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使学习渐入“加”境；让思维“海”阔天空
排列组合综合应用练习题
一． 夯实基础：
1. 由 0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．
⑴ 四位偶数有多少个？
⑵ 四位奇数有多少个？
⑶ 四位偶数有多少个？
2. 由 0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．
⑴整数有多少个？
⑵是 5的倍数的三位数有多少个？
3. 由 0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．
⑴是 25的倍数的四位数有多少个？
⑵大于 5860的四位数有多少个？
4. 一个小组共 10名学生，其中 4女生，6男生.现从中选出 3名代表，其中至少有一名女
生共有多少种选法？
二． 拓展提高：
5. 正六边形的中心和顶点共 7个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有多少个？
1
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6. 从 10 件产品中有 4 件次品，现抽取 3 件检查，
（1）恰好有一件次品的取法有___________种；
（2）既有正品又有次品的取法有_______________种.
7. 圆周上有十个点，任两点之间连一条弦，这些弦在圆内共有多少个交点？
8. 用 2，4，6三个数字来构造六位数，但是不允许有两个连着的 2出现在六位数中（例如
626442是允许的，但 226426就不允许），问这样的六位数有多少个？
三. 超常挑战
9. 有 5个标签分别对应着 5个药瓶，恰好贴错 3个标签的可能情况有多少种？
10.由 1447，1005，1231这三个数字有许多相同之处：它们都是四位数，最高位都是 1，都
恰有两个相同数字，一共有多少个这样的数？
11.某旅社有导游9 人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余 4个既会英语又会日语．现
要从中选 6 人，其中 3人做英语导游，另外 3人做日语导游．则不同的选择方法有多少
种
2
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12.在10名学生中，有5 人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余 2 人既会安装电脑，又
会安装音响设备，今选派由 6 人组成的安装小组，组内安装电脑要 3人，安装音响设备
要 3人，共有多少种不同的选人方案
13.在四位数中，各位数字之和是 4的四位数有多少？
四．杯赛演练：
14.（迎春杯初赛）6个人传球，每两人之间至多传 1次，那么至多共进行几次传球？
15.（华杯赛冬令营培训题）如图，A、B、C、D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个
岛连接起来，则不同的建桥方案共有几种？
D
A
C
B
3
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答案：
1. （1）注意 0不能做首位，5A3 300个．5
（2）个位为特殊位置，只能从 5，7中选一个；0是特殊元素，它不能放在千位；综上，
四位奇数有C1 1 22C4 A4 96个．
（3）位只能在 0，2，6，8中选择，进一步分成两种情况：若个位为 0，则共有 A35 60
种；若个位不是 0，则个位从 2，6，8中选一个，有 3种方法，然后选择千位，
有 4种方法，最后再选剩余的两位，有 A24 12种，所以四位偶数有
60 3 4 12 204个．
2. ⑴包括一位数、二位数、三位数、…、六位数，共有
A1 A1A1 A1A2 A1A3 A1 3 1 4 1 56 5 5 5 5 5 5 5 A5 A5 A5 A5 A5 1631个．
⑵5的倍数，则个位为 0或 5，分两种情况：若个位为 0，则有 A2 20 个；若个位为 5，5
则有 A1A1 16个，所以共有 36个是 5的倍数的三位数． 4 4
3. ⑴25的倍数，在本题的条件下，末两位只可能是 25，50或 75.
若末两位为 25，则这样的四位数有 A1 1 个； 3 A3 9
若末两位为 50，则这样的四位数有 A24 12个；
若末两位为 75，则这样的四位数有 A1A1 9 个，因此能被 25整除的四位数共有 30个． 3 3
⑵千位如果为 5，则前三位为 586，第四位有 2或 7两种选择；前三位若为 587，则
四位有 0，2，6三种选择，所以，千位为 5总共有 5个数；
千位如果为 6、7、8，则均有 A3 个数，因此，大于 5860的四位数有5 3 60 1855 60
个．
4. “至少有一名女生”意味着存在女生，也就是说不能都是男生.所以，理解这句话的意
思至关重要！我们可以从直接与间接两种方法解这道题，同学们可以比较一下.
方法一：直接法.
由于共有 4个候选女生，因此至少有一名女生，包括如下几种情况：
⑴1名女生，2名男生：C1C24 6 60种选法；
⑵2名女生，1名男生：C2C14 6 36种选法；
⑶3名女生，C34 4种选法.
所以，共有60 36 4 100种选法.
方法二：间接法.
先从 10名学生中任意选出 3名学生，有C310 种选法；然后从中扣除没有女生的情况
（即全是男生的情况），有 C36 种选法.所以，至少有一名女生的选法数有
C3 310 C6 120 20 100．
5. 7个点中选出 3个点的方法为C37 35种，其中三条对角线上的 3点组合是共线的，不合
要求.35 3 32种．
6. ⑴C1 24C6 60种；
⑵既有正品又有次品分为：1件次品，2件正品；2件次品，1件正品两类，
即：C1C2 2 14 6 C4C6 60 36 96种.
4
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7. 两条弦的交点与四边形的个数一一对应，因而有C410 210个交点．
8. （1）若六位数中没有 2，则每一位只能从 4或 6中选一个，这时有 26 64个.
（2）若六位数中只有 1 个 2，则 2 有C16 6种位置选择，其余 5 个位置从 4 或 6 中选
取，则有6 25 192 个.
（3）若六位数中有 2个 2，这时有 24 C25 160个（插空法）.
（4）若六位数中有 3个 2，这时有 23 C34 32个；
由题意，不可能在六位数中出现4个4个以上的2.于是共有64 192 160 32 448个.
9. 将瓶子命名为 1，2，3，4，5 号，如果是 1，2 号瓶贴对，则其余 3 个瓶子都贴错的，
简单枚举可发现有 2种贴错的情况；而另选两个瓶子贴对，则剩余 3个瓶子都贴错也是
2种情况，因此共有C25 2 20种.
10.由于首位是 1，因此那两个相同数字应该以是否是 1而分类：
⑴若相同数字是 1：另一个 1有 3种位置可以选择，另两位数字不能是 1且不能相
同，故有 A29 种不同排法，因而有m 3A
2
1 9 216 个.
⑵若相同数字不是 1：这时相同数字有 9种不同选法，这两个相同数字在后 3位只
有 3种不同排法，另一位数字既不是 1，又不能与相同数字相同，因此有 8种不
同取法．因而有m 9 3 8 216 个. 2
综上，满足条件的四位数共有 216 216 432个．
11.此题若从“多面手”出发来做，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语
的人讨论，分三类：
⑴只会日语的 2人都出场，则还需1个多面手做日语导游，有 4 种选择．从剩下的
6 5 4
只会英语的人和多面手共 6 人中选3人做英语导游，有C36 20种选择．由
3 2 1
乘法原理，有 4 20 80种选择．
⑵只会日语的 2人中有1人出场，有 2种选择．还需从多面手中选 2 人做日语导游，
有C2
4 3
4 6种选择．剩下的只会英语的人和多面手共5 人中选3人做英语导游，
2 1
5 4 3
有C35 10种选择．由乘法原理，有 2 6 10 120种选择．
3 2 1
⑶只会日语的人不出场，需从多面手中选3人做日语导游，有C3 C14 4 4种选择．剩
下的只会英语的人和多面手共 人中选 人做英语导游，有C3 C14 3 4 4 4种选择．由
乘法原理，有 4 4 16 种选择．根据加法原理，不同的选择方法一共有
80 120 16 216种．
12.按具有双项技术的学生分类：⑴两人都不选派，有C35 10种选派方法；⑵两人中选派1
人，有 2种选法．而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑，有C25 10种选法，
而另外会安装音响设备的 3人全选派上，只有1种选法．由乘法原理，有10 1 10种选
法；若此人安装音响设备，有C23 3种选法，需从5 人中选3人安装电脑，有C
3
5 10种
选法．由乘法原理，有3 10 30种选法．根据加法原理，有10 30 40 种选法；综上
所述一共有 2 40 80种选派方法．⑶两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：①
两人全安装电脑，有 5 1 5种选派方案；②两人一个安装电脑，一个安装音响设备，
有C2 2 35 C3 60种选派方案；③两人全安装音响设备，有3 C5 30种选派方案．根据加
5
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法原理，共有5 60 30 95种选派方案．
综合以上所述，符合条件的方案一共有10 80 95 185种．
13.设原四位数为 ABCD，按照题意，我们有 A B C D 4，但是对 A、 B 、C 、D 要
求不同，因为这是一个四位数，所以应当有 A 0，而其他三个字母都可以等于 0，这样
就不能使用我们之前的插板法了，因此我们考虑将 B 、C 、D 都加上 1，这样 B 、C 、
D 都至少是 1，而且这个时候它们的和为 4 3 7 ，即问题变成如下表达：一个各位数
字不为 0的四位数，它的各位数字之和为 7，这样的四位数有多少个？
采用插板法，共有 6 个间隔，要插入 3 个板，可知这样的四位数有C3 20 个，对应着原6
四位数也应该有 20个.
14. 6个点间进行连线，共可以连成15条，但是由题意知这是个一笔画问题，若把这些线全
连上，则图形中有 6个奇点，不能一笔画，因此至少要去掉 2条线（以去掉 4个奇点），
所以至多共进行15 2 13次传球.
15.本题考察对应与转化思想.可以这样考虑：先把四个点间所有能连的线都连起来，共有
C24 6种方法，然后从这 6 条线中选择 3 条将其去掉，有C
3
6 20 种选法，但是连在同
一个点上的三条线不能同时去掉，所以必须再去掉 4种情况，所以共有 16种.
6

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