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第二节　二项式定理
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
通项公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项
二项式系数 二项展开式中各项的系数为C，C，…，C
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 当k<时，二项式系数逐渐增大；当k>时，二项式系数逐渐减小
最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为
各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n. 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1
1．(人教A版选择性必修第三册P31·T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　 )
A．C B．－C C．C D．－C
答案：D
2．(人教A版选择性必修第三册P30·例2改编) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋))5的展开式中x4的系数为(　 )
A．10 B．20 C．40 D．80
答案：C
3．(人教A版选择性必修第三册P34·习题T1(1))在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　 )
A．74 B．121 C．－74 D．－121
答案：D
4．(北师大版选择性必修第一册P172·例6改编)设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3的系数为________．
解析：由题意可得N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.展开式中第r＋1项Tr＋1＝C·(5x)4－r·(－)r＝(－1)r·C·54－r·x.令4－＝3，得r＝2，∴展开式中x3的系数为C×52×(－1)2＝150.
答案：150
5．(人教A版选择性必修第三册P38·T3(5)改编)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________．
解析：令x＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1.
答案：1
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点　求展开式中的特定项或特定项系数　
[题点全训]
1．在二项式(1－2x)5的展开式中，x3的系数为(　 )
A．40　　 B．－40　　　C．80　　　D．－80
解析：选D　因为(1－2x)5展开式的通项为Tr＋1＝C·(－2x)r，令r＝3，所以x3的系数为C×(－2)3＝－80.故选D.
2．(2022·潍坊检测) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－))6的展开式中的常数项为(　 )
A．－160 B．160 C．80 D．－80
解析：选A　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－))6展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))r＝C26－r·(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－))6的展开式中的常数项为C×23×(－1)3＝－160.故选A.
3．(1＋)7的展开式中无理项的项数为(　 )
A．7 B．6 C．5 D．4
解析：选D　(1＋)7展开式的通项为Tr＋1＝C()r＝C2当r＝1,3,5,7时，对应的项为无理数，故无理项的项数为4.故选D.
4．(2022·长沙长郡中学月考)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2－))5的展开式中，若含x－2项的系数为－40，则正实数a＝(　 )
A. B．2 C．3 D．4
解析：选B　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2－))5展开式的通项为Tr＋1＝C(ax2)5－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))r＝Ca5－r(－1)rx10－4r.令10－4r＝－2，得r＝3，所以Ca5－3·(－1)3＝－40，解得a＝2或a＝－2(舍去)．故选B.
[一“点”就过]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr(r∈N*且r≤n)，把字母和系数分离(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1.
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　二项式系数的性质及应用　
[典例]　(1)(2022·深圳模拟)(多选)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋))n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　 )
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含x15的项的系数为45
(2)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－))n的展开式中各项系数之和为64，则展开式中第5项的二项式系数是________，展开式中含x2的项的系数是________.
[解析]　 (1)由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知n＝10，又展开式的各项系数之和为1 024，所以令x＝1，得(a＋1)10＝1 024，又a>0，所以a＝1，所以二项式为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋))10＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋x))10，故展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝512，故A错误；由n＝10可知展开式中第6项的二项式系数最大，因为x2与x的系数均为1，所以第6项的系数最大，故B正确；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋x))10的展开式的通项为Tr＋1＝Cx(r＝0,1,2，…，10)，令2(10－r)－r＝0，解得r＝8，即常数项为第9项，故C正确；令2(10－r)－r＝15，得r＝2，所以展开式中含x15的项的系数为C＝45，故D正确．故选B、C、D.
(2)由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－))n的展开式中各项系数之和为(3－1)n＝2n＝64，解得n＝6，所以展开式中第5项的二项式系数为C＝15.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－))6的展开式的通项为Tr＋1＝C·(3x)6－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))r＝C·36－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝2，得r＝2，所以展开式中含x2的项的系数为C×34×(－1)2＝1 215.
[答案]　(1)BCD　(2)15　1 215
[方法技巧]
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常采用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)求二项展开式项的系数的最大值时，先求系数为正数时项的系数的最大值，令第r＋1项的系数最大，则满足进而解不等式组即可．注意当系数为负数时，可以求解对应的系数的最小值．对于(ax＋bx－1)n，当x，x－1的系数为1时，某项的二项式系数和项的系数相等，则可以应用求二项式系数最大值的求解方法进行求解．　　
[针对训练]
1．已知二项式(x＋y)n的展开式中二项式系数之和为64，(2x＋3)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n，则a2＝(　 )
A．20　　 B．30　　　C．60　　　D．80
解析：选C　由题可得2n＝64，解得n＝6，则(2x＋3)n＝(2x＋3)6.设x＋1＝t，则2x＋3＝2t＋1，(2x＋3)6＝(2t＋1)6＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a6t6，其展开式的通项为Tr＋1＝C·(2t)6－r·1r.令6－r＝2，得r＝4，则T4＋1＝C×(2t)6－4×14＝C×22×t2＝60t2，故a2＝60.故选C.
2．(多选)若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，则下列结果正确的是(　 )
A．a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝1
B．a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝
C．a0＋a2＋a4＋…＋a2 022＝
D.＋＋…＋＝－1
解析：选ACD　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝(1－2)2 022＝1　①，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022＝(1＋2)2 022＝32 022　②，令x＝0，得a0＝(1－0)2 022＝1　③.由①－②，得a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝，由①＋②，得a0＋a2＋a4＋…＋a2 022＝，令x＝，得a0＋＋＋…＋＝1－2×2 022＝0，所以＋＋…＋＝－1.综上，A、C、D正确，B错误．故选B.
3．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为________．
解析：展开式的通项为Tk＋1＝2kCx，由题意可得，20C＋2C＋22C＝163，解得n＝9.设展开式中Tk＋1项的系数最大，则解得≤k≤，又∵k∈N，∴k＝6，故展开式中系数最大的项为T7＝5 376.
答案：5 376
重难点(二)　求多项展开式中的特定项或特定项系数
考法1　几个多项式的和的展开式问题
[例1]　已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为－2，则a等于(　 )
A．2 B．2 C．－2 D．－1
[解析]　(1＋ax)3，(1－x)5的展开式中x3的系数分别为a3，C(－1)3，由题可得a3－10＝－2，即a3＝8，解得a＝2.
[答案]　B
考法2　几个多项式的积的展开式问题
[例2]　(1)(2020·全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　 )
A．5 B．10 C．15 D．20
(2)已知(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－))5的展开式中，常数项为－40，则a的值为(　 )
A．2 B．－2 C．±2 D．4
[解析]　(1)因为(x＋y)5的通项为Cx5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，所以当r＝1时，Cx4y＝5x3y3；当r＝3时，xCx2y3＝10x3y3，所以x3y3的系数为5＋10＝15.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－))5的展开式的通项为Tr＋1＝C·(ax)5－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))r＝(－1)r·a5－r·C·x5－2r.令5－2r＝－1，得r＝3；令5－2r＝0，得r＝(舍去)，所以(x＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－))5的展开式中常数项为(－1)3·a2·C＝－40，解得a＝±2.故选C.
[答案]　(1)C　(2)C
考法3　三项展开式的有关问题
[例3]　(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　 )
A．10 B．20 C．30 D．60
[解析]　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
[答案]　C
[方法技巧]
(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并．通常要用到方程或不等式的知识求解．
(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别将每个多项式化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形．求出相应的特定项进行合并即可．
(3)三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法
①通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．
②将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形，再逐一求出每种情形对应的项，最后合并即可．　　
[针对训练]
1．(2022·湖南名校联考)(多选)(a－x)(1＋x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论正确的是(　 )
A．a＝3
B．展开式中常数项为3
C．展开式中x4的系数为30
D．展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64
解析：选ABD　设(a－x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝64(a－1)，①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝0，②
由①－②，得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝64(a－1)，所以2×64＝64(a－1)，解得a＝3，故A正确；故二项式为(3－x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝0，得a0＝3，即展开式中常数项为3，故B正确；由①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝64×2，所以a0＋a2＋a4＋a6＝64，即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64，故D正确；由(3－x)(1＋x)6＝3(1＋x)6－x(1＋x)6，得其展开式中x4的系数为3×C－1×C＝25，故C错误．故选A、B、D.
2．(1＋x)2＋(1＋)3＋(1＋)4＋…＋(1＋)10的展开式中，含x的项的系数为________.
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x))n(n≥2，n∈N*)的展开式的通项为Tk＋1＝Cx.令＝1，得k＝n－1，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x))n的展开式中，含x的项的系数为C＝C＝n.故(1＋x)2＋(1＋)3＋(1＋)4＋…＋(1＋)10的展开式中，含x的项的系数为2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝＝54.
答案：54
3．(2022·深圳外国语学校月考) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4y＋2))8的展开式中，不含x的各项系数之和为________．
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4y＋2))8＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(＋(－4y＋2)))8的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())8－r(－4y＋2)r，可知当r＝8时不含有x，此时T8＋1＝Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())8－8(－4y＋2)8＝(－4y＋2)8.令y＝1得不含x的各项系数之和为256.
答案：256
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽视赋值法的应用)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　 )
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：选B　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.
2．(不会去掉绝对值)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　 )
A．0 B．1 C．32 D．－1
解析：选A　由(1－x)5的展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCxr，得a1，a3，a5为负数，a0，a2，a4为正数，故有|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－1)5＝0.故选A.
3．(混淆展开式中奇次项与奇数项、偶次项与偶数项)已知在(2x－1)n的展开式中，奇次项的系数之和比偶次项的系数之和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为________．
解析：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数之和为A，偶次项的系数之和为B，则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可得，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n，∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数的性质可得C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1＝255.
答案：255
4．(混淆二项式系数之和与所有项系数之和的关系)已知(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋))5的展开式的常数项，若(a2＋1)n的展开式中二项式系数最大的项等于54，则a的值为________．
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋))5的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())r＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())5－rCx，令20－5r＝0，则r＝4，所以常数项为T5＝C×＝16.因为(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于2n，所以2n＝16，解得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)4的展开式中二项式系数最大的项是T3，所以Ca4＝54，解得a＝ ±.
答案：±
二、融会贯通应用创新题
5．(借助数学文化)杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．
下面是(a＋b)n(n∈N*)，当n＝1,2,3,4,5,6时展开式的二项式系数表示形式：
借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是(　 )
A．5,9 B．5,10 C．6,9 D．6,10
解析：选D　观察分析出“杨辉三角”中的数的特点
每一行有n＋1个数字，每一行两端的数字均为1，
从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应(即两肩上)的两个数字的和，即C＝C＋C，
所以λ＝3＋3＝6，μ＝4＋λ＝10.
6．(创新命题形式)设(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，集合M＝{ai|0≤i≤5，i∈Z}，则集合M的双元素子集(即恰含2个元素的子集)个数为(　 )
A．10　　 B．15　　　C．20　　　D．30
解析：选A　根据二项式定理，得(1＋2x)5＝1＋10x＋40x2＋80x3＋80x4＋32x5，故M＝{1,10,32,40,80}，于是集合M的双元素子集的个数为C＝10.
7．(创新命题形式)已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－))n的展开式中所有项的系数和为512，函数f(r)＝C，r∈[0，n)且r∈N，则函数f(r)取最大值时r的取值为(　 )
A．4 B．5 C．4或5 D．6
解析：选C　因为二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－))n的展开式中所有项的系数和为512，令x＝1，得(3－1)n＝2n＝512，解得n＝9，所以f(r)＝C.二项展开式有10项，则由二项式系数的性质可知第5项和第6项的二项式系数最大，所以当r＝4或r＝5时，f(r)最大．故选C.
[课时验收评价]
1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　 )
A．C　　　　　　　　 B．C
C．C D．(－1)m－1C
解析：选D　(x－y)n的二项展开式第m项的通项为Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为(－1)m－1C.
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))10的展开式中x2的系数等于(　 )
A．45　　 B．20　　　C．－30　　　D．－90
解析：选A　因为展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCx·x－(10－r)＝(－1)rCx，令－10＋r＝2，得r＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8C＝45.故选A.
3．(2022·武汉部分重点中学联考)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))n的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是(　 )
A. B．－ C．－28 D．28
解析：选B　展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以n＝12，展开式的通项为Tr＋1＝C12－rr＝C(－1)r12－rx ，令12－r＝0，得r＝9，所以常数项为T10＝C(－1)912－9＝－.
4．已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－))n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是(　 )
A．－84 B．－14 C．14 D．84
解析：选A　由二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－))n的展开式中所有二项式系数的和是128，得2n＝128，解得n＝7，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－))n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－))7，则Tr＋1＝C·(2x2)7－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))r＝(－1)r·27－r·C·x14－3r.令14－3r＝－1，得r＝5.∴展开式中含项的系数是－4×C＝－84.故选A.
5．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　 )
A．212 B．211 C．210 D．29
解析：选D　因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以展开式中奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.
6．(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是(　 )
A．5 B．10 C．15 D．20
解析：选A　令x＝1，得展开式的各项系数和为(1＋a)5＝32，解得a＝1，故(x＋1)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r.当r＝1时，得T2＝Cx4＝5x4，当r＝4时，得T5＝Cx＝5x，故(2－x3)(x＋1)5的展开式中x4的系数为2×5－5＝5.故选A.
7．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C＝(　 )
A．63 B．64 C．31 D．32
解析：选A　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝63.故选A.
8．(2022·南宁三中测试)在(x＋2)6的展开式中，二项式系数的最大值为m，含x4项的系数为n，则＝(　 )
A．3 B．4 C. D.
解析：选A　因为n＝6，所以二项展开式中共有7项，则第四项的二项式系数最大，所以m＝C＝20.根据二项展开式的通项可得n＝C×22＝60，所以＝＝3.故选A.
9．(2022·邯郸开学摸底考)(多选)已知n的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是(　 )
A．2，n,10成等差数列
B．各项系数之和为64
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项
D．展开式中第5项为常数项
解析：选ABD　由n的二项式系数之和为2n＝64，得n＝6，得2,6,10成等差数列，A正确；令x＝1，则6＝26＝64，即各项系数之和为64，B正确；6的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；6的展开式中的第5项为C(5x)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))4＝15×25×81为常数项，D正确．
10．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－y)) (x＋y)6的展开式中，x3y4的系数是(　 )
A．20 B. C．－5 D．－
解析：选D　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－y)) (x＋y)6＝(x＋y)6－y(x＋y)6，(x＋y)6展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－ryr，令6－r＝2，则r＝4，则(x＋y)6的展开式中x2y4的系数为C＝15.令6－r＝3，则r＝3，则(x＋y)6的展开式中x3y3的系数为C＝20，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－y)) (x＋y)6的展开式中x3y4的系数是×15－20＝－.故选D.
11．(多选)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3x2))n展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则下列结论正确的是(　 )
A．展开式中的有理项是第2项和第5项
B．展开式中没有常数项
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项
D．展开式中系数最大的项是第5项
解析：选BCD　由题意可得4n－2n＝992，解得2n＝32，所以n＝5.所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3x2))5的展开式的通项为Tr＋1＝C·3r·x.若为有理数，则r＝2或r＝5，展开式中的有理项是第3项和第6项，故A错误；令＝0，解得r＝－，不符合题意，故展开式中没有常数项，故B正确；由n＝5可知，展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项，故C正确；假设第k＋1项系数最大，则解得3.5≤k≤4.5，因为k∈N*，所以k＝4，所以展开式中系数最大的项是第5项，故D正确．故选B、C、D.
12．(多选)已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则(　 )
A．a0的值为2
B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D．a1＋a3＋a5的值为120
解析：选ABC　对于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正确；对于B，(1－2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(－2x)r＝(－2)rCxr，所以a5＝2×(－2)5C＋1×(－2)4C＝－64＋80＝16，故B正确；对于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6　①，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故C正确；对于D，令x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6　②，由①②解得a1＋a3＋a5＝－123，故D不正确．故选A、B、C.
13.的展开式中x2的系数为________．
解析：因为二项式(1－2x)7的展开式的通项为Tr＋1＝C(－2x)r＝(－2)rC·xr，所以的展开式中x2的系数为(－2)3C＝－280.
答案：－280
14．(2021·济宁二模)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－))n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是________．
解析：依题意，2n＝128，解得n＝7，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－))7的展开式的通项为Tr＋1＝Cx7－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))r＝(－2)rCx7－2r(r∈N*，r≤7)，由7－2r＝3，得r＝2，所以所求展开式中x3项的系数是(－2)2C＝84.
答案：84
15．(2022·浙江七彩阳光联盟返校考)已知多项式(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＝________，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________.
解析：根据题意，令x＝1，得(1－2)＋(1＋1＋1)3＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26，令x＝0，得a0＝1＋1＝2.易知a1为展开式中x项的系数，考虑一次项系数a1＝－2＋CC×12＝1，所以a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26－1－2＝23.
答案：1　23
16．(2022·浙江名校联盟第一次联考)设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝________，2a2＋3a3＋4a4＝________.
解析：由题意知，a1为展开式中x项的系数，所以a1＝C23－C22＝－4.对所给等式，两边对x求导，(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3，令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4，所以2a2＋3a3＋4a4＝31.
答案：－4　31

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