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2022年北京市朝阳区九年级二模数学试卷
数 学
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个
1．汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体。汉字在发展过
程中演变出多种字体，给人以美的享受。下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对
称图形的是
（A） （B） （C） （D）
2．2021年《中共中央国务院关于完整准确全面贯彻新发展理念做好碳达峰碳中和工作的意见》发布，明确了我国实现碳达峰碳中和的时间表、路线图。文件提出到2030年森林蓄积
量达到190亿立方米。将19000000000用科学记数法表示应为
（A） （B） （C） （D）
3．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是
（A） （B） （C）1 （D）2
4．如图，点在直线上，，若，则的大小为
（A）120°
（B）140°
（C）150°
（D）160°
5．从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是
（A） （B） （C） （D）
6．在太阳光的照射下个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是
（A） （B） （C） （D）
7．9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数a与这9个数都不相等．把和这9个数组成一组新的数据，下列结论正确的是
（A）这两组数据的平均数一定相同
（B）这两组数据的方差一定相同
（C）这两组数据的中位数可能相同
（D）以上结论都不正确
8．用绳子围成周长为10m的正边形。记正边形的边长为，内角和为．当在一定范围内变化时，y和都随着的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是
（A）一次函数关系，二次函数关系
（B）一次函数关系，反比例函数关系
（C）反比例函数关系，二次函数关系
（D）反比例函数关系，一次函数关系
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________．
10．分解因式： ________．
11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
12．如图，是的直径，点在上，，是的切线， ________．
13．如图，平分，过点的直线与，分别相交于点，只需添加一个条件
即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）．
14．如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是________．三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）
15．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象与直线的交点的纵坐标为2，则该图象与直线的交点的横坐标为________．
16．围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上。若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了。如图1，围住1个白子需要4个黑子，围住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子。像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住________个白子。
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，第26题
6分，第27，28题，每题7分）
17．计算：．
18．解分式方程：：
19、解不等式，并写出它的所有非负整数解．
20．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（2，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围。
21．已知：线段
求作：，使得，．
作法：①分别以点为圆心，长为半径画弧，在直线的一侧相交于点；
②连接并延长，在的延长线上取一点，使得；
③连接．
就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明，
证明：连接．
，
是等边三角形（ ① ）（填推理的依据）。
，
．
．
A（ ② ）（填推理的依据）
．
．
22．如图，在菱形中，为的交点，分别为的中点。
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长，
23．如图，为日的直径，为上的一点，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求．
24．某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉。安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为米。
（米） 0 1.0 3.0 5.0 7.0
（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求所画图象对应的函数表达式；
（4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）。
25．某年级共有300名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取30名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，相关信息如下
a．30名学生A，B两门课程成绩统计图：
b．30名学生A，B两门课程成绩的平均数如下：
A课程 B课程
平均数 85.1 80.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这30名学生中，甲同学A课程成绩接近满分，B课程成绩没有达到平均分。请在图
中用“○”圈出代表甲同学的点；
（2）这30名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，直接写出，引的大小
关系；
（3）若该年级学生都参加此次测试，估计A，B两门课程成绩都超过平均分的人数
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
（2）若点在拋物线上，且，求的取值范围。
27．在正方形中，为上一点，点在上，点在上，且，垂足为
点．
（1）如图1，当点与点重合时，求证：；
（2）将图1中的向上平移，使得为的中点，此时与相交于点，
①依题意补全图2；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明
28．在平面直角坐标系中，的半径为1，，且两点中至少有一点在外．
给出如下定义：平移线段，得到线段（分别为点的对应点），若线段
上所有的点都在的内部或上，则线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．
（1）如图1，点的坐标分别为（-3，0），（-2，0），线段到的“平移距离”为________，
点，的坐标分别为，，线段，到的“平移距离”为________；
（2）若点都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；
（3）如图2，若点A坐标为，线段到的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点形成的图形（不需证明）．
2022年北京市朝阳区九年级二模数学试卷
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D C B C A D
二、填空题（共16分，每题2分）
题号 9 10 11 12
答案 40
题号 13 14 15 16
答案 答案不唯一，如 直角 -1 21
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，第26题
6分，第27，28题，每题7分）
17．解：原式 4分
． 5分
18．解：去分母，得． 3分
解得． 4分
经检验，是原方程的解． 5分
∴原方程的解是．
19．解：． 1分
． 2分
． 3分
． 4分
∴原不等式的所有非负整数解为0，1．5分
20．解：∵（1）一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴． 2分
把（2，2）代入，解得． 3分
∴这个一次函数的表达式为．
（2）． 5分
21．解：（1）补全的图形如图所示：
3分
（2）三边都相等的三角形是等边三角形；4分
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 5分
22．（1）证明：∵分别为的中点，
∴，． 1分
∴四边形是平行四边形．2分
∵在菱形中，相交于点，
∴ 3分
∴四边形是矩形．4分
（2）解：∵四边形是矩形，
∴ 5分
∵四边形是菱形，
∴，，平分．
∵，
∴，．
∴．，．
∴．
∴． 6分
23．（1）证明：∵如图，连接．
∴交于点，
∴ 1分
∴．
∵，
∴
∵，
∴． 2分
∵，
∴．
∴
∴．．
∴是的切线，3分
（2）解：∵，
∴． 4分
∵
∴．
设，
∵．
∴．
解得． 5分
∴，．
∴DC0
∴在中，c． 6分
24．解：（1）坐标系及图象如图所示
． 2分
（2）5； 3分
（3）∵抛物线经过点（1．0，4．2），（5．0，4．2），
∴抛物线的对称轴为．
∴抛物线的顶点坐标为（3．0，5．0）。
设抛物线的函数表达式为 4分
把（1．0，4．2）代人，解得-
∴所画图象对应的函数表达式为 5分
（4）令，解得（舍），．
∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米。
∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，
∴正方形护栏的边长至少为18米，
∴公园至少需要准备72米的护栏， 6分
25．解：（1）如图所示：
2分
（2）． 4分
（3）由统计图可知在这30名学生中，A，B两门课程成绩都超过平均分的有9人，所以若该年级学生都参加此次测试，估计A，B两门课程成绩都超过平均分的人数为． 5分
26．解：（1）抛物线表达式为，
∴对称轴为直线． 2分
（2）由题意可知抛物线开口向上，
①当时，
由，得．
解得．
由，得．
解得．
．
②当时
由，得．
解得．
由，得．
解得．
．
③当时，
由，得
解得．
由，得
解得．
无解．
综上，或-． 6分
27．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴BC=CD，． 1分
∴，
∵，垂足为点，
∴
∴
∴． 2分
∴． 3分
即．
（2）①补全图形如图所示。
4分
②． 5分
证明：如图，连接．
∵为的中点，且．．
∴．6分
∵四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
由（1）知，
∴． 7分
∴．
28．解：（1）2，；2分
（2）如图1，直线的表达式为，点的坐标为（-1，0）．
可求直线与轴和y轴的交点坐标分别为（-2，0），（0，）．3分
∴直线与轴所夹锐角为60°分
将直线向右平移得到直线，当直线经过点时，与圆的另一个交点为．
∵，
∴是等边三角形． 5分
∴．．
∴当点在直线上运动时，线段到的“平移距离”总是的长度．
作直线于点，此时的长度即为的最小值． 6分
（3）如图2，，
以点为圆心，1为半径画圆，可知点在上。
所有满足条件的点形成的图形为． 7分
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