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“概率与统计”的综合问题
题型一　概率与频率分布直方图的交汇
[典例]　某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N个人参加．现将所有参加者按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55]，共七组．其频率分布直方图如图所示，已知[25,30)这组的参加者是6人．
(1)根据此频率分布直方图求N；
(2)组织者从[45,55]这组的参加者(其中共有4名女教师，其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为X，求X的分布列、均值及方差；
(3)已知[35,40)和[40,45)这两组中各有2名数学教师．现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率．
[解]　(1)[25,30)这组频率为0.03×5＝0.15，所以总数N＝＝40.
(2)[45,55]这组的参加者人数为(0.02＋0.01)×5×40＝6.由题意，X的可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，则X的分布列为
X 1 2 3
P
则E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
(3)[35,40)这组的参加者人数为0.04×5×40＝8，[40,45)这组的参加者人数为0.03×5×40＝6，恰有1名数学老师的概率为＝.
[针对训练]
在某电视节目上，甲、乙、丙3个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟，超过1分钟派下一个人.3个人中只要有一个人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，随机抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．
(1)若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a，b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率．
(2)在这次节目上由于来自各方的压力及自身的心理压力，第n个出场选手解密成功的概率Pn＝P1n－1＋(n＝1,2,3)，并且P1定义为(1)中甲解密成功的频率，个人是否解密成功相互独立．
①求该团队挑战成功的概率；
②该团队以Pn从小到大的顺序安排甲、乙、丙三人上场解密，规定第三人无论解密成功与否比赛都结束，记该团队参加挑战的人数为X，求X的分布列与数学期望．
解：(1)因为甲解密成功所需时间的中位数是47，所以0.01×5＋0.014×5＋5a＋0.034×5＋0.04×(47－45)＝0.5,0.01×5＋0.01×5＋5b＋0.032×5＋0.04×(50－47)＝0.5，解得a＝0.026，b＝0.024.甲在1分钟内解密成功的频率f＝1－0.01×5×2＝0.9.
(2)①由题意及(1)可知第1个出场选手解密成功的概率P1＝0.9，则第2个出场选手解密成功的概率P2＝0.9×＋×1＝0.91，第3个出场选手解密成功的概率P3＝0.9×2＋×2＝0.929.所以该团队挑战成功的概率P＝0.9＋0.1×0.91＋0.1×0.09×0.929＝0.999 361.
②由①可知Pn按从小到大的顺序排列为P1，P2，P3.由题意得X的可能取值为1,2,3，则P(X＝1)＝0.9，P(X＝2)＝(1－0.9)×0.91＝0.091，P(X＝3)＝(1－0.9)×(1－0.91)＝0.009，所以X的分布列为
X 1 2 3
P 0.9 0.091 0.009
E(X)＝1×0.9＋2×0.091＋3×0.009＝1.109.
题型二　概率与统计、统计案例的交汇
[典例]　某晚会上，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20 ℃的现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．
(1)从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A，B两种材料供选择，研究人员对附着在A材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B材料上再结晶做了30次试验，成功20次．请完成下列2×2列联表，并依据α＝0.005的独立性检验，分析试验成功与A材料和B材料的选择是否有关.
A材料 B材料 合计
成功
不成功
合计
(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节，其中前三个环节每个环节生产合格的概率均为，每个环节不合格需要修复的费用均为200元；第四个环节生产合格的概率为，此环节不合格需要修复的费用为100元．问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
[解]　(1)2×2列联表如下：
A材料 B材料 合计
成功 28 20 48
不成功 2 10 12
合计 30 30 60
零假设为H0：试验成功与材料A和材料B的选择无关，计算可得χ2＝≈6.667<7.879＝x0.005，所以依据α＝0.005的独立性检验，没有充分的证据推断H0不成立，因此认为H0成立，即认为试验是否成功与A材料和B材料的选择无关．
(2)设X为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X的可能取值为0,100,200,300,400,500,600,700，P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())3×＝，P(X＝100)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())3×＝，P(X＝200)＝Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2×＝，P(X＝300)＝Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2×＝，P(X＝400)＝Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－))2××＝，P(X＝500)＝Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－))2××＝，P(X＝600)＝1－3×＝，P(X＝700)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－))3×＝，E(X)＝0×＋200×＋400×＋600×＋100×＋300×＋500×＋700×＝333.故一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要333元修复费用．
[针对训练]
已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如下表所示：
x 2 4 6 8 10
y 3 6 7 10 12
(1)请根据上表数据在图中绘制散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程＝x＋，并估计当x＝20时的值；
(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x－y－4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
参考公式：＝，＝－.
解：(1)散点图如图所示．
(2)依题意得，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，
＝4＋16＋36＋64＋100＝220，
iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，
＝＝＝1.1，
所以＝7.6－1.1×6＝1，
所以经验回归方程为 ＝1.1x＋1，
故当x＝20时，＝23.
(3)可以判断，落在直线2x－y－4＝0右下方的点的坐标满足2x－y－4>0，
所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，
故ξ的所有可能取值为1,2,3.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
题型三　概率与函数、不等式的交汇
[典例]　(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3)．
(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
[解]　(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
(2)证明：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x>0.令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，f″(x)＝2p2＋6p3x≥0，∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
①当E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1时，在x∈(0,1]上，f′(x)≤f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，∴f(x)在(0,1]上单调递减，注意到f(1)＝0，∴f(x)在x∈(0,1]上有唯一零点x＝1，即p＝1.
②当E(X)＝p1＋2p2＋3p3>1时，注意到f′(0)＝p1－1<0，f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1>0，且f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴存在唯一x0∈(0,1)，使得f′(x0)＝0，当00，f(x)单调递增．∵f(0)＝p0>0，f(1)＝0，∴f(x0)(3)当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
[针对训练]
某医药开发公司实验室有n(n∈N*)瓶溶液，其中m(m∈N)瓶中有细菌R，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验n次；
方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n＋1.
(1)假设n＝5，m＝2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率．
(2)现对n瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R的概率均为P(0≤P≤1)．若采用方案一，需检验的总次数为ξ；若采用方案二，需检验的总次数为η.
①若ξ与η的期望相等，试求P关于n的函数解析式P＝f(n)；
②若P＝1－e，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求n的最大值．
参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7≈1.95.
解：(1)记所求事件为A，“第三次含有细菌R且前2次中有一次含有细菌R”为事件B，“前三次均不含有细菌R”为事件C，则A＝B∪C，且B，C互斥，所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝＋＝.
(2)①E(ξ)＝n，η的取值为1，n＋1，P(η＝1)＝(1－P)n，P(η＝n＋1)＝1－(1－P)n，所以E(η)＝(1－P)n＋(n＋1)[1－(1－P)n]＝n＋1－n(1－P)n，由E(ξ)＝E(η)得n＝n＋1－n(1－P)n，所以P＝1－ (n∈N*)．
②因为P＝1－e，所以E(η)＝n＋1－n·e，所以(n＋1)－n·e0，设f(x)＝ln x－(x>0)，f′(x)＝－＝，当x∈(0,4)时，f′(x)>0，f(x)在(0,4)上单调递增；当x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(4，＋∞)上单调递减．又f(8)＝ln 8－2>0，f(9)＝ln 9－<0，所以n的最大值为8.
题型四　概率与数列的交汇
[典例]　某游戏棋盘上标有第0,1,2，…，100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于4，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设游戏过程中棋子出现在第n站的概率为Pn.
(1)当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X的分布列与数学期望；
(2)证明：Pn＋1＋Pn＝Pn＋Pn－1(1≤n≤98)；
(3)若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜，请分析这个游戏是否公平．
[解]　(1)由题意知，随机变量X的可能取值为3，4,5,6，P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())3＝，P(X＝4)＝C·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())＝，P(X＝5)＝C··eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2＝，P(X＝6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())3＝.所以X的分布列为
X 3 4 5 6
P
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝4.
(2)证明：依题意，当1≤n≤98时，棋子要到第(n＋1)站，有两种情况：由第n站跳1站到第(n＋1)站，其概率为Pn；由第(n－1)站跳2站到第(n＋1)站，其概率为Pn－1.则Pn＋1＝Pn＋Pn－1.两边同时加上Pn，得Pn＋1＋Pn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Pn＋Pn－1))＋Pn＝Pn＋Pn－1(1≤n≤98)．
(3)按照(2)的分析，棋子跳到第99站的概率为P99＝P98＋P97，由于跳到第99站时，自动停止游戏，故有P100＝P98，所以P100[针对训练]
某几位大学生自主创业创办了一个服务公司，提供A，B两种民生消费产品(人们购买时每次只买其中一种)服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为，购买B的概率为，而前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为，购买B产品的概率为，前一次购买B产品的人下一次来购买A产品的概率为，购买B产品的概率也是，如此往复．记某人第n次来购买A产品的概率为Pn.
(1)求P2，并证明数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－))是等比数列；
(2)记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，求X的分布列并求E(X)；
(3)经过一段时间的经营，每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备A，B产品各多少份？(直接写结论，不必说明理由)．
解：(1)P2＝×＋×＝，由题意可知Pn＋1＝×Pn＋×(1－Pn)＝－Pn＋，∴Pn＋1－＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Pn－))，又P1－＝－＝，∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－))是首项为，公比为－的等比数列．
(2)X的可能取值有0,1,2,3，且P(X＝k)＝Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())3－k，故P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())3＝，P(X＝1)＝C××eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2＝，P(X＝2)＝C×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2×＝，P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())3＝，故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
(3)由(1)知Pn－＝×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))n－1，故Pn＝×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))n－1＋，∴当n→＋∞时，Pn→，故准备A产品800×＝320份，准备B产品800×＝480份．
[课时验收评价]
1．(2021·苏州三模)为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分布直方图：
(1)将使用寿命超过2 500小时和不超过2 500小时的台数填入下面的列联表：
超过2 500小时 不超过2 500小时 合计
A型
B型
合计
根据上面的列联表，依据α＝0.01的独立性检验，能否认为使用寿命是否超过2 500小时与型号有关？
(2)用分层抽样的方法从不超过2 500小时A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和数学期望；
(3)已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2 500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度．只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
解：(1)由频率分布直方图可知，A型超过2 500小时的有100×(0.000 6＋0.000 5＋0.000 3)×500＝70台，则A型不超过2 500小时的有30台，同理，B型超过2 500小时的有100×(0.000 6＋0.000 3＋0.000 1)×500＝50台，则B型不超过2 500小时的有50台．列联表如下：
超过2 500小时 不超过2 500小时 合计
A型 70 30 100
B型 50 50 100
合计 120 80 200
零假设为H0：使用寿命是否超过2 500小时与型号无关，因为χ2＝≈8.333>6.635＝x0.010，所以依据α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为使用寿命是否超过2 500小时与型号有关．
(2)由(1)和分层抽样的定义可知A型设备有3台，B型设备有5台，所以X的取值可能为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)由频率分布直方图中的频率估计概率知：A型设备每台更换的概率为0.3，所以10台A型设备估计要更换3台；B型设备每台更换的概率为0.5，所以10台B型设备估计要更换5台，选择A型设备的总费用y1＝(10＋3)×1＋10×2×0.75×2 500×10－4＝16.75(万元)，选择B型设备的总费用y2＝(10＋5)×0.6＋10×6×0.75×2 500×10－4＝20.25(万元)，所以选择A型设备．
2．某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2.
(1)若p1＝，p2＝，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
(2)若p1＋p2＝，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时p1，p2的值．
解：(1)由题可知，所有可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次．故所求概率P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C··))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C··))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C··))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C··))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C··))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C··))＝.
(2)他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为
P＝Cp1(1－p1)Cp＋CpCp2(1－p2)＋CpCp＝2p1p2(p1＋p2)－3pp，因为p1＋p2＝，所以P＝p1p2－3pp，因为0≤p1≤1,0≤p2≤1，p1＋p2＝，所以≤p1≤1，≤p2≤1，又p1p2≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2＝，所以3．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
解：(1)X的所有可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为
X －1 0 1
P (1－α)β αβ＋(1－α)(1－β) α(1－β)
(2)①证明：由(1)，得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．②由①可得p8＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1.由于p8＝1，故p1＝，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝p1＝.p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
4.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，届时，北京将成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．在某次滑雪表演比赛中，抽取部分参赛队员的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计，并按照[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100](已知分数在[90,100]内的人数为3)的分组作出如图所示的频率分布直方图．据此解答如下问题：
(1)求样本容量n及频率分布直方图中a的值．
(2)滑雪场馆内的一销售网点为了吸引游客，增加营业收入，开展“参加游戏赢奖券”促销活动，购物满200元可以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共7格的方格图，依次编号为第1格、第2格、第3格、…、第7格，游戏开始时“跳子”在第1格，参与者需从一个口袋(装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球)中任取两个球，若两个球颜色不同，则“跳子”前进1格(即从第1格到第2格)，若两个球颜色相同，则“跳子”前进2格(即从第1格到第3格)，当“跳子”前进到第6格或者第7格时，游戏结束．“跳子”落在第6格可以得到30元奖券，“跳子”落在第7格可以得到90元奖券．记“跳子”前进到第n格(1≤n≤7)的概率为Pn.
①证明：{Pn－Pn－1}(2≤n≤6)是等比数列；
②求某一位顾客参加一次这样的游戏获得的奖券金额的期望．
解：(1)由题意知，分数在[90,100]内的人数为3人，其对应的频率为10×0.015＝0.15，所以样本容量n＝＝20，a＝＝0.02.
(2)①证明：从口袋中摸到的两个球是同色球的概率为P＝＝；摸到的两个球是异色球的概率为1－P＝.“跳子”开始在第1格为必然事件，即P1＝1，“跳子”移到第2格，其概率为，即P2＝.“跳子”前进到第n(3≤n≤6)格的情况有如下两种：“跳子”先到第n－2格，概率为Pn－2；“跳子”先到第n－1格，概率为Pn－1.所以3≤n≤6时，Pn＝Pn－1＋Pn－2，所以Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)．因为P2－P1＝－≠0，所以＝－(3≤n≤6)，所以当2≤n≤6时，数列{Pn－Pn－1}是等比数列，首项为P2－P1＝－，公比为－.
②设某一位顾客参加一次这样的游戏获得的奖券金额为X元，则X的所有可能取值为30,90，由①可知Pn－Pn－1＝×n－2＝n－1(2≤n≤6)，所以Pn＝(Pn－Pn－1)＋(Pn－1－Pn－2)＋…＋(P2－P1)＋P1＝n－1＋n－2＋…＋＋1＝＝(2≤n≤6)，所以P6＝×＝，易知P7＝P5＝××＝.
故X的分布列为
X 30 90
P
则X的期望为E(X)＝×30＋×90＝.

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