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第十章|计数原理与概率、随机变量及其分布
第一节　两个基本计数原理与排列组合
1．两个计数原理
名称 完成一件事的策略 完成这件事共有的方法
分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 N＝m＋n种不同的方法
分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 N＝m×n种不同的方法
2.排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
(1)元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．
(2)①排列数与组合数之间的联系为CA＝A.
②两种形式分别为：a.连乘积形式；b.阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．
(3)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．
(4)对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．
1．(人A选择性必修第三册P11·练习T3改编)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　 )
A．16 B．13 C．12 D．10
答案：C
2．(人A选择性必修第三册P26·习题T4(2)改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　 )
A．12 B．24 C．64 D．81
答案：B
3．(湘教版选择性必修第一册P186·练习T5改编)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有________种．
答案：60
4．(苏教版选择性必修第二册P88·T4改编)若某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有______种．
答案：140
5．(北师大版选择性必修第一册P176·T6改编)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
答案：30
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　分类加法计数原理　
[题点全训]
1．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　 )
A．24　　　 B．18　　　　C．12　　　　D．6
解析：选B　分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6(个)．根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18(个)．
2．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为________．
解析：根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区即可，有2种情况．②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社区，有1种情况；若丙、丁中有1人去B社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况．故不同的安排方法有2＋1＋4＝7种．
答案：7
[一“点”就过]
1．分类加法计数原理的实质
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．
2．使用分类加法计数原理遵循的原则
有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.
基础点(二)　分步乘法计数原理　
[题点全训]
1．将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同的分法种数是(　 )
A．2 160 B．720 C．240 D．120
解析：选B　分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法．共有10×9×8＝720种分法．
2．已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为(　 )
A．32 B．23 C．43 D．24
解析：选B　根据题意，从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．
[一“点”就过]
1．分步乘法计数原理的实质
分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，缺少其中的任何一步都不能完成该件事，只有当每个步骤都完成后，才算完成这件事．
2．使用分步乘法计数原理应注意的问题
(1)明确题目中所要完成的这件事是什么，确定完成这件事需要几个步骤．
(2)将完成这件事划分成几个步骤来执行，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，这件事才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　排列问题　
[典例]　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排一排，女生必须站在一起；
(5)全体排一排，男生互不相邻；
(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)全体排一排，甲必须排乙前面；
(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端．
[解]　(1)A＝2 520种方法．
(2)A＝5 040种方法．
(3)先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600种方法．
(4)将女生看成一个整体，用捆绑法，共有AA＝576种方法．
(5)先排女生有A种，再将男生插空有A种，故共有AA＝1 440种方法．
(6)将甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲、乙有A种方法，再排中间三人有A种方法，最后将他们看作一个整体与剩下的2人全排列，有A种方法，故共有AAA＝720种方法．
(7)＝2 520种方法．
(8)A－2A＋A＝3 720种方法．
[方法技巧]　求排列问题的基本解题方法
直接法 对于无限制条件的排列，直接列出排列数计算
优先法 对于特殊元素(或位置)优先安排
捆绑法 针对相邻元素的排列
插空法 针对不相邻元素的排列(间隔排列)
分排问题 针对元素分成多排问题，可归结为一排考虑，再将结论推广
先整体后局部 针对“小集团”排列问题
定序问题 可先不考虑顺序限制进行排列，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反，等价转化处理
[针对训练]
1．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行数学能力比赛，决出第一名到第五名的名次(无并列名次)．甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“虽然你们都不是第一名，但你们也都不是最后一名．”从上述回答分析这5人的名次不同的排列情况有(　 )
A．36种　　 B．48种　　　C．18种　　　D．54种
解析：选A　由题意知，甲、乙都既不是第一名也不是最后一名，故甲、乙分别是第二、三、四名中的一种，因此有A种情况，余下3人有A种排法．根据分步乘法计数原理可知共有A×A＝36种不同的排列情况．故选A.
2．(2021·邯郸期末)现有排成一排的5个不同的盒子，将红、黄、蓝色的3个小球全部放入这5个盒子中，若每个盒子最多放1个小球，则恰有2个空盒相邻的不同放法共有________种．(结果用数字表示)
解析：在3个盒子中分别放入1个红、黄、蓝色的小球有A种放法，然后将2个空盒作为一个整体，放在有小球的3个盒子形成的4个空中，有4种放法，因此恰有2个空盒相邻的不同放法共有4A＝24种．
答案：24
重难点(二)　组合问题　
[典例]　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货，现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
[解]　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种)．所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100(种)．所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 555(种)．所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式C－C＝6 090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
[方法技巧]　组合问题的常见题型及解题策略
“含有”或“不含有” “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取
“至少”或“最多” 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理
[针对训练]
1．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、历史两科中选考一科，从化学、生物、政治、地理四科中选考两科，则考生的选考方法共有(　 )
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
解析：选B　从物理、历史两科中选考一科，有C＝2种方法，从化学、生物、政治、地理四科中选考两科，有C＝6种方法，所以考生共有2×6＝12种选考方法．故选B.
2．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
解析：根据题意，从6位学生中任意选3人有C＝20种选法，没有女生入选有C＝4种选法，故至少有1位女生入选的不同选法共有20－4＝16种．
答案：16
重难点(三)　排列组合的综合应用　
考法1　特殊元素(位置)问题
[例1]　(2022·浙江山水联盟开学联考)2021年7月，我国河南郑州遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家赴三地工作．因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总个数为(　 )
A．36 B．30 C．24 D．18
[解析]　因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选两个和其余两个看成三个元素的全排列共有C·A种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列有A种，所以不同的安排方案的总个数为CA－A＝30.
[答案]　B
考法2　相邻、相间问题
[例2]　(1)(2022·北京海淀区模拟)某峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有(　 )
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　 )
A．72 B．120 C．144 D．168
[解析]　(1)从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有CA＝6种不同排法，剩下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙,则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12种排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以共有12×4＝48种不同排法．
(2)安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法．
[答案]　(1)C　(2)B
考法3　定序问题
[例3]　某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
[解析]　原先七个节目的不同安排方法共有A种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有＝720(种)．
[答案]　720
[方法技巧]
排列、组合的混合问题是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其基本的解题步骤为：
第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素．
第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列．
第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果．
均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀分组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数．　　
不会进行平均分组
在解决分组、分配问题时，经常遇到平均分组或部分平均分组，解题时由于不清楚分组后带来的重复情况，往往造成重复，得到错误的结果．
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[典例]　高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同的社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有(　 )
A．15种 B．90种 C．120种 D．180种
[解析]　根据题意，5名同学需以“2,2,1”的形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数分别为2,2,1，共有＝15(种)，再将三组分配到3个服务小组，共有15×A＝90(种)．故选B.
[答案]　B　
[诊治策略]　分组问题的类型
平均分组 将mk(m，k∈N*)个不同元素平均分成k组的方法数为
不平均分组 将n个元素按m1，m2，…，mk分成k组，m1＋m2＋…＋mk＝n且m1，m2，…，mk两两不等，则分组方法数为·
部分平均分组 将n个元素按m1，m2，…，mk分成k组，m1＋m2＋…＋mk＝n且m1，m2，…，mk中有且仅有i个数相等，则分组方法数为
如果组与组之间有区别，则属于分配问题，可以先分组，再用排列方法进行排列
[针对训练]
1．特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策．某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名．按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有(　 )
A．24种 B．14种 C．12种 D．8种
解析：选C　先把4名数学教师平分为2组，有＝3种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有A＝2种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有3×2×A＝12种方法．故选C.
2．将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．
解析：先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C种选法．故共有CCC＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有60×A＝360种分配方法．
答案：360
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(混淆排列与组合导致计数错误)有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是(　 )
A．1 260 B．2 025 C．2 520 D．5 040
解析：选C　先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有CCC＝2 520种．故选C.
2．(解题时易出现重复的情况而致误)某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为(　 )
A．19 B．38 C．55 D．65
解析：选D　至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，所以不同的选派方案种数为CC＋CC＝65.故选D.
3．(考虑问题不全面导致漏计)有编号分别为1,2,3,4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，恰有一个空盒，有________种放法．
解析：由题设，必有一个盒子内放入2个小球，从4个小球中取出2个小球，有C种取法，此时把这2个小球看作一个整体，与另2个小球放入4个盒子中，有A种放法，所以满足题意的放法有CA＝144种．
答案：144
4．(忽视排列数公式的排列条件)若3A＝4A，则x＝________.
解析：由3A＝4A，得＝，即＝，整理得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13.∵x≤8且x－1≤9，∴x≤8，∴x＝6.
答案：6
二、融会贯通应用创新题
5．(弘扬传统文化)中医是中国传统文化的瑰宝，中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短，辨证论治的目的，中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”(由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成)和补血名方“四物汤”(由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成)两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂．现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是(　 )
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析：选A　记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件M，依题意得P(M)＝＝.故选A.
6.(借助数学文化)如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为(　 )
A．30 B．40 C．44 D．70
解析：选B　由题意可知，阴数为2,4,6,8，阳数为1,3,5,7,9，若选取3个数的和为奇数，则有两类：一类是3个数都为奇数，共有C＝10种方法；另一类是两偶一奇，共有CC＝30种方法，所以满足题意的方法共有10＋30＝40种．故选B.
[课时验收评价]
1．已知5名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有(　 )
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
解析：选D　5名同学依次报名，每人均有2种不同的选择，所以共有25＝32种不同的报名方法．
2．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　 )
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
解析：选C　若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则必有一个项目分配2名志愿者，所以先从5名志愿者中任选2名志愿者放在一起，再和剩下的3名志愿者一起分配到4个项目中，共有CA＝240种不同的分配方案．故选C.
3．高三(2)班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有(　 )
A．42种 B．96种 C．120种 D．144种
解析：选C　因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，所以课程编排方案共有AA＝120种．
4．甲、乙两人要在一排8个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有(　 )
A．10种 B．16种 C．20种 D．24种
解析：选C　一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人两旁均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20种坐法．故选C.
5．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有(　 )
A．8种 B．9种 C．10种 D．11种
解析：选B　设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，得共有3＋3＋3＝9种监考方法．
6.将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有(　 )
A．288种 B．144种
C．576种 D．96种
解析：选C　依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理，不同的填写方法有16×9×4＝576种．
7．某中学元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在节目乙的前面，节目丙不能排在最后一个，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有(　 )
A．720种 B．360种 C．300种 D．600种
解析：选C　先安排好除节目丙之外的5个节目，有＝60种可能，再安排节目丙，有5种可能，共60×5＝300种方案．故选C.
8．2021年东京夏季奥运会设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场．若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有(　 )
A．144种 B．24种 C．12种 D．6种
解析：选D　由题意知，若甲承担仰泳，则乙运动员有C＝2种安排方法，其他两名运动员有A＝2种安排方法，共计2×2＝4种方法；若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有A＝2种安排方法，共计2种方法．所以中国队共有4＋2＝6种不同的安排方法．故选D.
9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的网红景点洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为(　 )
A．18 B．36 C．54 D．72
解析：选B　若甲、乙一起(无其他人)调研，则有CA＝18种分配方案；若甲、乙与另一人一起(三人一起)调研，则有CA＝18种分配方案．故共有18＋18＝36种分配方案．故选B.
10．某医院派出甲、乙、丙、丁4名护士到A，B，C三家企业开展“新冠疫苗第三针”注射工作，每名护士只能到一家企业工作，则下列结论不正确的是(　 )
A．若C企业最多派1名护士，则所有不同分派方案共48种
B．若每家企业至少分派1名护士，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名护士，且护士甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种
D．所有不同分派方案共43种
解析：选D　若C企业最多派1名护士，则所有不同分派方案共有24＋4×23＝48种；若每家企业至少分派1名护士，则所有不同分派方案共有CA＝36种；若每家企业至少分派1名护士，且若到A企业的只有甲，则共有CA＝6种方案，若到A企业的包含甲和另外一人，则共有CA＝6种方案，故共有12种方案．所有不同的分派方案共有34种，故A、B、C正确，D不正确．故选D.
11．(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(　 )
A．若任意选择三门课程，选法总数为A
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CCC
解析：选ABD　对于A，若任意选择三门课程，选法总数为C，A错误；对于B，若物理和化学选一门，有C种方法，其余两门从剩余的五门中选，有C种选法；若物理和化学选两门，有C种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有C种选法，所以总数为CC＋CC，B错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为C－CC＝C－C，C正确；对于D，有3种情况：①选物理,不选化学，有C种选法；②选化学，不选物理，有C种选法；③物理与化学都选，有C种选法，故总数为C＋C＋C＝6＋10＋4＝20，D错误．
12．(多选)为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则(　 )
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
解析：选CD　对于A，某学生从6门中选3门共有C＝20种选法，故A错误；对于B，课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个安排“射”“御”，共有AA＝480种排法，故B错误；对于C，课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，由捆绑法分析，将“礼”“书”“数”看成一个整体，与其他3门课程全排列，共有AA＝144种排法，故C正确；对于D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论，若课程“乐”排在最后一周，有A种排法，若课程“乐”不排在最后一周，有CCA种排法，则共有A＋CCA＝504种排法，故D正确．故选C、D.
13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．
解析：第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员，有4种选法．第三步，从剩下的3人中选体育委员，有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．
答案：36
14．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)
解析：5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有3,1,1和2,2,1两种．当为3,1,1时，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有CA＝18(种)，故有60－18＝42(种)；当为2,2,1时，有×A＝90(种)，A，B住同一房间有CA＝18(种)，故有90－18＝72(种)．根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．
答案：114
15．如果一个整数的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，例：1234321,123321等，显然，两位数的对称数有9个，即11,22,33，…，99，则三位数的对称数有________个，2n＋1(n∈N*)位数的对称数有________个．
解析：根据题意，对于三位数的对称数，其百位和个位数字相同，都不能为0，有9种选法，其十位数字可以为任意的数字，有10种选法，则三位数的对称数有9×10＝90个；对于2n＋1(n∈N*)位数的对称数，其首位和个位数字相同，都不能为0，有9种选法，第2位数字到第n＋1位数字都可以为任意的数字，有10种选法，则2n＋1(n∈N*)位数的对称数有9×10n个．
答案：90　9×10n

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