+6、1+“中至少有一个小于2.
a、6
2
平面内有四个点A,B,C,D任意三点都不共线，证明：以其中任意三点为定点的三角形不可能
都是锐角三角形
答案
答案见解析
解析
假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，考虑点D在△ABC之内或之外两种情
况
第2页（共10页）间接证明（知识讲解）
课程要求：
了解间接证明的一种方法一反证法；准确掌握反证法的结构和步骤，并利用反证法解决数学问
题
反证法是间接证明的一种基本方法，我们对于这种方法其实并不陌生，在日常生活或解决某些数
学问题时，有时会不自觉地使用反证法
【思考】桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币.那么无论怎样翻转，都不
能使硬币全部反面朝上·你能解释这种现象吗？
上述现象可以用直接证明的方法解释，但是，我们这里采用反证法
【分析】假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝
上，都需要翻转奇数次，所以3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转3个奇数之和次，即要翻转奇数
次.但由于每次用双手同时翻转2枚硬币，3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数，即偶数次，这
个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使3枚硬币全部反面朝上·
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出
矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法·
用反证法证明命题的基本步骤如下：
第一步：将命题加工成若p,则g的形式，分清条件和结论，方便下一步否定；
第二步：作出命题的结论g的否定形式q;
第三步：以知和一g为已知条件出发，采用正确的推理方法，导出“矛盾”；
第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设q是假命题，则为真命题，这样就间
接的得到了“若p,则g”是真命题
下面我们以一个实例来示范一下：
【例题】求证√2是无理数
【证明】（此处省略了第一步，无需将其体现在纸面上）假设√2不是无理数，那么它就是有理数
(g）·
第1页（共5页）
于是，存在互质的正整数m,n,使得V2=究，从而有m=V②m,
因此m2=2n2,
所以m为偶数.于是m=2(k是正整数)，从而有42=2n2,
即n2=2k2，
所以也为偶数.这与m,n互质矛盾（导出“矛盾”）！
由上述矛盾可知假设错误(q是假命题)，从而√②是无理数，
从上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件
矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等
1
已知a>0,b>0,且a+b>2.
求证：1+6、1+“中至少有一个小于2.
a、
b
2
平面内有四个点A,B,C,D任意三点都不共线，证明：以其中任意三点为定点的三角形不可能
都是锐角三角形
3
设a>06>0,且a+b=君+话
(1)求证：a+b≥2；
(2)求证：a2+a<2与6+b<2不可能同时成立.
4
某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：我没有偷；
乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷.根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是()·
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
间接证明（易）（习题集）
5
用反证法证明命题“若x2一(a+)龙一ab≠0，则x卡a且x卡6时的假设为()
A.花=a且龙=b
B.龙=a或=b
第2页（共5页）

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