资源简介

第三节　随机事件的概率、古典概型
1．样本空间和随机事件
样本点和有限样本空间 样本点 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间
随机事件 定义 样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件
表示 大写字母A，B，C，…
随机事件的极端情形 必然事件、不可能事件
2.事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 A发生(导致)B发生 A B
相等关系 B A且A B A＝B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B(或A＋B)
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B(或AB)
互斥事件 A与B不能同时发生 A∩B＝
对立事件 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
3.频率与概率
频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性
频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A)
4.古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
5．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
6．概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
(1)频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数．
(2)对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
(3)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝ ，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
(4)当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(5)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．
1．(人教A版必修第二册P233·T2改编)从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论错误的是(　 )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
解析：选D　A为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，A与B互斥，C为{三件产品有次品，但不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，由此可知，A与C是互斥事件．B与C是互斥事件．故选D.
2．(人教A版必修第二册P243·习题T1改编)抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一个点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B)＝(　 )
A. B. C. D.
解析：选C　易知事件A，B不是互斥事件，由题意可得A＝{1,3,5}，B＝{1,2,3}，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.
3．(人教B版必修第二册P113·T2改编)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶，假设此人再射击1次，则中靶的概率约为________，中10环的概率约为________．
答案：0.9　0.2
4．(苏教版必修第二册P261·T5改编)一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球．从中先后取出2个球，则样本点的个数为________．
答案：12
5．(人教A版必修第二册P236·例9改编)袋中装有6个白球， 5个黄球，4个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为________．
解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.
答案：
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　随机事件的关系及运算　
[题点全训]
1．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A表示“恰有一件次品”；
事件B表示“至少有两件次品”；
事件C表示“至少有一件次品”；
事件D表示“至多有一件次品”．
则下列说法正确的是(　 )
A．A＋B＝C B．B＋D是必然事件
C．AB＝C D．AD＝C
解析：选AB　事件A＋B表示“至少有一件次品”，即事件C，所以A正确；事件B＋D表示“至少有两件次品或至多有一件次品”，包括了所有情况，所以B正确；事件AB＝ ，所以C不正确；事件AD表示“恰有一件次品”，即事件A，所以D不正确．
2．(2021·北京模拟)从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　 )
A．取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球
B．取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球
C．取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球
D．取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球
解析：选D　在A中，至少有1个红球和都是红球，这两个事件能同时发生，故A不是互斥事件；在B中，恰有1个红球，恰有1个白球，这两个事件能同时发生，故B不是互斥事件；在C中，至少有1个红球，都是白球，这两个事件不能同时发生，也不能同时不发生．故C是对立事件；在D中，恰有1个白球，恰有2个白球，这两个事件不能同时发生，能同时不发生，故D是互斥而不对立的两个事件．故选D.
3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为________．
解析：设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件是“该射手在一次射击中不小于8环”．∵事件包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的，∴P()＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，∴P(A)＝1－P()＝1－0.6＝0.4.
答案：0.4
[一“点”就过]
辨析互斥事件与对立事件的思路
(1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生．
(2)两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生．即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
(3)互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
基础点(二)　简单的古典概型　
[题点全训]
1．从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为(　 )
A. B. C. D.
解析：选D　由题意得，样本点总数为4×4＝16，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的样本点数为10，即(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(3,3)，(4,3)，(4,4)，故所求概率P＝＝.故选D.
2．(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　 )
A. B. C. D.
解析：选A　根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，故所求概率为＝.故选A.
3．甲、乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次，则至少出现一个5点或6点的概率是________；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为________．
解析：两人掷同一枚骰子各一次出现的所有结果有6×6＝36(种)．设至少出现一个5点或6点为事件A，则A包含的结果有6×6－4×4＝20(种)，所以P(A)＝＝.甲取胜包含的结果有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共15个，所以甲取胜的概率为＝.
答案：　
[一“点”就过]
计算古典概型的概率问题的一般步骤
(1)列出所有样本点，得到样本空间中样本点的总数n；
(2)找出事件A所包含的样本点，得到A包含的样本点的个数m；
(3)利用公式P(A)＝＝，求出概率P(A)．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　随机事件的概率与频率　
[典例]　某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数/辆 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
[解]　(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率，得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，故所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”．由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.
[方法技巧]
1．计算简单随机事件的频率或概率的解题思路
(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．
(2)由频率公式得所求，由频率估计概率．
2．求复杂事件的概率的两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用互斥事件的概率加法公式求解概率．
(2)若将一个较复杂的事件转化成几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即“正难则反”．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．　　
[针对训练]
1．某自动售卖机月收入(单位：元)在下列范围内的概率如表所示：
月收入 [1 000，1 500) [1 500，2 000) [2 000，2 500) [2 500，3 000)
概率 0.12 a b 0.14
已知月收入在[1 000,3 000)内的概率为0.67，则月收入在[1 500,3 000)内的概率为________．
解析：记这个自动售卖机月收入在[1 000,1 500)，[1 500，2 000)，[2 000,2 500)，[2 500,3 000)内的事件分别为A，B，C，D，因为事件A，B，C，D互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.67，所以P(B＋C＋D)＝0.67－P(A)＝0.55.
答案：0.55
2．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以Y的所有可能值为900,300，－100，Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
重难点(二)　复杂的古典概型问题　
[典例]　(1)(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　 )
A.　　　B.　　　C.　　　D.
(2)已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点Ai，Aj(1≤i＜j≤6)得到线段AiAj，则AiAj {1,2}的概率为(　 )
A. B. C. D.
[解析]　(1)4个1和2个0排成一行，即6个数字排成一行，所以问题可转化为从6个位置中选择2个位置放0，共有C＝15种情况，再考虑2个0不相邻的排法，4个1排成一行，共有5个缝隙(考虑两端)，所以只需从这5个缝隙中选取2个缝隙放0即可，故有C＝10种情况．因此2个0不相邻的概率P＝＝.故选C.
(2)由已知得，AiAj∈{1，，2}(1≤i＜j≤6)，由AiAj {1,2}，得AiAj＝(1≤i＜j≤6)，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点Ai，Aj(1≤i＜j≤6)，得15条线段：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1A6，A2A3，A2A4，A2A5，A2A6，A3A4，A3A5，A3A6，A4A5，A4A6，A5A6，其中满足AiAj＝(1≤i＜j≤6)的有6条线段：A1A3，A1A5，A2A4，A2A6，A3A5，A4A6，根据古典概型的概率计算公式得，AiAj {1,2}的概率为＝.
[答案]　(1)C　(2)C
[方法技巧]　样本点个数的确定方法
方法 适用条件
列举法 此法适用于样本点个数较少的古典概型，列举时要按某一顺序做到不重复、不遗漏
列表法 此法适用于从多个元素中对选定两个元素的试验，也可看成坐标法
画树状图法 此法适用于有顺序的问题及较复杂问题中对样本点个数的探求
排列、组合法 此法适用于样本点个数对应某排列数或组合数时的计数
[针对训练]
1．将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为(　 )
A. B. C. D.
解析：选C　将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好有3个小球有C种放法，故所求概率为＝.故选C.
2．(2022·江苏百师联盟联考)将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是(　 )
A. B. C. D.
解析：选D　分配方案共有CA种，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有CA种，故所求概率是＝.故选D.
重难点(三)　古典概型与统计的综合应用　
[典例]　(2022·南通六校联考)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])
(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？
(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．
[解]　(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.
(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含的男生人数为30×＝2，女生人数为45×＝3.则从5人中任意选取2人共有C＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C＝3种，则至少有一名男生有C－C＝7种．故至少有一名男生的概率为P＝.
[方法技巧]
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．　　
[针对训练]
在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．下面是两组评委对同一名选手的打分：
小组A 92 95 93 95 90
小组B 98 80 90 85 97
(1)请判断小组A与小组B哪一个更像是由专业人士组成的；
(2)若从A组的5位评委中任选2位评委，求其中恰有一位评委打分为95分的概率．
解：(1)由表格数据，得A＝＝93，B＝＝90，s＝ (x－A)2＝3.6，s＝ (x－B)2＝47.6.因为s＜s，故小组A打分稳定，更像是由专业人士组成的．
(2)从A组的5位评委中任选2位评委的选法有C种，其中恰有一位评委打分为95分的选法有CC种，所以所求概率P＝＝.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
1．(互斥事件与对立事件的概念把握不准)(多选)某篮球职业联赛中，运动员甲在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表(不包含罚球)：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率，则下述结论正确的是(　 )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55
解析：选ABC　由题意可知，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，事件“A＋B”与事件C为对立事件，且事件A，B，C互斥，所以P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，所以P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45.故选A、B、C.
2．(创新命题形式)在二项式(x＋1)10的展开式中任取一项，该项的系数为奇数的概率是(　 )
A. B. C. D.
解析：选C　因为(x＋1)10展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－r，所以各项系数为C(r＝0,1,2,3，…，10)，项数为11，其中C＝C＝1，C＝C＝10，C＝C＝45，C＝C＝120，C＝C＝210，C＝252，其中系数为奇数的项数为4，所以所求概率是.故选C.
3.(浸润家国情怀)《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为(　 )
A. B. C. D.
解析：选C　从八卦中任取两卦，样本点总数为C＝28，这两卦的阳线数目相同的样本点有6种，分别为(兑，巽)，(兑，离)，(巽，离)，(坎，艮)，(艮，震)，(坎，震)，故这两卦的阳线数目相同的概率为P＝＝.
4．(创新命题形式)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　 )
A. B. C. D.
解析：选A　由题意可知m＝(a，b)有C×C＝12种情况．因为m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求的概率为.
5．(忽视抽样方式的有序性与无序性致错)德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”．他用无意义音节(由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节)作为记忆材料，用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示)．若一名学生背了100个英语单词，一天后，该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有1个单词不会的概率大约为(　 )
艾宾浩斯遗忘曲线
A．0.43 B．0.39 C．0.26 D．0.15
解析：选B　根据艾宾浩斯遗忘曲线，得100个英语单词一天后忘记了74个，还记得26个，则该学生恰有1个单词不会的概率P＝≈0.39.故选B.
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．某省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为(　 )
A．相互独立事件 B．对立事件
C．不是互斥事件 D．互斥事件但不是对立事件
解析：选D　该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，但能同时不发生，所以该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为互斥事件但不是对立事件．故选D.
2．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为(　 )
A．0.64 B．0.36 C．0.16 D．0.84
解析：选C　设P(A)＝x，则P(B)＝3x，因为事件A与B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，解得x＝0.16.故选C.
3．(2022·广州模拟)(多选)分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)，设事件M＝“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N＝“第二枚骰子的点数为偶数”，则(　 )
A．M与N互斥 B．M与N不对立
C．M与N相互独立 D．P(M∪N)＝
解析：选BCD　事件M发生与否与事件N无关，事件N发生与否与事件M无关，所以M与N相互独立，故A错误，B、C正确；P(M∪N)＝P(M)＋P(N)－P(MN)＝＋－×＝，故D正确．故选B、C、D.
4．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现两人进行赛马比赛，比赛规则：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，败者得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为(　 )
A. B. C. D.
解析：选C　设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别为A，B，C.比赛的所有可能结果为Aa，Bb，Cc，田忌得0分；Aa，Bc，Cb，田忌得1分；Ba，Ab，Cc，田忌得1分；Ba，Ac，Cb，田忌得1分；Ca，Ab，Bc，田忌得2分；Ca，Ac，Bb，田忌得1分．所以田忌得2分的概率为.故选C.
5．(2022·岳阳一模)“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线，一直受到广大旅游爱好者的欢迎．现有4名高三学生准备2022年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为(　 )
A. B. C. D.
解析：选B　假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，样本点总数为44＝256，恰有一个地方未被选中包含的样本点个数为CA＝144，则恰有一个地方未被选中的概率P＝＝.故选B.
6．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
答案：
7．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为________．
解析：依题意，分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有CA＝36种分配方法，若小明恰好分配到甲村小学，有CA＋CA＝12种分配方法，故所求的概率为＝.
答案：
8．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有CC＝36个，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤ a≤b的数组(a，b)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，因此所求的概率为＝.
答案：
9．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解：(1)∵有放回地抽取3次，∴总的结果有3×3×3＝27种，设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，∴P(A)＝＝.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则其对立事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，∴P(B)＝1－P()＝1－＝.
10．某学校高一年级共有20个班，为了参加全市钢琴比赛，调查了各班中会弹钢琴的人数，并以组距5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，作出频率分布直方图如图所示．
(1)由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；
(2)若会弹钢琴的人数为[35,40]的班级作为第一类备选班级，会弹钢琴的人数为[30,35)的班级作为第二类备选班级，现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率．
解：(1)设各班中会弹钢琴的人数的平均值为，由频率分布直方图知，＝(2.5×0.01＋7.5×0.01＋12.5×0.04＋17.5×0.02＋22.5×0.04＋27.5×0.03＋32.5×0.03＋37.5×0.02)×5＝22，所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为22.
(2)由频率分布直方图知，第一类备选班级有2个，第二类备选班级有3个，从这5个备选班级中选出两个班共有C种情况，其中两类备选班级均有班级被选中的情况有CC种，故两类备选班级中均有班级被选中的概率P＝＝＝.
二、重点难点培优训练
1．(2022·玉林适应性测试)春天是鲜花的季节，水仙花就是其中最迷人的代表，数学上有个水仙花数，它是这样定义的：“水仙花数”是指一个三位数，它的各位数字的立方和等于其本身．三位的水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间(150,160)内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则在集合{142,147,152,154,157，“水仙四妹”}，共6个整数中，任意取其中3个整数，则这3个整数中含有“水仙四妹”，且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是(　 )
A. B. C. D.
解析：选D　设“水仙四妹”为150＋x且02．某研究学习小组为研究学校学生一个月课余使用手机的总时间，收集了500名学生在12月课余使用手机的总时间(单位：小时)的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在区间[18,20]内，现在从课余使用手机总时间在[18,20]内的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为(　 )
A. B. C. D.
解析：选B　50×0.05×2＝5，则在区间[18,20]内的学生有5人，即2名女生，3名男生，从中抽取2人有C＝10种等可能的结果，至少抽到一名女生有C＋CC＝7种等可能的结果，则所求概率为.
3．(多选)以下关于概率与统计的说法正确的有(　 )
A．某高中为了了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为6∶5∶4，则应从高二年级中抽取20名学生
B．10件产品中有7件正品，3件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为
C．若随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ＜4)＝0.79，则P(ξ≤－2)＝0.42
D．设某学校女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，若该学校某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：选AB　对于A，应从高二年级中抽取的学生人数为×60＝20，故A正确；对于B，恰好取到1件次品的概率P＝＝，故B正确；对于C，因为P(ξ≥4)＝1－0.79＝0.21，所以P(ξ≤－2)＝P(ξ≥4)＝0.21，故C错误；对于D，不能断定其体重必为58.79 kg，故D错误．故选A、B.
4．为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生有30名对讲座活动不满意．
(1)完成2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的χ2独立性检验，能否以此推断对讲座活动是否满意与性别有关；
满意 不满意 合计
男生
女生
合计 120
(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7名学生中随机抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)2×2列联表如表所示
满意 不满意 合计
男生 40 20 60
女生 30 30 60
合计 70 50 120
零假设为H0：对讲座活动是否满意与性别无关，
利用公式可得χ2＝＝≈3.429>2.706＝x0.10，根据小概率值α＝0.10的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对讲座活动是否满意与性别有关．
(2)由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人，“男生满意”的人中占40×＝4人，“女生满意”的人中占30×＝3人，记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，则P(A)＝＝，即所求概率为.

展开更多......

收起↑