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第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系
(1)借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；(2)了解四个基本事实和定理，了解空间两条直线位置关系的判定．　
重点一　平面的基本事实
1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
2．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
3．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
[注意]　三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面.
[逐点清]
1．(多选)(必修第二册128页练习2题改编)下列命题中正确的有(　　)
A．一条直线和一个点可以确定一个平面
B．经过两条相交直线，有且只有一个平面
C．过两条平行直线有且只有一个平面
D．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点一定在两个平面的交线上
解析：BCD　对于A选项，当这个点在直线上时，无法确定一个平面，故A错误；
对于B、C选项，均为基本事实1的推论，故B、C正确；
对于D选项，交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，必然在交线上，故D正确；故选B、C、D．
重点二　空间两直线的位置关系
1．空间中两直线的位置关系
2．异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
3．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
4．定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
[逐点清]
2．(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是(　　)
A．AB与CD是异面直线
B．GH与CD相交
C．EF∥CD
D．EF与AB异面
解析：ABC　把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知A、B、C正确，EF与AB相交，故D错，选A、B、C．
3．(必修第二册147页例1改编)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．
解析：连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°．
答案：60°
重点三　空间直线与平面、平面与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
2．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
[逐点清]
4．(易错题)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．
答案：b与α相交或b α或b∥α
[记结论]
1．异面直线的判定
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
(4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
[提速度]
　(多选)下列命题正确的是(　　)
A．过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直
B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
C．过平面外一点有无数条直线与已知平面平行
D．过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直
解析：AC　由结论2可得A、C正确．
平面基本事实的应用
　
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
[证明]　(1)如图，连接EF，CD1，A1B．
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1．
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示．
则由P∈CE，CE 平面ABCD，得P∈平面ABCD．
同理P∈平面ADD1A1．
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
1．证明点或线共面问题的2种方法
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2．证明点共线问题的2种方法
(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
3．证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．　
如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且AE＝3A1E，C1F＝3CF，求证：E，D，F，B1四点共面．
证明：如图，连接DF，在DD1上取一点G，使D1G＝A1E，连接EG，GC1，
∵A1E∥D1G且A1E＝D1G，
∴四边形A1EGD1是平行四边形，
∴EG∥A1D1且EG＝A1D1，
又∵A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，∴EG∥B1C1且EG＝B1C1，
∴四边形EB1C1G是平行四边形，∴EB1∥GC1，
又∵DG∥FC1且DG＝FC1，
∴四边形DFC1G是平行四边形，∴GC1∥DF，∴EB1∥DF，即E，D，F，B1四点共面．
空间两直线位置关系的判定
(1)(2022·济南模拟)如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是正方形，已知AA1＝4，AB＝2，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝BB1，CF＝CC1，则(　　)
A．D1E≠AF，且直线D1E，AF是相交直线
B．D1E≠AF，且直线D1E，AF是异面直线
C．D1E＝AF，且直线D1E，AF是异面直线
D．D1E＝AF，且直线D1E，AF是相交直线
(2)已知在长方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是(　　)
A．直线MN与直线A1B是异面直线
B．直线MN与直线DD1相交
C．直线MN与直线AC1是异面直线
D．直线MN与直线A1C平行
[解析]　(1)D1E＝＝，AF＝＝2≠D1E，如图，取点M为BC的中点，连接AM，MF，AD1，D1F，则AD1∥MF，故A，M，F，D1共面，点E在平面AMFD1外，故直线D1E经过平面AMFD1内一点和平面外一点，故直线D1E和平面内直线AF异面．故选B．
(2)如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；
因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；
因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；
因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．
[答案]　(1)B　(2)C
空间两直线位置关系的判定方法
　
已知α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点．若m α，n α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　)
A．垂直 B．相交
C．异面 D．平行
解析：D　若m α，A∈m，A∈α，则直线m与平面α相交，A为交点．由n α可知，若A∈n，则m，n相交(垂直是相交的一种特殊情况)；若A n，则m，n异面．所以m，n的位置关系不可能是平行．
异面直线所成的角
　(2021·全国乙卷)在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　如图，连接C1P，因为ABCD A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP．又BP 平面B1BP，所以有C1P⊥BP．连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则在Rt△C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin ∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝，故选D．
[答案]　D
求异面直线所成的角的三个步骤
(1)一作(找)：根据定义作(找)平行线，作(找)出异面直线所成的角；
(2)二证：证明作(找)出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作(找)的角．　
　(2022·石门模拟)在各棱长均相等的四面体ABCD中，已知M是棱AD的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为(　　)
A．　 B． C．　　 D．
解析：C　如图，设四面体ABCD的棱长为2，取CD的中点N，连接MN，BN，∵M是棱AD的中点，∴MN∥AC，∴∠BMN(或其补角)是异面直线BM与AC所成的角．∵BM＝BN＝＝，MN＝AC＝1，∴在△BMN中，cos∠BMN＝＝＝，∴异面直线BM与AC所成角的余弦值为．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．(2022·重庆一中月考)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)
A．点A　　　　　　　　 B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
解析：D　∵AB γ，M∈AB，∴M∈γ．又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β．根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．
2．若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是(　　)
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面或相交
解析：D　如图①②③所示，a，b的关系分别是平行、异面、相交．
3．(2022·滕州模拟)已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a α，b β，则“a，b相交”是“a，c相交”的(　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：C　若a，b相交，a α，b β，则其交点在交线c上，故a，c相交；若a，c相交，可能a，b为相交直线或异面直线．综上所述：a，b相交是a，c相交的充分不必要条件．故选C．
4．过长方体的一个顶点的平面与这个长方体的十二条棱所在的直线成的角都相等，这样的平面个数为(　　)
A．4 B．1
C．0 D．无数多个
解析：A　由题意，题目中的长方体与正方体，所作的平面个数相同，所以用正方体代替长方体来求解．
法一：在正方体ABCD A1B1C1D1中，三棱锥A A1BD是正三棱锥，直线AB，AD，AA1与平面A1BD所成角都相等，过顶点A作平面α∥平面A1BD，则直线AB，AD，AA1与平面α所成角都相等，同理，过顶点A分别作平面α与平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，直线AB、AD、AA1与平面α形成的角都相等，因此符合条件的平面可作4个，故选A．
法二：只要与体对角线垂直的平面都和正方体的所有棱所成的角相等，因为有四条体对角线，所以，可以做4个平面．故选A．
5．(多选)下列四个命题中是真命题的为(　　)
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
解析：AD　对于A，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以，AB α，即l3 α，A为真命题；
对于B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故B为假命题；
对于C，两条直线有可能平行也有可能异面，故C为假命题；
对于D，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，因为直线l 平面α，所以直线m⊥直线l，D为真命题．
6．(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(　　)
A．GH＝2EF
B．GH≠2EF
C．直线EF，GH是异面直线
D．直线EF，GH是相交直线
解析：BD　如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，在正方体ABCD A1B1C1D1中，∵MH∥A1C1∥AC∥FG，∴M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，∴E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，∵EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF 平面EFGNHM，∴EF与GH是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝MH，∴EF＝GH，即GH≠2EF．故选B、D．
7．(2022·武汉质检)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
解析：因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交．
答案：4
8．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
解析：如图，取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为．
答案：
9．在棱长为4的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD A1B1C1D1截成两部分，求截面与BCC1B1的交线段长．
解：如图，连接AE并延长交DC的延长线于M，连接FM交CC1于G，连接EG并延长交B1C1的延长线于N，连接NF并延长交A1D1于H，连接AH，则五边形AEGFH为经过点A，E，F的正方体的截面，
因为E为BC的中点，所以CE＝BC＝2，
因为CE∥AD，所以△MCE∽△MDA，
所以＝＝，所以CM＝CD＝4，
因为DM∥C1D1，所以△MCG∽△FC1G，
所以＝＝2，所以CG＝×4＝，
所以EG＝＝＝，
所以截面与BCC1B1的交线段长为．
B级——综合应用
10．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为(　　)
A．3 B．
C．4 D．3
解析：B　如图所示，连接EF，A1B，连接A1C1，B1D1交于点M，连接B1E，BC1交于点N，连接MN，由EF∥B1D1，得E，F，B1，D1共面，由P是线段A1B上的动点，当P重合于A1或B时，C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N，即Q的轨迹为MN，由棱长为3，得C1M＝A1C1＝3, 则BC1＝6，又＝＝，则NC1＝BC1＝4，由A1B＝BC1＝A1C1，得∠A1C1B＝60°，则MN＝＝＝．
11．(多选)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)
A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1共面
C．A，M，C，O共面 D．B，B1，O，M共面
解析：ABC　∵M∈A1C，A1C 平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A、B、C．
12．(2022·福州模拟)空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有________条．
解析：取a，b，c为一正方体三条两两异面的棱AD，CC1，A1B1，在AD上任取一点M，在BC上取点N，使得B1N∥A1M，设直线B1N与CC1交于点P，PM即与a，b，c都相交，由于M是任取的，故满足条件的直线有无数条．
答案：无数
13．如图，AB，CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．
解：如图，设⊙O的半径为R，母线VB＝l，则圆锥侧面展开图的中心角为＝π，∴＝，
∴sin∠BVO＝，
∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO＝．
连接OE，∵O，E分别是AB，VB的中点，
∴OE∥VA．
∴∠VOE＝∠AVO＝∠BVO＝，
∴∠VEO＝，即VE⊥OE．
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，AB∩VO＝O，
∴CD⊥平面VAB．
∵VE 平面VAB，
∴VE⊥CD．
又∵OE∩CD＝O，OE，CD 平面CDE，
∴VE⊥平面CDE．
∴∠VOE是截面与轴线的夹角，
∴截面的轴线夹角大小为．
由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE与圆锥面的截线为一抛物线．
C级——迁移创新
14．《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”如图①所示的长方体用平面AA1B1B斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，该三棱柱就叫堑堵．如图②所示的堑堵中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝2，M为BC的中点，则异面直线A1C与AM所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　如图，取B1C1的中点E，连接A1E，EC，则A1E∥AM，∠EA1C即为异面直线A1C与AM所成的角或其补角，在Rt△A1C1E中，A1E＝＝，在Rt△EC1C中，EC＝＝2，在Rt△A1C1C中，A1C＝，在△A1EC中，由余弦定理得，cos∠EA1C＝＝＝，故异面直线A1C与AM所成角的余弦值为，故选A．
15．设a，b是异面直线，点P a，P b．问：过点P是否可作直线l与a，b都相交？如果可作，能作多少条？如果不可作，请说明理由．
解：因为P a，P b，所以点P与直线a，b分别可确定一个平面α，β．又平面α，β有一个公共点P，所以它们有且只有一条经过点P的直线l．
(1)当l∥\a，且l∥\b时，l就是合乎要求的直线，且唯一；
(2)当l∥a，或l∥b时，这样的直线不存在．

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