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第一节　空间几何体的结构特征、表面积与体积
(1)认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；(2)知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题；(3)能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图．　
第一课时　空间几何体的结构特征、表面积与体积
重点一　基本立体图形
1．多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似
侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
[注意]　常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系
2．旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
[注意]　球的截面的性质, 1 球的任何截面都是圆面； 2 球心和截面 不过球心 圆心的连线垂直于截面； 3 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝\r(R2－d2)．
[逐点清]
1．(易错题)如图，长方体ABCD A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，FG∥BC．则剩下的几何体是(　　)
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．六棱柱
解析：C　根据几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选C．
2．一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径OB是10，水面宽AB是16，则这条排水管内水最深处CD是________．
解析：由题意知OD⊥AB，交AB于点C，∵AB＝16，∴BC＝AB＝×16＝8，在Rt△OBC中，∵OB＝10，BC＝8，∴OC＝＝＝6，∴CD＝OD－OC＝10－6＝4．
答案：4
重点二　立体图形的直观图
1．画法：常用斜二测画法．
2．规则：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直；
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
[逐点清]
3．(多选)(必修第二册109页练习1题改编)下列说法正确的是(　　)
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中不一定相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
解析：BD　由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．故选B、D．
重点三　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l
[注意]　(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和；(2)圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl．
[逐点清]
4．(必修第二册119页练习1题改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D． cm
解析：B　设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，由题意，得2πl×＝2πr，l＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm)．
重点四　空间几何体的表面积与体积公式
　　名称几何体　　 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
[逐点清]
5．(必修第二册119页习题2题改编)如图，把一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47．
答案：1∶47
[记结论]
几个与球有关的切、接常用结论
(1)设正方体的棱长为a，球的半径为R．
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a．
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1．
[提速度]
1．(2020·天津高考)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．12π B．24π
C．36π D．144π
解析：C　设外接球的半径为R，易知2R＝×2＝6，所以R＝3，于是表面积S＝4πR2＝36π，故选C．
2．正四面体的外接球和内切球的表面积之比是(　　)
A．7∶2 B．5∶2
C．3∶1 D．9∶1
解析：D　由正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，所以它们的表面积之比为9∶1，故选D．
空间几何体的结构特征
考向1　基本立体图形的特征
　下列说法正确的是(　　)
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
[解析]　选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，正确．故选D．
[答案]　D
空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举出一个反例即可．　
考向2　立体图形的直观图
　一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(　　)
A．a2 B．2a2
C．a2 D．a2
[解析]　根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝··S＝S．又直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积S＝＝2a2．
[答案]　B
1．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．　
考向3　立体图形的展开图
(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
[解析]　设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，所以2π×＝πl，解得l＝2，故选B．
[答案]　B
多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．　
1．已知△ABC的斜二测直观图如图所示，则△ABC的面积为________．
解析：由题意，△ABC的斜二测直观图的面积S′＝×1×2×sin 45°＝，所以△ABC的面积S＝2S′＝2×＝2．
答案：2
2．圆台的上、下底面半径分别为10 cm、20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________ cm2．(结果中保留π)
解析：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10(cm)，所以SA＝20 cm．同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100π cm2．
答案：1 100π
空间几何体的表面积
(2021·新高考Ⅱ卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是一个球心为O，半径r为6 400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2(1－cos α)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为(　　)
A．26% B．34%
C．42% D．50%
[解析]　如图，作出过地球静止同步轨道卫星轨道左右端点的竖直截面，则OB＝36 000＋6 400＝42 400，cos α＝＝，S占地球表面积的百分比为＝≈42%，故选C．
[答案]　C
1．多面体的表面积是各个面的面积之和．
2．旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．
3．组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．　
　(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．
解析：设该圆锥的高为h ，则由已知条件可得×π×62×h＝30π，解得h＝，则圆锥的母线长为＝＝，故该圆锥的侧面积为π×6×＝39π．
答案：39π
空间几何体的体积
考向1　直接利用公式求体积
　(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(　　)
A．20＋12 B．28
C． D．
[解析]　如图，分别取上下底面的中心O1，O2，过B1作B1M⊥OB于点M，则OB＝2，O1B1＝，BM＝，B1M＝＝，故四棱台的体积为V＝(S上＋S下＋)h＝×(4＋16＋8)×＝，故选D．
[答案]　D
考向2　割补法求体积
　在多面体ABC DEF中，△ABC是边长为2的正三角形，AD，BE，CF都与平面ABC垂直，且AD＝2，BE＝1，CF＝3，则多面体ABC DEF的体积是(　　)
A．　 B．2 C．3　　 D．4
[解析]　如图，将多面体ABC DEF补成三棱柱MNF ABC，三棱柱MNF ABC的体积V1＝SABC·|CF|＝×22×3＝3，设h为该四棱锥F MNED的高，其数值为底面等边△FMN的底边MN上的高，则h＝，而四棱锥F MNED的体积V2＝·S四边形MDEN·h＝××2×＝，则多面体ABC DEF的体积是3－＝2．故选B．
[答案]　B
考向3　等体积法求最值
　已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，则三棱锥A NMD1的体积为________．
[解析]　如图，∵正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，∴S△ANM＝×1×1＝，∴V＝V＝××2＝．
[答案]　
求空间几何体体积的常用方法
公式法 对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解
割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积
等体积法 一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积
　
1．如图所示，已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 ABC1的体积为(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　易知三棱锥B1 ABC1的体积等于三棱锥A B1BC1的体积，又三棱锥A B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝．
2．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为________．
解析：由题意知，侧面展开图的弧长为5×π＝8π，设圆锥底面圆的半径为r，则8π＝2πr，∴r＝4，∴圆锥高h＝＝3，∴体积为×π×42×3＝16π．
答案：16π
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．(2022·天津模拟)已知一个圆锥的母线长为4，且其侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为(　　)
A．π　　　　　　　 B．
C． D．
解析：A　不妨设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，根据题意，则4××2rh＝πrl，所以h＝l＝×4＝π．
2．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为(　　)
A．＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
解析：D　由题意，根据斜二测画法的规则，可得该平面图形是上底长为1，下底长为1＋，高为2的直角梯形OABC，如图所示，所以计算得面积为S＝(1＋1＋)×2＝2＋．故选D．
3．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
解析：B　设这个球的半径为R，则4πR2＝16π，得R＝2，所以这个球的体积V＝πR3＝π．故选B．
4．(2022·青岛质检)如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱AA1＝4，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，则水面的高为(　　)
A．2 B．
C．3 D．
解析：C　当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱，底面是梯形，面积为S，此时水的体积V＝S·AA1＝4S，当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱，设水面高为h，此时水的体积V＝S△ABC·h，又S＝S△ABC，∴h＝＝3，故选C．
5．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱台的侧面是等腰梯形
D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
解析：AD　A正确；B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．故选A、D．
6．(多选)如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则(　　)
A．该圆锥的母线长为5
B．该圆锥的体积为12π
C．该圆锥的表面积为15π
D．三棱锥S ABC体积的最大值为12
解析：ABD　该圆锥的母线长为＝5，A正确；该圆锥的体积为×π×32×4＝12π，B正确；该圆锥的表面积为π×3×(3＋5)＝24π，C错误；当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC＝×6×3＝9，三棱锥S ABC体积的最大值为×9×4＝12，D正确．故选A、B、D．
7．(2022·珠海模拟)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
解析：设六棱锥的高为h，则V＝Sh，所以××4×6h＝2，解得h＝1．设六棱锥的斜高为h′，则h2＋()2＝h′2，故h′＝2．所以该六棱锥的侧面积为×2×2×6＝12．
答案：12
8．(2022·武汉月考)已知圆台的上、下底面半径分别是r，R，且侧面积等于两底面积之和，则圆台的母线长为________．
解析：设圆台的母线长为l，则圆台的侧面积为S侧＝π(r＋R)l，圆台的两底面积之和为S＝π(r2＋R2)，由已知得π(r＋R)l＝π(r2＋R2)，所以l＝．
答案：
9．(2020·江苏高考)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0．5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________ cm3．
解析：正六棱柱的体积为6××22×2＝12(cm3)，圆柱的体积为π×0．52×2＝(cm3)，则该六角螺帽毛坯的体积为cm3．
答案：12－
B级——综合应用
10．若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则此正三棱台的侧面积为(　　)
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
解析：C　如图，设O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E．在直角梯形ODD1O1中，OD＝××2a＝a，O1D1＝××a＝a，∴DE＝OD－O1D1＝a．在Rt△DED1中，D1E＝a，则D1D＝＝＝a．∴S侧＝3×(a＋2a)a＝a2．
11．如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________．
解析：由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球，圆台的上底面面积S1＝4π，下底面面积S2＝16π，∴圆台的体积为V1＝×(4π＋＋16π)×3＝28π，又半球的体积为V2＝××π×23＝，故旋转体的体积为V1－V2＝28π－＝．
答案：
12．沙漏是一种古代的计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上、下两个相同的圆锥组成，圆锥的高为1，若上面的圆锥中装有高度为的液体，且液体能流入下面的圆锥，则液体流下去后的液面高度为________．
解析：由题意可得，＝3＝，所以＝1－＝，又上下两圆锥是对顶的相同圆锥，所以液体流下去后的液面与下圆锥底面形成一个圆台，其体积等于液体未流前小圆锥体积，所以未流下前上圆锥中的空圆台与流下后下圆锥液体上方的空圆锥体积相等，所以液体流下后下圆锥中＝，所以V空的高为＝，即液面的高度为1－．
答案：1－

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