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三轮冲刺--高考数学考前应知应会的解题方法探究
探究一　重温基础，高考“七分靠实力，三分靠心态”
一　集合与常用逻辑用语
[典例1]解析：①当B≠ 时，则有
解得1≤m≤3；
②当B＝ 时，2m>m＋3，解得m>3.
综合①②，得m≥1，故实数m的取值范围是[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
[典例2]解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以应先将存在量词改成全称量词，然后否定结论即可，所以命题p： x<0，x2≥1的否定是 x<0，x2<1，故选B.
答案：B
二　不等式
[典例1]解析：易知函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)．
因为点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，所以－m－2n＝－2，即＋n＝1，
所以＝＝＋2＝，当且仅当＝即m＝n时取等号．故选C.
答案：C
[典例2]解析：(1)若 x>0，ax2－x＋a≥0即a≥恒成立，
则只需满足a≥，x>0.
令h(x)＝(x>0)，则h(x)＝＝，当且仅当x＝1时等号成立，
故实数a的取值范围是.
(2)不等式f(x)≥0即ax2－x＋a≥0，
①当a＝0时，f(x)≥0即－x≥0，此时f(x)≥0的解集为(－∞，0].
②当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x＋a的图象的对称轴为直线x＝，令ax2－x＋a＝0，则Δ＝，
(ⅰ)当a<－时，Δ<0，此时f(x)≥0的解集为 ；
(ⅱ)当a＝－时，Δ＝0，此时f(x)≥0的解集为即{－1}；
(ⅲ)当－0，函数f(x)的零点为x0＝，此时f(x)≥0的解集为[]；
(ⅳ)当00，函数f(x)的零点为x0＝，此时f(x)≥0的解集为(－∞，；
(ⅴ)当a≥时，Δ≤0，此时f(x)≥0的解集为R.
综上，当a<－时，f(x)≥0的解集为 ；当a＝－时，f(x)≥0的解集为{－1}；当－三　函数、导数
[典例1]解析：由题意可知，当x≤0时，10时，f(x)≥0，f(x)在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．作出函数f(x)的图象，如图所示．
设t＝f(x)，则关于t的方程t2－(a＋2)t＋3＝0有两个不同的实数根，且t∈(1，2].
令g(t)＝t2－(a＋2)t＋3，则
解得2－2答案：B
[典例2]解析：(1)对f(x)求导得
f′(x)＝＝.
因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.
当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.
(2)方法一　f′(x)＝.
令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，设x1，x2为g(x)＝0的两根，则x1＝，x2＝.
当x当x10，即f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，此时f(x)为减函数．
由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，得x2＝≤3，解得a≥－，
故a的取值范围为.
方法二　f′(x)＝，由题意知－3x2＋(6－a)x＋a≤0对任意的x∈[3，＋∞)恒成立(且不恒等于0)，分离参数得a≥(x≥3)．
令t＝x－1，则x＝t＋1，且t≥2，所以a≥＝＝－3t＋在[2，＋∞)上恒成立，故a≥＝－6＋＝－.
经检验，a＝－时满足题意．故a的取值范围为.
四　三角函数与平面向量
[典例1]解析：因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
所以
所以即
设a，b的夹角为α，则cos α＝＝，
因为α∈[0，π]，
所以α＝，即a，b的夹角为，故选C.
答案：C
[典例2]解析：将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin ＝sin .
因为所得函数为偶函数，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
即φ＝kπ＋(k∈Z)，则φ的一个可能取值为，故选B.
答案：B
五　数列
[典例1]解析：(1)当n＝2时，2S2＝2(1＋a2)＝3a2－2，则a2＝4，
当n＝3时，2S3＝2(1＋4＋a3)＝4a3－2，则a3＝6，
当n≥2时，2Sn＝(n＋1)an－2，
当n≥3时，2Sn－1＝nan－1－2，
所以当n≥3时，2(Sn－Sn－1)＝(n＋1)an－nan－1＝2an，即2an＝(n＋1)an－nan－1，
整理可得(n－1)an＝nan－1，所以＝，
因为＝＝2，所以＝＝…＝＝＝2，
因此，当n≥2时，an＝2n，而a1＝1，故an＝
(2)由(1)可知bn＝
所以当n＝1时，T1＝b1＝1，
当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，则
Tn＝1＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，
2Tn＝2＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
作差得Tn＝1－8－(23＋24＋…＋2n)＋n×2n＋1＝(n－1)×2n＋1＋1，
易知当n＝1时，也满足上式，故Tn＝(n－1)×2n＋1＋1(n∈N*)．
[典例2]解析：当A＝－B时，Sn＝Aqn－A，则an＝Aqn－1(q－1)，
当q＝1或A＝0时，an＝0，此时数列{an}不是等比数列．
若数列{an}是等比数列，当q＝1时，Sn＝na1，此时不具备Sn＝Aqn＋B(q≠0)的形式，
故q≠1，则Sn＝＝·qn，
此时A＝－，B＝，A＝－B.
综上，“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
六　立体几何
[典例]解析：(1)证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN，
在四棱锥D－ABCN中，CN 平面CDN，
BM 平面CDN，∴BM∥平面CDN，
又平面BMEF∩平面CDN＝EF，
∴BM∥EF，
∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，
∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，
又DA 平面ADN，∴EF⊥DA；
(2)存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．
∵DA＝DN，AM＝MN＝1，
连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，
∴DM⊥平面ABCN.
如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0，0，)，B(0，1，0)，M(0，0，0)，N(－1，0，0)，
＝(0，1，－)，＝(0，－1，0)，＝(1，0，)，
设＝λ，(0<λ<1)，则E(λ－1，0，λ)，＝(λ－1，0，λ)，
设平面BMEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
，
不妨令x＝λ，则z＝1－λ，n＝(λ，0，1－λ)，
设直线DB与平面BMEF所成角为α，则有
sin α＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，
解得λ＝或－(舍)．
＝，即在棱DN上存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，E为棱DN上靠近N点的四等分点．
七　解析几何
[典例1]解析：(1)因为F(－1，0)为椭圆M的焦点，所以c＝1，
又b＝，所以a＝2，所以椭圆M的方程为＝1.
(2)方法一　当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即|S1－S2|＝0.
当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ>0恒成立，且x1＋x2＝－，x1x2＝.
此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝2|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋2k|＝＝＝(当且仅当k＝±时，取等号)，
所以|S1－S2|的最大值为.
方法二　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为x＝my－1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ>0恒成立，且y1＋y2＝，
故|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝＝＝，当且仅当m＝±时取等号，所以|S1－S2|的最大值为.
[典例2]解析：设圆C的半径为r，依据题意可知，|PC|＝|PA|＋r，即|PC|－|PA|＝r，且r<|AC|，
故所求点P的轨迹为以A，C为焦点的双曲线靠近A点的一支，故选C.
答案：C
八　概率与统计
[典例]解析：(1)由频率分布直方图可知，消费金额在[300，600]内的频率为0.003 0×100＋0.001 0×100＋0.000 5×100＝0.45.
所以消费金额在[300，600]内的小票张数为0.45×200＝90.
(2)由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05.
若采用方案一，则购物的平均费用为
0．85×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.85×275＝233.75(元)．
若采用方案二，则购物的平均费用为
50×0.1＋(150－20)×0.2＋(250－20)×0.25＋(350－80)×0.3＋(450－80)×0.1＋(550－120)×0.05＝228(元)．
因为233.75>228，所以方案二的优惠力度更大．

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