资源简介

第五节　离散型随机变量的分布列及均值、方差
1．随机变量
(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
(3)字母表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.
2．分布列的概念与性质
(1)定义：一般地，设离散型随机变量X可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)表示方法：①表格；②概率分布图．
(3)性质：①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．常见的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
(2)超几何分布
①定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，则m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
②超几何分布的均值：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品的次品数．令p＝，则E(X)＝＝np.
4．离散型随机变量的均值
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．
(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
5．离散型随机变量的方差
(1)方差和标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋＝为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
(2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．
6．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．
(3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确．
(4)超几何分布中随机变量X的数学期望E(X)＝·n.
1．(人教A版选择性必修第三册P60·练习T2改编)(多选)抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是(　 )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
答案：AB
2．(苏教版选择性必修第二册P106·T2改编)设离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P p
则p的值为(　 )
A. B. C. D.
答案：C
3．(北师大版选择性必修第一册P212·练习T1改编)在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是(　 )
A. B. C. D.
解析：选C　记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝.
4．(人教A版选择性必修第三册P66·T1改编)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________.
解析：E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
答案：
5．(人教A版选择性必修第三册P70·T3改编)甲、乙两名工人在一天的生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为
甲的废品数分布列
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙的废品数分布列
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
解析：由E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，得E(Y)答案：乙
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点　随机变量的分布列及其性质　
[题点全训]
1．(多选)下面是离散型随机变量的是(　 )
A．某机场候机室中一天的游客数量X
B．某外卖员一天内收到的点餐次数X
C．某水文站观察到一天中长江的最高水位X
D．某立交桥一天经过的车辆数X
解析：选ABD　A、B、D中随机变量X的所有可能取值我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量，C中X可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变量．
2．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)＝(　 )
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
解析：选A　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
3．设随机变量X的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．则
(1)a的值为________．
(2)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥))＝________.
(3)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＜X≤))＝________.
解析：(1)由分布列的性质，得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝))＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝.
(2)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝))＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＜X≤))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝))＝＋＋＝.
答案：(1)　(2)　(3)
[一“点”就过]
离散型随机变量的分布列性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值．
(2)利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　离散型随机变量的分布列的求法
[典例]　一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2.
(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
(2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续抽取，求抽取次数ξ的分布列．
[解]　(1)记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，∵f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，∴从中任取两个相加即可得到一个奇函数．故P(A)＝＝.
(2)易知ξ的所有可能取值为1,2,3,4.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝·＝，P(ξ＝3)＝··＝，P(ξ＝4)＝···＝.
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
[方法技巧]
离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列；
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．　　
[针对训练]
已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝.
(2)X的所有可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝.故X的分布列为
X 200 300 400
P
重难点(二)　离散型随机变量的均值与方差　
考法1　离散型随机变量的均值与方差
[例1]　某班级以“评分”的方式鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A，B两地游玩，因目的地A地近，B地远，特制定方案如下：
目的地A地出行方式 绿色出行 非绿色出行
概率
得分 1 0
　
目的地B地出行方式 绿色出行 非绿色出行
概率
得分 1 0
　　若甲同学去A地游玩，乙、丙同学去B地游玩，各位同学选择出行方式相互独立．
(1)求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；
(2)求三名同学总得分X的分布列及数学期望E(X)．
[解]　(1)恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率P＝×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2＋×C××＝.
(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝××＝；P(X＝1)＝××＋×C××＝；P(X＝2)＝×C××＋×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2＝；P(X＝3)＝××＝.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
[方法技巧]
求离散型随机变量均值与方差的关键及注意点
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．
(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．　　
考法2　利用均值、方差进行决策
[例2]　(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列．
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？说明理由．
[解]　(1)由题意，X的取值分别为0,20,100，则P(X＝0)＝0.2，P(X＝20)＝0.8×0.4＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)得，先回答A类问题的期望E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.设先回答B类问题累计得分为Y，Y的取值可能为0,80,100，则P(Y＝0)＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×0.2＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
则E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为E(Y)＞E(X)，所以应选择先回答B类问题．
[方法技巧]
利用均值、方差进行决策的2个方略
(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．　　
[针对训练]
1．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望与方差．
解：(1)由已知，得P(A)＝＝，所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.方差D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.
2．某投资公司在2022年年初准备将1 000万元投资到“碳中和，碳达峰”项目上，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和.
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为
X1 300 －150
P
∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200，D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000.
若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为
X2 500 －300 0
P
∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200，D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
重难点(三)　超几何分布　
[典例]　电影《长津湖》《我和我的父辈》《五个扑水的少年》在国庆期间集体上映．已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档电影，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查，其中观看了《长津湖》的有49人，观看了《我和我的父辈》的有46人，观看了《五个扑水的少年》的有34人，统计图如图所示．
(1)计算图中a，b，c的值；
(2)文化局从只观看了两部电影的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用X表示这4人中将要观看《长津湖》的人数，求X的分布列．
[解]　(1)由题意可得解得
(2)记同时观看了《我和我的父辈》和《长津湖》的为A组，共9人，同时观看了《我和我的父辈》和《五个扑水的少年》的为B组，共6人，同时观看了《长津湖》和《五个扑水的少年》的为C组，共6人．所以按分层抽样，A组、B组、C组被抽取的人数分别为9×＝3，6×＝2,6×＝2.在被抽取的7人中，没有观看《长津湖》的有2人，所以X的所有可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为
X 0 1 2
P
[方法技巧]　求超几何分布的分布列的步骤
[针对训练]
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数为3,2,2.
(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①知P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.所以事件A发生的概率为.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
1．(结合新定义问题)(多选)信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，i＝1，定义X的信息熵H(X)＝－ilog2pi.(　 )
A．若n＝1，则H(X)＝0
B．若n＝2，则H(X)随着p1的增大而增大
C．若pi＝(i＝1,2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，则H(X)≤H(Y)
解析：选AC　对于选项A，若n＝1，则p1＝1，log21＝0，∴H(X)＝－p1log2p1＝－log21＝0，故A正确．对于选项B，当p1＝时，H(X)＝－ilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－；当p1＝时，H(X)＝－ilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－.由此可得，当p1＝与p1＝时，信息熵相等，故B错误．对于选项C，若pi＝，则H(X)＝－ilog2pi＝－＝n×＝log2n，∴H(X)随着n的增大而增大，故C正确．对于选项D，若n＝2m，随机变量Y的可能取值为1，2，…，m，由P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)知，P(Y＝1)＝p1＋p2m；P(Y＝2)＝p2＋p2m－1；P(Y＝3)＝p3＋p2m－2；…；P(Y＝m)＝pm＋pm＋1.H(X)＝－[(p1log2p1＋p2mlog2p2m)＋(p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1)＋…＋(pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1)]，H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)·log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]，H(Y)－H(X)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]＋p1log2p1＋p2mlog2p2m＋…＋pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1＝p1log2＋…＋p2mlog2.易知0<<1，…，0<<1，∴log2<0，…，log2<0，∴H(Y)2.(创新考查方式)已知随机变量ξ的分布列如表所示．则当a逐渐增大时，E(ξ)－D(ξ)(　 )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．以上均不正确
解析：选D　由题意可知＋＝1，此时E(ξ)＝＋，D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))2.设m＝，n＝，0＜m＜1,0＜n＜1，则m＋n＝1，且E(ξ)＝＋＝＝＝－2，D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))2＝－4，从而E(ξ)－D(ξ)＝2，为常数．故选D.
3．(创新命题角度)(多选)已知A＝B＝{1,2,3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a，b)，设事件“点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上”对应的随机变量为X，P(X＝n)＝Pn，X的数学期望和方差分别为E(X)，D(X)，则(　 )
A．P4＝2P2 B．P(3≤X≤5)＝
C．E(X)＝4 D．D(X)＝
解析：选BCD　因为A＝B＝{1,2,3}，点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上，所以X的值可以为2,3,4,5,6.又从A，B中分别任取1个数，共有9种情况，所以P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝.对于A，P4＝3P2，A不正确；对于B，P(3≤X≤5)＝＋＋＝，B正确；对于C，E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝＝4，C正确；对于D，D(X)＝(2－4)2×＋(3－4)2×＋(4－4)2×＋(5－4)2×＋(6－4)2×＝，D正确．故选B、C、D.
4(创新考查方式)(多选)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球，交换并放回，重复n(n∈N*)次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn，则下列结论中正确的是(　 )
A．p2＝，q2＝
B．数列{2pn＋qn－1}是等比数列
C．xn的数学期望E(xn)＝1＋n(n∈N*)
D．数列{pn}的通项公式为pn＝·n－·n＋(n∈N*)
解析：选BC　由题意知p1＝，q1＝，p2＝p1＋·q1＝，q2＝p1＋q1＝，故A错误；pn＋1＝pn＋·qn＝pn＋qn　①，qn＋1＝pn＋qn＋(1－pn－qn)＝－qn＋　②，由2×①＋②得2pn＋1＋qn＋1＝pn＋qn＋，所以2pn＋1＋qn＋1－1＝pn＋qn－＝(2pn＋qn－1)，又2p1＋q1－1＝，故{2pn＋qn－1}是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；易知2pn＋qn－1＝n，即2pn＋qn＝n＋1，xn的分布列为
xn 0 1 2
P 1－pn－qn qn pn
所以E(xn)＝2pn＋qn＋0×(1－pn－qn)＝n＋1，故C正确；由②知，qn＋1－＝－，q1－＝，所以是以为首项，－为公比的等比数列，所以qn＝n－1＋，又2pn＋qn－1＝n，故pn＝＝·n＋·n＋(n∈N*)，所以D错误．故选B、C.
5．(忽视概率的非负性致误)已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 1－2q q2
则常数q＝________.
解析：由分布列的性质，得0.5＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－或q＝1＋(舍去)．
答案：1－
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝(　 )
A. B. C. D.
解析：选C　由分布列的性质，得＝1，解得a＝3，所以P(X＝2)＝＝.故选C.
2．若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
则X的均值E(X)＝(　 )
A．2 B．2或 C. D．1
解析：选C　由题意知，＋＝1，a>0，所以a＝1，所以E(X)＝0×＋1×＝.故选C.
3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)＝(　 )
A. B. C. D．1
解析：选C　由题意，知X的可能取值为0,1,2，X服从超几何分布，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.故选C.
4．随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝，则D(3X－2)＝(　 )
X －1 0 1
P a b
A. B. C．5 D．7
解析：选C　由E(X)＝，及X的分布列，得解得∴D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－))2×＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－))2×＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－))2×＝，∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×＝5.
5．某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________．
解析：由分布列的性质，得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.
答案：40%
6．随机变量X的分布列为
X 2 4 6
P a b c
其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，则P(X＝2)＝________.
解析：由题意得解得
则P(X＝2)＝.
答案：
7．一个袋子里有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取3个球恰好有2个球同色的概率为________．
解析：记A＝{取出的3个球中恰好有2个白球}，B＝{取出的3个球中恰好有2个黑球}，C＝{取出的3个球中恰好有2个红球}，则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.A，B，C三个事件两两互斥，则P(取出的3个球中恰好有2个球同色)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
答案：
8．(2021·邯郸二模)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．
表1
购买实物商品/元 (0,100) [100,500) [500,1 000)
积分 2 4 6
概率
表2
购买虚拟商品/元 (0,20) [20,50) [50,100) [100,200)
积分 1 2 3 4
概率
(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；
(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；
(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列与数学期望．
解：(1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为＋＝，购买虚拟商品不低于100元的概率为，因此所求概率为×＝.
(2)根据条件，积分不低于8分有两种情况：①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分；②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，故小张一个月积分不低于8分的概率为×＋×＝.
(3)由条件可知X的可能取值为3,4,5.P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝P(X＝5)＝＝，故X的分布列为
X 3 4 5
P
E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
9．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：
日需求量x/个 20 30 40 50
天数 5 10 10 5
(1)从这30天中任取2天，求这2天的日需求量均为40个的概率；
(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望E(X)＝.现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．
解：(1)从这30天中任取2天，样本点总数n＝C，
这2天的日需求量均为40个包含的样本点个数m＝C，
∴这2天的日需求量均为40个的概率P＝＝.
(2)由题意得，P(Y＝－20)＝，P(Y＝60)＝，P(Y＝140)＝，P(Y＝180)＝，
∴Y的分布列为
Y －20 60 140 180
P
E(Y)＝－20×＋60×＋140×＋180×＝.
∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望E(X)＝，<，∴此建议不该被采纳．
二、重点难点培优训练
1．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X＝k)＝(　 )
A. B. C. D.
解析：选B　∵{X＝k}表示“第k次恰好打开，前k－1次没有打开”，∴P(X＝k)＝××…××＝.
2．(多选)已知随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P a
其中ab≠0，下列说法正确的是(　 )
A．a＋b＝1　　　　　　　 B．E(ξ)＝
C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值
解析：选ABD　根据分布列的性质，得a＋＋＝1，即a＋b＝1，故A正确；根据期望公式，得E(ξ)＝0×a＋1×＋2×＝，故B正确；根据方差公式，得D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－))2×a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－))2×＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－))2×＝－b2＋b＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－))2＋，因为0＜b＜1，所以当b＝时，D(ξ)取得最大值，故C不正确，D正确．
3．某商家为回馈新老顾客，在2021年的“周年庆典”中开展一系列的促销活动，其中有一项活动是凡购物满6 888元的顾客会获得一件赠品，顾客凭购物小票用简单随机抽样方法中的抽签法在甲、乙、丙三种赠品中随机抽取一种赠品，现恰有3名顾客的购物金额满6 888元．设随机变量ξ表示获得赠品种类完全相同的顾客人数，则P(ξ＝3)＝________，E(ξ)＝________.
解析：由题意得ξ所有可能取值为0,2,3，每个人有三种情况，所以3个人共有33＝27种情况．当ξ＝0时，每个人选中甲、乙、丙各一种赠品，有A＝6种情况，所以P(ξ＝0)＝＝；当ξ＝2时，即有两人选中同一种赠品，另一个人选中另两种中的一种赠品，有CCC＝18种情况，所以P(ξ＝2)＝＝；当ξ＝3时，即三人都选择同一种赠品，有C＝3种情况，所以P(ξ＝3)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋2×＋3×＝.
答案：　
4．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排出的序号依次为xA，xB，xC，xD，家长猜测的序号依次为yA，yB，yC，yD，其中xA，xB，xC，xD和yA，yB，yC，yD都是1,2,3,4四个数字的一种排列．
定义随机变量X＝(xA－yA)2＋(xB－yB)2＋(xC－yC)2＋(xD－yD)2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．
(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
①求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；
②求X的分布列(简要说明方法，不用写出详细计算过程)；
(2)若有一组小孩和家长进行了三轮游戏，三轮的结果都满足X<4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，并说明理由．
解：(1)①若家长对小孩的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序xAxBxCxD为1234的情况，家长的排序有A＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与小孩排序对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321，所以家长的排序与小孩排序对应位置的数字完全不同的概率P＝＝.若小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的排序调整即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，所以他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为.
②根据①的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，此时家长的排序一共有24种情况．列出所有情况，分别计算每种情况下的X的值．X的分布列如下表：
X 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
P
(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由(1)可知，在一轮游戏中，P(X<4)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝.三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())3＝<，这个结果发生的可能性很小，所以这位家长对小孩饮食习惯比较了解．

展开更多......

收起↑