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数学归纳法（知识讲解）
课程要求：
了解数学归纳法原理并应用其证明一些简单的数学命题.
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值no(no∈N)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥o,k∈N)时命题成立，证明当n=k+1时命题也，成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.
上述证明方法叫做数学归纳法
【补充说明】
用数学归纳法证明问题的关键在于第二步，即如何科学的说明n=飞+1的情况下命题成立，而用
来说明的依据是=时命题成立这一条件综合其他定理定义公式或是常见结论等共同得出的，干
万不能将n=k+1直接带入说明成立，也不能不利用=时命题成立这一条件而“另辟蹊径”导出
n=k+1时命题成立而完成证明.
【伤例题】用数学归纳法证明12+22+…+n2=nn+12m+1a∈.
6
【证明】
(1)当n=1时，左边=12=1，
右边=1×1+)×2×1+)=1，
6
等式成立
(2)假设当n=(k∈N)时等式成立，即
12+22+…+k2=k+102k+1)
6
那么，12+22+…+2+(k+1)2
k+102k++k+12
6
-kk+12k+1)+6k+1)2
=任+12+7张+6)
6
=飞+1k+2)(2k+3)
=飞+1)[k+1)+2(+1)+刂
6
即当n=k+1时等式也成立
第1页（共3页）
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N都成立.
设数列{an}满足a1=2,a+1十nan=哈+1，n∈N.
(1)求a ，g,a4
(2)猜想数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明·
2
等比数列{an}的前n项和为S.,已知对任意的m∈N+,点(m,Sn)均在函数y=+r（b>0且
6卡1，b,均为常数)的图像上.
(1)求的值：
(2)当b=2时，记bm=2(1og2an+1)(n∈N+)
证明：对在意的∈N,不等式十，士2女2>
>√m+I成立.
一、
数学到归纳法（难）（习题集）
3
观察不等式：1++日<2,1++号+…+号<3,1++后++店<4，
1
11
1
1+分+++员<5，…，由此归纳第个不等式为
.要用数学归纳法证明该不等
式，由n=(k≥1)时不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数为
4
在数列a.}中，@1=1，am1=3a十1，=1,3,3，…
an
(1)计算a2,ag,a4的值；
(2)猜想数列{a}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
设f)=五2,1=1，n=fan-)≥2n∈N).
5
(1)求2，g,x4的值
(2)归纳并猜想{m}的通项公式。
(3)用数学到归纳法证明你的猜想
6
已知函数于()满足f()=xf()+时(x),c,y∈R恒成立·
第2页（共3页）数学归纳法（知识讲解）
课程要求：
了解数学归纳法原理并应用其证明一些简单的数学命题.
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值no(no∈N)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥o,k∈N)时命题成立，证明当n=k+1时命题也，成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.
上述证明方法叫做数学归纳法
【补充说明】
用数学归纳法证明问题的关键在于第二步，即如何科学的说明n=飞+1的情况下命题成立，而用
来说明的依据是=时命题成立这一条件综合其他定理定义公式或是常见结论等共同得出的，干
万不能将n=k+1直接带入说明成立，也不能不利用=时命题成立这一条件而“另辟蹊径”导出
n=k+1时命题成立而完成证明.
【伤例题】用数学归纳法证明12+22+…+n2=nn+12m+1a∈.
6
【证明】
(1)当n=1时，左边=12=1，
右边=1×1+)×2×1+)=1，
6
等式成立
(2)假设当n=(k∈N)时等式成立，即
12+22+…+k2=k+102k+1)
6
那么，12+22+…+2+(k+1)2
k+102k++k+12
6
-kk+12k+1)+6k+1)2
=任+12+7张+6)
6
=飞+1k+2)(2k+3)
=飞+1)[k+1)+2(+1)+刂
6
即当n=k+1时等式也成立
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根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N都成立，
设数列{a}满足a1=2,an+1十nan=a哈+1，n∈N.
(1)求a ，g,a4:
(2)猜想数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明·
答案
(1)a2=3,ag=4,a4=5.
(2)
an=+1,证明见解析
解析
(1)a2=a晚-a1+1=4-3+1=3
a%=a号-2a2+1=9-6+1=4:
a4=a号-3a8+1=16-12+1=5.
(2)猜想数列{am}的通项公式an=n+1·
下面用数学归纳法证明
①当n=1时，有a1=2=1+1成立：
②假设n=k(k≥2，k∈N)时结论成立，即ak=k+1·
则ak+1=a晚-kak十1
=(k+1)2-飞+1)+1
=k+1+1.
即n=k+1时结论成立
由①②可知an=n+1对一切m∈N成立.
2
等比数列{a}的前n项和为Sn,已知对任意的%∈N+,点(n,Sn)均在函数y=+r(b>0且
b卡1，b,r均为常数)的图像上.
(1)求的值；
(2)当6=2时，记bm=2(1og2an+1)(n∈N+)
证明：对任意的，不等式结告>干成立.
答案
(1)”=-1
第2页（共7页)

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