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第四节　直线、平面垂直的判定与性质
(1)了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明；(2)能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．　
重点一　直线与平面垂直
1．定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
2．判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
[逐点清]
1．(必修第二册158页练习2题改编)已知直线l垂直于△ABC的边AB和AC，另一条直线m垂直于△ABC的边BC和AC，则直线l，m的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　 B．异面
C．相交 D．垂直
解析：A　因为直线l垂直于△ABC的边AB和AC，AB∩AC＝A，所以直线l垂直于平面ABC，同理可得直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m．
重点二　直线和平面所成的角
1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是．
2．范围：．
[逐点清]
2．(易错题)已知过平面α外一动点A的斜线l与平面α所成角为，并且斜线l交平面α于定点B，若动点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形面积是(　　)
A．3π B．2π
C．π D．
解析：A　如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积为3π．故选A．
重点三　平面与平面垂直
1．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角；
(3)范围：[0°，180°]．
2．平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
3．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
[逐点清]
3．(多选)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列说法正确的有(　　)
A．平面PAD⊥平面PAB
B．平面PAD⊥平面PCD
C．平面PBC⊥平面PAB
D．平面PBC⊥平面PCD
解析：ABC　由题意PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥BC，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD，同理可得AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，因为CD 平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD，同理可得平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，故选A、B、C．
4．(必修第二册163页习题6题改编)正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为________．
解析：如图，由正六棱柱的几何特征可知BB′⊥AB，BB′⊥BC，则∠ABC为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，∴∠ABC＝＝．
答案：
重点四　空间距离
1．点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
2．直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
3．两个平面间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
[逐点清]
5．(易错题)如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　)
A． B．1
C． D．
解析：D　正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1C1∥平面ABCD，则A1C1到平面ABCD的距离即为正四棱柱的侧棱长．由∠B1AB＝60°及AB＝1，知侧棱长为，故选D．
[记结论]
1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
2．垂直于同一条直线的两个平面平行．
3．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
4．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
[提速度]
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α⊥β且m α B．m⊥n且n∥β
C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β
解析：C　由结论1可知C正确．
2．(多选)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
解析：AC　根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③中给定的平面内的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，④中正六边形的两边可能是互相平行的两边，不满足定理条件．
3．(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
C．垂直于同一条直线的两个平面相互平行
D．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面
解析：BCD　对于A，两个相交平面有一条交线，交线有无数个公共点，但是这两个平面不重合，故A错误；对于B，若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，这是面面垂直的判定定理，故B正确；对于C，由结论2可知，C正确；对于D，由结论4可知，D正确，故选B、C、D．
直线与平面垂直的判定与性质
(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．
(1)求三棱锥F EBC的体积；
(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．
[解]　(1)如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1，EM＝AB＝1，AB∥A1B1，
由BF⊥A1B1得EM⊥BF，
又EM⊥CF，BF∩CF＝F，
所以EM⊥平面BCF，
故V三棱锥F EBC＝V三棱锥E FBC＝×BC×CF×EM＝××2×1×1＝．
(2)证明：连接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，
所以ED在平面EMB1A1内．
在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，所以由平面几何知识可得BF⊥B1M，
又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，
所以BF⊥平面EMB1A1，
又DE 平面EMB1A1，所以BF⊥DE．
1．证明直线和平面垂直的常用方法
(1)判定定理；(2)直线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l β l⊥α)．
2．证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路．　
　如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE．
证明：(1)在四棱锥P ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．又AE 平面PAC，∴CD⊥AE．
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD．又PD 平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，又PD 平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE．
平面与平面垂直的判定与性质
　
\(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P ABCD的体积．
[解]　(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AM 平面ABCD，
∴PD⊥AM．
∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB 平面PBD，PD 平面PBD，
∴AM⊥平面PBD，
又AM 平面PAM，
∴平面PAM⊥平面PBD．
(2)∵M为BC的中点，∴BM＝AD．由题意知AB＝DC＝1．
∵AM⊥平面PBD，BD 平面PBD，∴AM⊥BD，
由∠BAM＋∠MAD＝90°，∠MAD＋∠ADB＝90°，得∠BAM＝∠ADB，
易得△BAM∽△ADB，∴＝，即＝，得AD＝，
∴S矩形ABCD＝AD·DC＝×1＝，
则四棱锥P ABCD的体积VP ABCD＝S矩形ABCD·PD＝××1＝．
1．判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β)．
2．已知平面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．　
　(2020·江苏高考)在三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1；
(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，
所以EF∥AB1．
又EF 平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1．
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以B1C⊥AB．
又AB⊥AC，B1C 平面AB1C，AC 平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C，
又因为AB 平面ABB1，
所以平面AB1C⊥平面ABB1．
垂直关系的综合应用
在四棱锥P ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°．
(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD的面积为8，求四棱锥P ABCD的体积．
[解]　(1)当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD．证明如下：
如图，连接CM，
PM，由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，
而平面PAD⊥平面ABCD，PM 平面PAD，AD为平面PAD和平面ABCD的交线，可得PM⊥平面ABCD，
又PM 平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD．
(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，可得MC＝AB＝MD＝a，则CD＝a，PD＝2a，
由PM⊥MC，可得PC＝＝＝2a，
而△PCD的面积为·a·＝a2＝8，可得a＝4，
四棱锥P ABCD的体积为V＝S四边形ABCD·PM＝××(4＋8)×4×4＝32．
对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．　
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝1，AC＝，点D，E分别为AC和B1C1的中点．
(1)棱AA1上是否存在点P使得平面PBD⊥平面ABE？若存在，写出PA的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
(2)求点A到平面BDE的距离．
解：(1)存在点P满足题意，且PA＝．证明如下：
如图，取A1C1的中点为F，连接EF，AF，DF．
则EF∥A1B1∥AB，所以AF 平面ABE．
因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC．
在直三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC⊥平面ACC1，且交线为AC，
所以BD⊥平面ACC1，所以BD⊥AF．
在平面ACC1内，＝＝，∠PAD＝∠ADF＝90°，
所以Rt△PAD∽Rt△ADF，从而可得AF⊥PD．
又因为PD∩BD＝D，所以AF⊥平面PBD．
因为AF 平面ABE，所以平面PBD⊥平面ABE．
(2)过点E作EH⊥BC，垂足为H，连接DH．
设点A到平面BDE的距离为h．
VE ABD＝S△ABD·EH＝××××1＝．
而BE＝＝＝，DE＝＝ ＝．
所以△EDB是等腰三角形，腰长为，底边长为，
所以S△BDE＝× ×＝，
因此VA BDE＝×S△BDE×h＝h＝，解得h＝．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)
A．①②　　　　　　　 B．②④
C．①③ D．②③
解析：B　对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE．故选B．
2．(2022·盐城模拟)如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
解析：A　连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1．∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC．∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．
3．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　设圆锥的高为h，则由题意可得，V＝πr2h＝πr3，解得＝，所以母线与底面所成角的正切值为，由同角三角函数关系可得，母线与底面所成角的正弦值为．故选A．
4．在三棱锥P ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，∠ABC＝．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．4π B．10π
C．12π D．48π
解析：C　如图，取边AB的中点M，边PC的中点O，由于∠ABC＝，所以点M为△ABC外接圆的圆心，连接OM，OA，则OM∥PA，又因为PA⊥平面ABC，所以OM⊥平面ABC，因为AC 平面ABC，BM 平面ABC，所以OM⊥AC，OM⊥BM，又因为BM＝MA＝MC，所以OB＝OA＝OC＝OP，则点O为外接球的球心，又因为OM＝PA＝1，MA＝CA＝ ＝，所以球半径为＝，所以球表面积为4π×2＝12π，故选C．
5．(多选)已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是(　　)
A．m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
B．m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
C．m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β
D．m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
解析：CD　A选项，若m∥α，n∥β，且m∥n，则α，β可能相交或平行，故A错误；B选项，若m∥α，n∥β，且m⊥n，则α，β可能相交，也可能平行，故B错误；C选项，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故C正确；D选项，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，又n⊥β，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D正确．故选C、D．
6．(多选)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AC与EF交于点G，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有(　　)
A．AG⊥△EFH所在平面 B．AH⊥△EFH所在平面
C．EF⊥△AGH所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面
解析：BC　根据折叠前、后得到AH⊥HE，AH⊥HF不变，根据线面垂直的判定定理，可得AH⊥平面EFH，所以B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；因为AG⊥EF，EF⊥AH，由线面垂直的判定定理，可得EF⊥平面AGH，所以C正确；因为HG与AG不垂直，所以HG与平面AEF不垂直，所以D不正确．故选B、C．
7．(2022·天津模拟)已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β．(填所选条件的序号)
解析：根据面面平行的特征可得，若m α，α∥β，则m∥β；根据线面垂直以及面面平行的特征可得，若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
答案：(3)(5)　(2)(5)
8．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．
解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．因为PE＝PF＝，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°．在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝＝＝．
答案：
9．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD．
证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD．
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD，所以PE⊥BC．
(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
因为PD 平面PAD，所以AB⊥PD．
又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，
所以PD⊥平面PAB．
因为PD 平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD．
(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG．
因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC．
因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC．
所以DE∥FG，DE＝FG．
所以四边形DEFG为平行四边形．
所以EF∥DG．
又因为EF 平面PCD，DG 平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
B级——综合应用
10．(多选)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的有(　　)
A．当E点运动时，A1C⊥AE总成立
B．当E向D1运动时，二面角A EF B逐渐变小
C．二面角E AB C的最小值为45°
D．三棱锥A BEF的体积为定值
解析：ACD　对于A，因为在正方体中可证其体对角线A1C⊥平面AB1D1，而AE 平面AB1D1．所以A1C⊥AE恒成立，A正确；对于B，平面EFB即平面BDD1B1，而平面EFA即平面AB1D1，所以当E向D1运动时，二面角A EF B的大小不变，B错误；对于C，当点E从B1D1的中点向点D1运动时，平面ABE逐渐向底面ABCD靠拢，这个过程中，二面角E AB C越来越小，所以二面角E AB C的最小值为∠D1AD＝45°，C正确；对于D，因为S△BEF＝××1＝，点A到平面BDD1B1的距离为，所以体积为××＝，即体积为定值，D正确．故选A、C、D．
11．图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点A，B，C在同一水平面内．塔身PO⊥平面ABC，直线AO与BC的交点E是BC的中点，起重小车挂在线段AO上的D点，AB＝AC，DO＝6 m．若PO＝2 m，PB＝3 m，△ABC的面积为10 m2，根据图中标注的数据，忽略△ABC自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点A，P之间的距离为(0．5OD＝1．5OE)(　　)
A．2 m B．6 m
C．8 m D．9 m
解析：A　根据条件得，OE＝＝＝2 m．∵PO⊥平面ABC，AE 平面ABC，∴PO⊥AE，又AB＝AC，E是BC中点 ，∴AE⊥BC，PE⊥BC．∵PO＝2 m，∴PE＝2 m，∵PB＝3 m，∴BE＝1 m．由于△ABC的面积为10 m2，∴BC·AE＝10，解得AE＝10 m，即AO＝8 m，即AP＝2 m．故选A．
12．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．
解析：如图，连接AC，BD，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，PC 平面PAC，所以BD⊥PC．所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD．PC 平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)
13．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝________．
解析：如图，连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DQ，又PQ⊥DQ，∴DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ．∴点Q在以线段AD的中点O为圆心，AD为直径的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切(否则相交就有两点满足垂直，矛盾)，∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ＝AB＝1，∴BC＝AD＝2，即a＝2．
答案：2
14．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB．
(1)证明：MN∥平面PDC；
(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：在四边形ABCD中，由AB＝BC＝，AD＝CD＝1，
可得△ABD≌△CBD，
可得AC⊥BD，且M为AC的中点，
由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，
可得DM＝CDcos 60°＝，AC＝2CDsin 60°＝，
则BM＝×＝，
由＝＝，可得MN∥PD，
而MN 平面PCD，PD 平面PCD，
可得MN∥平面PDC．
(2)当点Q为BC的中点时，满足题意，理由如下：过M作ME⊥AD，垂足为E，延长EM交BC于Q，连接NQ，NE，如图，
由PA⊥平面ABCD，EQ 平面ABCD，可得PA⊥EQ，
又EQ⊥AD，可得EQ⊥平面PAD，EQ 平面MNQ，可得平面MNQ⊥平面PAD，故存在这样的点Q．
在Rt△DME中，∠EMD＝90°－60°＝30°，
在△BQM中，∠QBM＝∠BMQ＝30°，∠BQM＝120°，由BM＝，＝，
可得BQ＝＝，即Q为BC的中点，
故Q为BC的中点时，平面MNQ⊥平面PAD．

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