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直接证明（知识讲解）
课程要求：
了解直接证明的两种方法一综合法和分析法，并利用综合法和分析法证明问题
综合法
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要
的结论.
例如：
已知a,b>0,求证a(6+c2)+6(c2+a2)≥4abc
证明：因为+c2≥2bc,a>0,
所以a(62+c2)≥2abc
又因为c2+a2≥2ac,b>0,
所以b(c2+a2)≥2abc.
因此a(62+c2)+b(c2+a2)≥4abc
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所
要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法，
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表
示为
P→Q1+Q1→Q2+Q2→Q3+…→Qm→Q.
【补充说明】
综合法的特点是顺势而发，即从已知条件入手，正向推导证明，寻找每一个中间结论的必要条
件，逐渐递推得到最后所要证明的条件
【例题】在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列，a,b
,c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.
【证明】由A,B,C成等差数列，有
2B=A+C.①
因为A,B,C为△ABC的内角，所以
第1页（共5页）
A十B+C=T.②
由①②得B=智.
由4，b,c成等比数列，有=aC.④
由余弦定理及③，可得2=a2+c2-2 accos B=a2+c2-ac.
再由④，得a2十c2-ac=ac,
即(a-c)2=0.
因此a=c.
从而A=C.⑤
由@ 6，得A=B=0=行
所以△ABC为等边三角形.
证明命题“对于任意角9，cos9-si血40=cos20的过程如下：
co849-8im40=(co820-in2g)(co820+in20=co820-$in20=cos20,此过程应用了()
A.分析法
B.综合法
C.综合法、分析法
D.间接证法
设a≥b>0,求证：3a3+2b3≥3a2b+2ab2
分析法
证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反推回去，寻求保证Q成立的条件，即使Q成立的
充分条件P,为了证明P成立，再去寻求P成立的充分条件P;为了证明P成立，再去寻求P成
立的充分条件直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，
例如：
求证V3+√7<2v5
证明：因为v3+√7和2v都是正数，所以要证
√+√7<25，
只需证(v+√/72<(2v2.
展开得10+2v21<20,
只需证√2红<5，
只需证21<25
第2页（共5页）直接证明（知识讲解）
课程要求：
了解直接证明的两种方法一综合法和分析法，并利用综合法和分析法证明问题
综合法
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要
的结论.
例如：
已知a,b>0,求证a(6+c2)+6(c2+a2)≥4abc
证明：因为+c2≥2bc,a>0,
所以a(62+c2)≥2abc
又因为c2+a2≥2ac,b>0,
所以b(c2+a2)≥2abc.
因此a(62+c2)+b(c2+a2)≥4abc
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所
要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法，
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表
示为
P→Q1+Q1→Q2+Q2→Q3+…→Qm→Q.
【补充说明】
综合法的特点是顺势而发，即从已知条件入手，正向推导证明，寻找每一个中间结论的必要条
件，逐渐递推得到最后所要证明的条件
【例题】在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列，a,b
,c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.
【证明】由A,B,C成等差数列，有
2B=A+C.①
因为A,B,C为△ABC的内角，所以
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A十B+C=T.②
由①②得B=智.
由4，b,c成等比数列，有=aC.④
由余弦定理及③，可得2=a2+c2-2 accos B=a2+c2-ac.
再由④，得a2十c2-ac=ac,
即(a-c)2=0.
因此a=c.
从而A=C.⑤
由@ 6，得A=B=0=行
所以△ABC为等边三角形.，
证明命题“对于任意角9，cos9-si血40=cos20的过程如下：
co849-8im40=(co820-in2g)(co8s20+in20=co820-$in20=cos20,此过程应用了()
A.分析法
B.综合法
C.综合法、分析法
D.间接证法
答案
B
解析
此题考察直接证明的两种方法：综合法和分析法，综合法是由条件推导出结果，分析法是由
结果推导出条件，由题干可知是由条件分析推导出结果，所以是综合法，故选B,
2
设a≥b>0,求证：3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
答案
答案见解析
解析
3a3+2b-(3a26+2ab2)
=3a2(a-6)+262(6-a)=(3a2-262)(a-b)
因为4≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,
从而(3a2-262)(a-b)≥0，
即3a3+2b≥3a2b+2ab2.
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