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合情推理（知识讲解）
课程要求：
结合数学实例与生活实例了解合情推理的含义，掌握归纳和类比的猜想，进而体会合情推理在数
学研究中的应用
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由
个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整
体、由个别到一般的推理
【伤例题】已知数列a,的第1项a-1,且a1=1牛。（n=1,2,3,…),试归纳出这个数
列的通项公式
解：当n=1时，1=1
当n=2时，2=
11
1t1=2
1
当n=3时，a8=
1+
3
当n=4时，a4=
31
1+
观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数.由此猜想，这个数列的通项公式为4，=】
在【例题】中，我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想.虽然猜想是否正确还有待严
格的证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向
已知数列{a,}的通项公式a=，1
(m+1)2
（n∈N+）,f(n)=(1-a)(1-a2)..(1-an),通
过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)的表达式（不需证明）·
答案
答案见解析
解析
因为cn=
a+yf例=0-a)0-a.a-a),所以0-1-a=1-是-是
第1页（共13页）
fa=a-aa-)=f0×(-)-×g-号-
3
间=-ma-a-=ox(-)号×语-
n+2
由此猜想：fm=2m+)
2
观察下列两式：
①tan10°，tan20°+tan20°.tan60°+tan60°，tan10°=1；
②tan5°.tan10°+tan10°.tan75°+tan75°，tan5°=1.
分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论，
答案
若a十B+y=90°，则tana.tanB+tanB.tany十tany.tana=1,
证明见解析
解析
推广结论：若a十B+y=90°，则tana.tan B+tanB.tany+tanY,tana=1.
证明如下：由a+B=90°-Y,得tan(a+)=tan(90°-），
即tana+tanB
=tan(90°-）=tanY
1
1-tanatan B
所以tan Btany+tanytana=1-tan atan B,
Eptana.tan8+tan B.tany+tany.tana=1.
二、
类比推理
【例题】直角三角形的两条直角边长分别为和6，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可
求得该直角三角形外接圆的半径，=V@2+
2
。那么对于一个三条侧棱分别为a,,c且两两垂直的
三棱锥，类比上述处理方法，猜测该三棱锥外接球的半径。
【分析与解】仿效对直角三角形的处理方法，先将三棱锥补全为一个长方体，而长方体的体对角
线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出三棱锥的外接球的半径为，二√++巴
2
像上面例题中这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对
象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）·简言之，类比推理是由特殊到特殊的推
理
第2页（共13页）合情推理（知识讲解）
课程要求：
结合数学实例与生活实例了解合情推理的含义，掌握归纳和类比的猜想，进而体会合情推理在数
学研究中的应用
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由
个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整
体、由个别到一般的推理
【例题】已知数列a,的第1项a-1,且1=1牛。（n=1,2,3,…),试归纳出这个数
列的通项公式
解：当n=1时，a1=1
当n=2时，2=
11
1t1=2
1
当n=3时，a8=
1+
3
当n=4时，a4=
31
1+
观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数.由此猜想，这个数列的通项公式为4，=】
在【例题】中，我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想.虽然猜想是否正确还有待严
格的证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向
已知数列{a}的通项公式an=，1
（n∈N+,f(n)=(1-a)(1-a2)..(1-an),通
(m+1)2
过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)的表达式（不需证明）·
观察下列两式：
①tan10°.tan20°+tan20°.tan60°+tan60°.tan10°=1；
②tan5°.tan10°+tan10°.tan75°+tan75°.tan5°=1.
分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论·
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二、
类比推理
【例题】直角三角形的两条直角边长分别为和6，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可
求得该直角三角形外接圆的半径，=YV牛，那么对于一个三条楼分别为久旧两两重直的
三棱锥，类比上述处理方法，猜测该三棱锥外接球的半径。
【分析与解】仿效对直角三角形的处理方法，先将三棱锥补全为一个长方体，而长方体的体对角
线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出三棱锥的外接球的半径为r=√a2++心
2
像上面例题中这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对
象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比），简言之，类比推理是由特殊到特殊的推
理
下面使用类比推理恰当的是()
A.“若a×3=b×3,则a=类推出“a×0=b×0,则a=b”
B.“(a+b)c=ac+be"类推出“(a·b)c=ac·be
C.a+)c=ac+be类推出a+b=8+(c≠0)”
c
c
D.“(ab)=a6”"类推出“(a十b)n=an十bn"
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，
然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理
【补充说明】
(1)通俗地说，合情推理是指“合乎情理的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理
常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思
路和方向：
(2)然而，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，需要经过检验和证明，想
要推翻很容易，只需举出一个反例即可；但是要想让结论站得住脚，则必须进行严格的证明
如下列两个合情推理都是不正确的：
①由“平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形"类比可得“平面内，两组对边分别相等的
四边形是平行四边形”；
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