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第三节　直线、平面平行的判定与性质
(1)了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，归纳出有关平行的性质定理和判定定理，并加以证明；(2)能利用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．　
重点一　直线与平面平行的判定定理和性质定理
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判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) a∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥b
[逐点清]
1．(必修第二册144页习题12题改编)在三棱柱ABC A1B1C1中，D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若A1C∥平面BC1D，则D为(　　)
A．棱AB的中点　　　 B．棱A1B1的中点
C．棱BC的中点 D．棱AA1的中点
解析：B　如图，当D为棱A1B1的中点时，取AB的中点E，∵A1E∥BD，DC1∥EC，DC1∩BD＝D，∴平面A1CE∥平面BC1D，又A1C 平面A1CE，则A1C∥平面BC1D．故选B．
2．(必修第二册143页习题5题改编)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
解析：连接BD，则AC∩BD＝O，连接OE(图略)，则OE∥BD1，OE 平面ACE，BD1 平面ACE，∴BD1∥平面ACE．
答案：平行
重点二　面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
性质定理 两个平面平行如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
[逐点清]
3．(必修第二册142页练习2题改编)设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：
①a α，b β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；
③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b．
其中能推出α∥β的条件是______(填上所有正确的序号)．
解析：在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；由α∥γ，β∥γ α∥β，条件②满足；在④中，a⊥α，a∥b b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，条件④满足．
答案：②④
[记结论]
1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
3．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
4．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
[提速度]
　如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________．
解析：由结论3知＝，∴AB＝＝＝．
答案：
直线与平面平行的判定与性质
如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
[解]　(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE．
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE．
又因为OE 平面BDE，AM 平面BDE，
所以AM∥平面BDE．
(2)l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM 平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m．
1．利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线．
2．利用面面平行的性质证明直线与平面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形．
3．在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．　
如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：GH∥平面PAD．
证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点．又M是PC的中点，
所以AP∥OM．又知OM 平面BMD，AP 平面BMD．
根据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD．
因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA 平面PAHG．
根据直线和平面平行的性质定理，所以PA∥GH．
因为GH 平面PAD，PA 平面PAD，
所以GH∥平面PAD．
平面与平面平行的判定及性质
　如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
[证明]　(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，且A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF．
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，
则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
1．判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理；
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．
2．面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行；
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
[注意]　利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线．　
　(2022·山东质检)如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l．
证明：(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1．
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1．
因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C．
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1．
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1．
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l．
平行关系的综合应用
　如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1．
(1)证明：平面ABF∥平面DCE；
(2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为3∶5？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)证明：∵DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，∴DE∥AF，
又DE 平面DCE，AF 平面DCE，∴AF∥平面DCE，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，
又CD 平面DCE，AB 平面DCE，∴AB∥平面DCE，
∵AB∩AF＝A，AB 平面ABF，AF 平面ABF，∴平面ABF∥平面DCE．
(2)存在点G，满足题意，理由如下：
在DE上取DN＝AF＝1，连接FN，NC，可证NC綉BF．
假设存在一点G，过G作MG∥NC交EC于M，连接BG，BM，FG，如图，由V几何体ABCDEF＝V四棱锥B ADEF＋V三棱锥B CDE＝×3×＋×3×＝，设EG＝t，∵△EGM∽△ENC，∴＝＝．
则V几何体GFBME＝V三棱锥B EFG＋V三棱锥B EGM＝×＝，设M到ED的距离为h，
则＝，∴＝，即h＝t，则S△EGM＝×t×t＝t2，
V几何体GFBME＝V三棱锥B EFG＋V三棱锥B EGM＝×3××3×t＋×3×t2＝，即4t2＋8t－21＝0，
解得t＝，或t＝－(舍)，则存在点G，满足EG＝，即G为ED的中点时满足条件．
解决这种数值或存在性问题的题目时，注意先给出具体的值或先假设存在，然后再证明．　
　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝．
(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．
解：(1)证明：连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，
所以＝＝，又因为＝＝，所以＝＝，
所以PQ∥MD1．又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA．
(2)当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA．如图，
证明如下：因为＝，即＝，故＝．所以PR∥DA．
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，
又由(1)知PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　 B．相交
C．AC在此平面内 D．平行或相交
解析：A　把这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC 平面EFG，∵EF 平面EFG，故AC∥平面EFG，故选A．
2．(2022·浙江模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α，n α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A　m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α，n α，则“α∥β”得“m∥β且n∥β”，根据面面平行的判定定理得“m∥β且n∥β”不能得“α∥β”，所以“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．故选A．
3．(2022·本溪模拟)对于平面α和不重合的两条直线m，n，下列选项中正确的是(　　)
A．如果m α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
B．如果m α，n与α相交，那么m，n是异面直线
C．如果m α，n α，m，n是异面直线，那么n∥α
D．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α
解析：A　由线面平行的性质定理，可知A正确，B选项中，n可以与m相交，C选项中，直线n可以与平面α相交，D选项中，n可以在平面α内．故选A．
4．(2022·天津模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．1条或2条
解析：C　如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH．∵EF 平面BCD，GH 平面BCD，∴EF∥平面BCD．又∵EF 平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD．又EF 平面EFGH，CD 平面EFGH．∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条．
5．(2022·珠海一模)已知正方体ABCD A1B1C1D1的体积为64，若点M∈平面A1BD，点N∈平面B1CD1，则MN的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　由正方体特征知BD∥B1D1，又BD 平面B1CD1，B1D1 平面B1CD1，∴BD∥平面B1CD1，同理可得A1D∥平面B1CD1，又BD∩A1D＝D，BD，A1D 平面A1BD，∴平面A1BD∥平面B1CD1，∴MN的最小值为平面A1BD到平面B1CD1的距离，∵正方体ABCD A1B1C1D1的体积为64，设正方体棱长为a，则a3＝64，∴a＝4，∴AC1＝a＝4，∴MNmin＝AC1＝．故选B．
6．(多选)α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是(　　)
A． a∥b B． a∥b
C． α∥β D． α∥β
解析：AD　对于A，由点线面位置关系的基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行，故正确．对于B，两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线可能相交，也可能是异面直线，不一定平行，故不正确．对于C，两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可以平行，也可以相交，故不正确．对于D，由面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面平行，故正确．故选A、D．
7．(多选)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是(　　)
A．BM∥平面ADE B．CN∥平面BAF
C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF
解析：ABCD　以ABCD为下底还原正方体，如图所示，则有BM∥平面ADE，CN∥平面BAF，选项A、B正确；在正方体中，BD∥FN, FN 平面AFN，BD 平面AFN，所以BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN，BM∩BD＝B，BM，BD 平面BDM，所以平面BDM∥平面AFN，同理平面BDE∥平面NCF，选项C、D正确，故选A、B、C、D．
8．在三棱锥P ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8．
答案：8
9．(2022·青岛质检)设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ．
可以填入的条件有________(填序号)．
解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．
答案：①或③
10．如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG．
证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点．
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF．
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE 平面MNG，GN 平面MNG，所以DE∥平面MNG．
因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，又BD 平面MNG，MN 平面MNG，所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG．
B级——综合应用
11．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是(　　)
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值
解析：AD　根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC 平面ABCD，A1C1 平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确．
12．如图，正八面体PABCDQ的棱长为2，点E，F，H分别是PA，PB，BC的中点，则过E，F，H三点的平面α截该正八面体所得截面的面积等于________．
解析：∵E，F，H分别是PA，PB，BC的中点，∴EF∥AB，又EF 平面ABQ，AB 平面ABQ，∴EF∥平面ABQ．同理得FH∥平面CDP．又平面ABQ∥平面CDP，EF∩FH＝F，∴平面α∥平面ABQ∥平面CDP．设平面α与CQ相交于点M(图略)，则HM∥BQ，故M为CQ的中点．同理得平面α也过DQ，AD的中点，结合正八面体的对称性，得截面是边长为1的正六边形，其面积S＝×6＝．
答案：
13．如图所示，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)．
解析：连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1．
答案：点M在线段FH上
14．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．
(1)找到点E的位置，作出截面α(保留作图痕迹)，并说明理由；
(2)已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．
解：(1)在正方形CDD1C1中，过F作FG∥DC，且交棱DD1于点G，
连接AG，在正方形ADD1A1内过D1作D1E∥AG，且交棱AA1于点E，连接EB，则四边形BED1F就是要作的截面α(如图所示)．
理由：由题意，平面α∩平面AD1＝D1E，α∩平面BC1＝BF，平面AD1∥平面BC1，应有D1E∥BF，
同理，BE∥FD1，所以四边形BED1F应是平行四边形．
(2)由题意，CF＝a(0连接D1B1，则平面α将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥D1 A1EBB1与四棱锥D1 B1BFC1的组合体，
V1＝VD1 A1EBB1＋VD1 B1BFC1＝××1＋××1＝，
而该正方体的体积V＝1，V2＝V－V1＝1－＝．所以V1∶V2＝1．
C级——迁移创新
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)
A．　　 B．　　　　
C．　　　 D．
解析：B　如图①，分别取B1C1，C1D1的中点E，F，连接EF，BE，DF，B1D1，ME，易知EF∥B1D1∥BD，AB∥ME，AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE，又BD和BE为平面BDFE内的两条相交直线．所以平面AMN∥平面BDFE，即平面BDFE为平面α，BD＝，EF＝B1D1＝，得四边形BDFE为等腰梯形，DF＝BE＝，如图②，在等腰梯形BDFE中，过E，F作BD的垂线，交BD于H，G，则四边形EFGH为矩形，所以其高FG＝＝＝，故所得截面的面积为××＝．
16．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
解析：C　如图，过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN．∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1．又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵＝＝2，∴MQ＝2x．在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(0≤x<1，1≤y<)，∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．故选C．

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