资源简介

小学数学四年级思维奥数寒假讲义-加减法竖式谜（教师版）
【课前小热身】
下面的竖式谜，你还会计算吗？注意寻找突破口来解题哦。
（1） （2）
（3） （4）
【知识梳理】
一、加法竖式
通过小热身，我们总结得到加减法竖式谜中常见的突破口有：进位、借位、黄金正三角和黄金倒三角。
接下来我们今天要学习字母竖式谜，在字母竖式谜中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字。字母竖式谜除了上面说到的突破口之外，字母重复出现的那一列也是很重要的突破口。如：
①→ ②→
【典例精讲】
【例题1】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：竖式的结果是多少？
【答案】109
【解析】首位分析可以得到“学”代表数字1；末位分析，根据末位重复出现的汉字“爱”，得到“数”代表数字0；分析十位“爱+学=数”（学=1、数=0），得“爱”为9，所以竖式结果是109，即99+10=109。
【训练1】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：竖式的结果是多少？
【答案】93
【解析】末位分析，根据末位重复出现的汉字“数”，得到“学”代表数字0；分析十位“数”，得“数”为3，所以竖式结果是93，即33+60=93。
在加法竖式中，进位是非常重要的突破口，尤其是相同数位上重复出现的数字或字母，例如：
①→没有进位，，有进位；
②→没有进位，，有进位。
【例题2】如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问：竖式的结果是多少？
【答案】191
【解析】首位分析可以得到C代表数字1；分析十位“A+A=A”，因为A是第二个加数的首位，不能为0，所以一定产生进位，A=9．分析末位“B+A=C”（A=9 C=1），得B是2。所以竖式结果是191，即92+99=191。
【训练2】如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问：第一个加数是多少？
【答案】599
【解析】分析十位“A+A=A”，因为A是第二个加数的首位，不能为0，所以一定产生进位，A=9。分析首位，得C代表数字5+1=6。分析末位“A+6=B”（A=9），得B代表数字5，所以竖式结果是695，第一个加数是599，即599+96=695。
【例题3】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：每个汉字各代表什么数字？
【答案】“我”是1；“爱”是0；“数”是8；“学”是9
【解析】根据首位的黄金三角，得“我”是1，“爱”是0，“数”是8，“学”是9。接下来根据末位，得“数”是8，即989+9099=10088。
【训练3】如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问：每个字母各代表什么数字？
【答案】A=7，B=1，C=9，D=8
【解析】B=1，千位向万位有进位，判断D=8。依据十位和个位判断C=9，则依据个位D+C=10+A，判断A=7。即8798+8999=17797。
【知识梳理】
二、减法竖式
减法竖式同加法竖式类似，对于重复出现数字的那一列，是否有借位也是很重要的突破口，例如：
①→没有借位，，有借位；
②→没有借位，，有借位。
【例题4】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：每个汉字各代表什么数字？
【答案】好=1，孩=2，子=9。
【解析】首位分析得“好”为1。分析百位“孩－孩=子”，“子”在首位，不可能为0，只能是9，依次分析个位和十位，得到“孩”为2。所以“好”是1，“孩”是2，“子”是9。即1221-292=929。
【训练4】如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问：每个字母各代表什么数字？
【答案】A=0，B=1，C=9，D=2。
【解析】分析首位，黄金倒三角，得B为1，A为0，C为9，再根据个位，得D为2。
【能力提升】
如图竖式，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：每个汉字各代表什么数字？
【答案】爱=1，数=8，学=7。
【解析】首位分析可以得出“爱”代表数字1．末位分析“学+学+学=1”（爱=1），得“学”是7。最后分析十位“数+数=数”，个位向十位进2，得“数”是8。即7+87+87=181。
【课后巩固】
如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么最终的结果是_______。
【答案】74
【解析】末位分析，根据末位重复出现的字母A，得到B代表数字0；分析十位“A+3=7”，得A为4，则最终的结果是74，即44+30=74。
如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么最终的结果是_______。
【答案】90
【解析】分析个位得到B=0，则十位A=7，最终的结果是90，即20+70=90。
如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么最终的结果是_______。
【答案】100
【解析】首位分析可以得出A代表数字1，个位分析C=0，则B=9，即90+10=100。
如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么最终的结果是_______。
【答案】190
【解析】首位分析可以得出A代表数字1，十位向百位有进位，B=9，则C=0，即99+91=190。
如图，加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“我爱数学”表示的四位数是_______。
【答案】1987
【解析】百位向千位有进位，则“我”=1，百位分析“爱”=9，即十位向百位有进位，则“数”=8，因此“学”=7。即987+987=1974。
如图，加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“我爱学习”表示的四位数是_______。
【答案】1589
【解析】十位分析“习”=9，因此个位上“学”=8，十位向百位有进位，则“爱”=5，“我”=1。即1589+599=2188。
在下面的减法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“爱数学”表示的三位数是_______。
【答案】192
【解析】一个三位数减去一个两位数，差为两位数，所以可得“爱”等于1；十位上“数”重复出现，所以“数”是0或者9，但是“数”是两位数的首位，不能为0，则“数”等于9；最后根据个位得到“学”等于2，所以这个三位数是192，即191-92=99。
如图减法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么式子中的被减数是_______。
【答案】1920
【解析】一个四位数减去一个三位数，差为三位数，所以可得A等于1；百位上B重复出现，所以B是0或者9，但是B是三位数的首位，不能为0，则B等于9；最后分析个位得到D等于0，然后推出C等于2，所以这个被减数是1920，即1920-991=929。
如图减法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“爱上学习”表示的四位数是_______。
【答案】1930
【解析】一个四位数减去一个三位数，差为三位数，所以可得“爱”等于1。分析百位“爱 爱=上”，“上”等于0或9，但是“上”是三位数的首位，不能为0，则“上”等于9；分析个位，必然要借位，可以得出“习”是0，所以十位相减，差得3，所以“学”等于3，所以这个四位数是1930，即1130-199=931。
如图减法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“好学生”表示的三位数是________。
【答案】109
【解析】一个五位数减去一个四位数，差为三位数，所以可得“好”等于1，“学”等于0，“生”等于9；所以这个三位数是109，即10099-9900=199。
【小测验】
1、在下面加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么式子的结果是_______。
第1题 第2题
【答案】64
2、在下面加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么式子的结果是_______。
【答案】100
3、在下面加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“我爱学习”表示的四位数是_______。
第3题 第4题
【答案】1976
4、在下面的减法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“爱学习”表示的三位数是_______。
【答案】192
5、在下面的减法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“收获成长”表示的四位数是_______。
【答案】1950
(
2
)
（北京）股份有限公司小学数学四年级思维奥数讲义- 游戏必胜策略（教师版）
【课前小热身】
桌子上有8枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次只能取1枚。如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁一定赢？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁一定赢？
【知识梳理】
实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造思维能力。
例如：桌子上有30枚棋子，甲乙轮流取棋子，规定每次最少取1枚，最多取3枚，谁最后把棋子取完了，谁就是胜利者，若甲先取，他想一定赢，应该采取什么策略？
逆推法：①剩下1-3枚棋子，先拿的可以一次性拿完获胜；②剩下4枚棋子，先拿的不能够一次性拿完，后拿的获胜。
先去棋子数 后取棋子数 获胜者
1 3 后拿者
2 2 后拿者
3 1 后拿者
采用逆推法（红色代表每一组共取得4枚棋子）：
通过列举法，发现甲要抢夺2号，6号，10号，14号，18号，22号，26号，进而抢夺30号。关键数字：3+1=4（枚），即30÷4=7（组）……2（枚），甲必须在第一次取走多余的2枚，接下来甲每个回合和乙取得数量之和是4枚，甲就必胜。
归纳法：
①当棋子数是4（3+1=4）的倍数时候，后拿者获胜。必胜策略是：无论对方拿几枚，只要使自己拿的枚数与对方拿的枚数之和正好等于4即可；
②当棋子数不是4的倍数的时候，先拿者获胜。必胜策略是：先拿走总数除以4后的余数，给对方剩下4的倍数，在以后的取数中无论对方拿几枚，只要是自己拿的枚数与对方拿的枚数之和是4即可。
【典例精讲】
【例题1】有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚。如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
【答案】乙有必胜策略，甲取n枚，乙取（4-n）枚，即每一组甲乙共取得4枚。
【解析】甲乙两人每次取得的棋子只能是1枚、2枚或者3枚；对于乙来说，甲每次取多少枚并不知道，但是却可以控制自己每次取多少，第一回合甲乙共取得4枚（甲1枚乙3枚；甲2枚乙2枚或者甲3枚乙1枚），第二回合甲乙共取得4枚，此时还剩下4枚，不管甲怎么取，乙都能够获得最后一枚，因而获得胜利。
【训练1】有15枚棋子，甲乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取2枚。如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
【答案】乙有必胜策略，甲取n枚，乙取（3-n）枚，即每一组甲乙共取得3枚。
【解析】甲乙两人每次取得的棋子只能是1枚或者2枚；第一回合甲乙共取得3枚（甲1枚乙2枚；或者甲2枚乙1枚），第二回合甲乙共取得3枚，第三和第四回合甲乙也一样共取得3枚，此时已经完成了甲→乙→甲→乙→甲→乙→甲→乙的过程，还剩下3枚，不管甲怎么取，乙都能够获得最后一枚（甲取1枚，乙就取2枚；甲取2枚，乙就取1枚），因而获得胜利。
取得最后一枚棋子就赢，那如果是取得最后一枚就输了呢？思考一下，这时候每组应该怎么分配呢？怎么样保证剩下的最后一枚棋子一定要让某个人获得呢？
【例题2】有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚。如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
【答案】甲有必胜策略，甲先取3枚，之后乙取n枚，甲取（4-n）枚，即每一组甲乙共取得4枚。
【解析】留最后一枚棋子，甲先取3枚，中间乙和甲为一组，每组共取得4枚，即3+4+4=11枚，此时完成了甲→乙→甲→乙→甲的步骤，剩下最后一枚，乙别无选择，必输无疑。
【训练2】有15枚棋子，甲乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取2枚。如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
【答案】甲有必胜策略，甲先取2枚，之后乙取n枚，甲取（3-n）枚，即每一组甲乙共取得3枚。
【解析】留最后一枚棋子，甲先取2枚，中间乙和甲为一组，每组共取得3枚，即2+3+3+3+3=14枚，此时完成了甲→乙→甲→乙→甲→乙→甲→乙→甲的步骤，剩下最后一枚，乙别无选择，必输无疑。
【例题3】现有2018根火柴，甲乙两人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取出2根，最多取4根，谁无法取出火柴谁就赢，请问：谁一定赢？策略是什么？
【答案】乙一定赢
【解析】每次至少2根，最多4根，那就是6根一个循环，2018÷6=336……2，甲先取，每组中不管甲取多少根，乙取得的数量都是6减去甲的数量，例如甲2乙4，甲3乙3或者甲4乙2，这样子经过336个循环之后，还剩余2根，因为至少取得2根，因此甲只能取这2根，那么乙就无法取出火柴，乙一定赢。即过程是甲→乙→……→甲→乙→甲的步骤。
【训练3】现有2018个糖豆，甲乙两人轮流从中取出糖豆，每人每次至少从中取出2个，最多取出5个，谁无法取出糖豆谁就赢。甲先取，请问：谁一定赢？策略是什么？
【答案】乙一定赢
【解析】每次至少2个，最多5个，那就是7个一个循环，2018÷7=288……2，甲先取，每组中不管甲取多少个，乙取得的数量都是7减去甲的数量，例如甲2乙5，甲3乙4，甲4乙3或者甲5乙2，这样子经过288个循环之后，还剩余2个，因为至少取得2个，因此甲只能取这2根，那么乙就无法取出糖豆，乙一定赢。即过程是甲→乙→……→甲→乙→甲的步骤。
【例题4】甲乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲乙两人轮流从中取出球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，甲先取球。如果开始时第一堆有8个球，第二堆有5个球，那么谁有必胜策略？请说明理由。
【答案】甲有必胜策略
【解析】甲先从第一堆中取走3个，这样两堆的数量一样了，就是平衡了。接下来由乙来打破这个平衡，然后甲再来恢复这个平衡，也就是乙取走几根，甲就从另外一堆中取走相同的根数，这样到最后，两堆全拿光也是一种平衡，但由前面的步骤可以看到平衡是由甲来恢复的，所以这样甲一定能取胜。
【训练4】有两堆金币，一堆有2018枚，另一堆有2020枚。甲乙两人轮流从中取出金币，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可。规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币。如果甲先取，那么谁有必胜策略？请说明理由。
【答案】甲有必胜策略
【解析】甲先从2020枚金币中取走2枚，这样两堆的数量一样了，就是平衡了。接下来由乙来打破这个平衡，然后甲再来恢复这个平衡，也就是乙取走几枚，甲就从另外一堆中取走相同的数量，这样到最后，两堆全拿光也是一种平衡，但由前面的步骤可以看到平衡是由甲来恢复的，所以这样甲一定能取胜。
【能力提升】
如图所示，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或者向右上方沿45度角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜。请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？
B
A
【答案】①甲一定赢，甲先向上移动一次保证最终一定赢。②甲一定能够赢，甲先向右侧移动3格保证进入安全区域。
【解析】“√”表示的是安全的区域，棋子处于这里的时候，最终一定是赢的，“×”表示的是危险的区域，棋子处于这里的时候，最终一定是输的。①每次只能够走一步的话，每个“√”周围都是“×”；②每次可以走很多步的时候，某个方格上方所有格子，右边所有格子，右上45°所有格子都是“×”的时候，这个单元格才是“√”。
√ × √ × √ × B × × × × × × B
× × × × × × × × × × × √ × ×
√ × √ × √ × √ × × × × × √ ×
× × × × × × × × √ × × × × ×
√ × √ × √ × √ × × × × × × ×
A × × × × × × A × × √ × × ×
第①小问 第②小问
【课后巩固】
10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜，那么__________有必胜策略。
【答案】甲
【解析】甲先翻动1枚，接下来“乙甲”每组共翻动3枚，保证甲翻动最后一枚。
13枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜，那么__________有必胜策略。
【答案】甲
【解析】甲先翻动1枚，接下来“乙甲”每组共翻动3枚，保证甲翻动最后一枚。
18枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动2枚或3枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人赢，那么 有必胜策略。
【答案】甲
【解析】甲先翻动3枚，接下来“乙甲”每组共翻动5枚，保证甲翻动最后一枚。
10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人输掉比赛，那么 有必胜策略。
【答案】乙
【解析】甲先翻动硬币，乙每次保证与甲的总和是3枚即可，三轮过后只剩下最后一枚，甲必输。
13枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人输，那么 有必胜策略。
【答案】乙
【解析】甲先翻动硬币，乙每次保证与甲的总和是3枚即可，4轮过后只剩下最后一枚，甲必输。
18枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人输，那么 有必胜策略。
【答案】甲
【解析】甲先翻动2枚，接下来“乙甲”一组，保证每组共翻动硬币3枚，5轮之后，还剩下最后1枚留给乙，因此甲必胜。
有100枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚，如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么__________有必胜策略。
【答案】乙
【解析】甲不管取几枚，乙每次取得的数量与甲的和保持是4枚即可。100÷4=25，即甲→乙这样进行了25次取球。
有200枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚，如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么__________有必胜策略。
【答案】乙
【解析】甲不管取几枚，乙每次取得的数量与甲的和保持是4枚即可。200÷4=50，即甲→乙这样进行了50次取球。
甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取，规定取到最后一个球的人赢，甲先取球，如果开始时两堆分别有2个球和3个球，那么__________有必胜策略。
【答案】甲
【解析】甲先从3个小球的那一堆中取1个即可，接下来由乙来打破这个平衡，然后甲再来恢复这个平衡。
甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取，规定取到最后一个球的人赢，甲先取球，如果开始时两堆分别有5个球和6个球，那么__________有必胜策略。
【答案】甲
【解析】甲先从6个小球的那一堆中取走1个小球，这样两堆的数量一样了，就是平衡了。接下来由乙来打破这个平衡，然后甲再来恢复这个平衡，也就是乙取走几个，甲就从另外一堆中取走相同的数量，这样到最后，两堆全拿光也是一种平衡，但由前面的步骤可以看到平衡是由甲来恢复的，所以这样甲一定能取胜。
【小测验】
1、5枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜，那么__________有必胜策略。
【答案】甲（甲先翻动2枚）
2、15枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜，那么__________有必胜策略。
【答案】乙
3、5枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人输掉游戏，那么__________有必胜策略。
【答案】甲（甲先翻动1枚）
4、15枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人输掉游戏，那么__________有必胜策略。
【答案】甲（甲先翻动2枚）
5、甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取，规定取到最后一个球的人赢，甲先取球，如果开始时两堆分别有4个球和6个球，那么__________有必胜策略。
【答案】甲
(
10
)
（北京）股份有限公司小学数学四年级思维奥数讲义- 游戏必胜策略（学生版）
【课前小热身】
桌子上有8枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次只能取1枚。如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁一定赢？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁一定赢？
【知识梳理】
实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造思维能力。
例如：桌子上有30枚棋子，甲乙轮流取棋子，规定每次最少取1枚，最多取3枚，谁最后把棋子取完了，谁就是胜利者，若甲先取，他想一定赢，应该采取什么策略？
逆推法：①剩下1-3枚棋子，先拿的可以一次性拿完获胜；②剩下4枚棋子，先拿的不能够一次性拿完，后拿的获胜。
先去棋子数 后取棋子数 获胜者
1 3 后拿者
2 2 后拿者
3 1 后拿者
采用逆推法（红色代表每一组共取得4枚棋子）：
通过列举法，发现甲要抢夺2号，6号，10号，14号，18号，22号，26号，进而抢夺30号。关键数字：3+1=4（枚），即30÷4=7（组）……2（枚），甲必须在第一次取走多余的2枚，接下来甲每个回合和乙取得数量之和是4枚，甲就必胜。
归纳法：
①当棋子数是4（3+1=4）的倍数时候，后拿者获胜。必胜策略是：无论对方拿几枚，只要使自己拿的枚数与对方拿的枚数之和正好等于4即可；
②当棋子数不是4的倍数的时候，先拿者获胜。必胜策略是：先拿走总数除以4后的余数，给对方剩下4的倍数，在以后的取数中无论对方拿几枚，只要是自己拿的枚数与对方拿的枚数之和是4即可。
【典例精讲】
【例题1】有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚。如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
【训练1】有15枚棋子，甲乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取2枚。如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
取得最后一枚棋子就赢，那如果是取得最后一枚就输了呢？思考一下，这时候每组应该怎么分配呢？怎么样保证剩下的最后一枚棋子一定要让某个人获得呢？
【例题2】有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚。如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
【训练2】有15枚棋子，甲乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取2枚。如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
【例题3】现有2018根火柴，甲乙两人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取出2根，最多取4根，谁无法取出火柴谁就赢，请问：谁一定赢？策略是什么？
【训练3】现有2018个糖豆，甲乙两人轮流从中取出糖豆，每人每次至少从中取出2个，最多取出5个，谁无法取出糖豆谁就赢。甲先取，请问：谁一定赢？策略是什么？
【例题4】甲乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲乙两人轮流从中取出球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，甲先取球。如果开始时第一堆有8个球，第二堆有5个球，那么谁有必胜策略？请说明理由。
【训练4】有两堆金币，一堆有2018枚，另一堆有2020枚。甲乙两人轮流从中取出金币，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可。规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币。如果甲先取，那么谁有必胜策略？请说明理由。
【能力提升】
如图所示，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或者向右上方沿45度角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜。请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？
B
A
【课后巩固】
10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜，那么__________有必胜策略。
13枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜，那么__________有必胜策略。
18枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动2枚或3枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人赢，那么 有必胜策略。
10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人输掉比赛，那么 有必胜策略。
13枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人输，那么 有必胜策略。
18枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人输，那么 有必胜策略。
有100枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚，如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么__________有必胜策略。
有200枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚，如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么__________有必胜策略。
甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取，规定取到最后一个球的人赢，甲先取球，如果开始时两堆分别有2个球和3个球，那么__________有必胜策略。
甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取，规定取到最后一个球的人赢，甲先取球，如果开始时两堆分别有5个球和6个球，那么__________有必胜策略。
【小测验】
1、5枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜，那么__________有必胜策略。
2、15枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜，那么__________有必胜策略。
3、5枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人输掉游戏，那么__________有必胜策略。
4、15枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，甲乙两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻，甲先乙后轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人输掉游戏，那么__________有必胜策略。
5、甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取，规定取到最后一个球的人赢，甲先取球，如果开始时两堆分别有4个球和6个球，那么__________有必胜策略。
(
7
)
（北京）股份有限公司小学数学四年级思维奥数讲义- 加减乘除变化规律（教师版）
【课前小热身】
仔细思考回答下面问题。
①两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和发生什么变化？
②两个数相减，被减数增加8，减数减少8，差发生什么变化？
③两个数相乘，一个乘数扩大7倍，另一个乘数缩小7倍，积发生什么变化？
④两个数相除，被除数扩大6倍，除数缩小6倍，商发生什么变化？
【知识梳理】
一、加减法的变化规律
1、加法变化规律：
一个加数（a） 另一个加数（b） 和（c）
±m 不变 ±m
不变 ±m ±m
±m m 不变
2、减法变化规律：
被减数（a） 减数（b） 差（c）
±m 不变 ±m
不变 ±m m
±m ±m 不变
二、乘除法变化规律
1、乘法变化规律
一个因数（a） 另外一个因数（b） 积（c）
×n 不变 ×n
÷n 不变 ÷n
×n ÷m ×n÷m（n＝m 时不变）
×n ×m ×n×m
不变 ×n ×n
不变 ÷n ÷n
÷n ×m ÷n×m（n＝m 时不变）
÷n ÷m ÷n÷m
积不变的性质：在乘法中，一个因数扩大，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（扩大缩小的倍数不能为0）。
积不变的字母公式：
2、除法变化规律
被除数（a） 除数（b） 商（c）
×n 不变 ×n
不变 ×n ÷n
÷n 不变 ÷n
不变 ÷n ×n
×n ×m ×n÷m（n＝m 时不变）
÷n ÷m ÷n×m（n＝m 时不变）
×n ÷m ×n×m
÷n ×m ÷n÷m
商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
商不变的字母公式：
【典例精讲】
【例题1】
①两个数相减，如果被减数增加8，减数减少7，差怎么变化？
②两个数相减，如果被减数增加8，要使差减少12，减数应有什么变化？
【答案】①增加15；②增加20。
【解析】①减数减少，差增加；
②被减数增加8，差增加8，最终差反而减少12，说明减数的变化抵消了因为被减数增加8而差增加的8之后，又导致结果减少12，即减数增加20，减数增加，差减少。
【训练1】
①两个数相减，如果被减数减少8，减数增加7，差发生什么变化？
②两个数相减，如果被减数减少8，要使差增加12，减数发生什么变化？
【答案】①差减少15；②差减少20。
【解析】①与例题1类似；
②减数减少8时，差不变，再减少12，差刚好增加12，综合起来减数共计减少20。
【例题2】
①小乐在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。正确的和是多少？
②小乐在计算减法时，把被减数十位上的0错写成8，把减数个位上的6错写成9，所得的差是532。正确的差是多少？
【答案】①449；②455
【解析】①一个加数增加80，一个加数增加3，即正确的和增加83之后是532，因此正确的和是532-83=449。
②被减数增加80，差增加80；减数增加3，差减少3；差总计增加77，即正确的差是532-77=455。
【训练2】
①小希在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1，把个位上的8错写成0，所得的和是285。正确的和是多少？
②小希在计算减法时，把被减数个位上的7错写成1，把减数十位上的8错写成0，所得的和是285。正确的差是多少？
【答案】①353；②211。
【解析】①一个加数减少60，一个加数减少8，和共计减少68，则正确的和是285+68=353。
②被减数减少6，差值减少6；减数减少80，差值增加80；则差值共计增加74，即正确的差是285-74=211。
【例题3】
①两数相乘，如果一个乘数扩大8倍，另一个乘数缩小2倍，积将有什么变化？
②两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
【答案】①扩大4倍；②扩大8倍；
【解析】①乘数的变化与积的变化一致；②除数缩小2倍，商扩大2倍。
【训练3】
①两数相乘，如果一个乘数缩小8倍，另一个乘数扩大2倍，积将有什么变化？
②两数相除，如果被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？
【答案】①缩小4倍；②扩大150倍
【解析】①乘数的变化与积的变化一致；②除数缩小5倍，商扩大5倍。
【例题4】
①两数相除，如果除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？
②两数相除，商是10。如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？
【答案】①扩大18倍；②800
【解析】①除数变化与商的变化相反；②商扩大80倍，即10×80=800。
【训练4】
①两数相除，如果除数缩小6倍，要使商缩小3倍，被除数应怎样变化？
②两数相除，商是15。如果被除数扩大4倍，除数扩大20倍，那么商是多少？
【答案】①缩小18倍；②3
【解析】①被除数变化与商的变化一致，除数的变化与商的变化相反；②商最终缩小5倍。
【能力提升】
两数相除，商是16。如果被除数增加4倍，除数扩大4倍，那么商发生变化吗？如果发生变化，最终的商是多少？
【答案】20
【解析】被除数增加4倍，就是扩大5倍，16×5÷4=20。
【课后巩固】
两个数相加，如果一个加数增加8，如果和增加5，另一个加数怎么变化？
【答案】减少3
【解析】加法计算中，加数的变化规律与和的变化规律一致，同增加通减少。
两个数相减，如果被减数增加8，减数减少8，差发生什么样的变化？
【答案】增加16
【解析】减数减少，差增加，即减数的变化规律与差的变化规律相反。
两个数相减，如果被减数减少8，要使差减少12，减数应有什么变化？
【答案】增加4
【解析】被减数减少8，差值减少8，最终差值减少12，说明减数的变化引起差值减少4，故减数增加4。
小希在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1，把个位上的1错写成7，所得的和是285。正确的和是多少？
【答案】339
【解析】一个加数减少60，一个加数增加6，和总计减少54，即正确的和是285+54=339。
小乐在计算减法时，把被减数十位上的7错写成1，把减数个位上的1错写成7，所得的差是285。正确的差是多少？
【答案】351
【解析】被减数减少60，差值减少60；减数增加6，差值减少6，差值共计减少66，则正确的差数285+66=351。
两数相乘，如果一个乘数缩小2倍，另一个乘数扩大8倍，积将有什么变化？
【答案】扩大4倍
【解析】乘数的变化规律与积的变化规律一致。
两数相除，如果被除数扩大6倍，除数也扩大6倍，商将怎样变化？
【答案】商不变
【解析】商不变的性质。
两数相除，如果被除数扩大6倍，要想使商扩大2倍，除数应该怎么变化？
【答案】扩大3倍
【解析】除数扩大2倍，商反而缩小2倍。
两数相除，商是8。如果被除数扩大4倍，除数扩大8倍，那么商是多少？
【答案】4
【解析】商最终缩小2倍。
两数相除，商是8。如果被除数扩大8倍，除数扩大4倍，那么商是多少？
【答案】16
【解析】商最终扩大2倍。
【小测验】
1、两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？
【答案】减少23
2、小明在计算题时，由于粗心大意，把被减数十位上的3错写成5，把个位上的6错写成0，这样算得差是189。正确的差是多少？
【答案】175
3、两数相乘，如果一个乘数缩小8倍，另一个乘数扩大4倍，积怎么变化？
【答案】缩小2倍
4、两数相除，如果被除数扩大8倍，除数缩小4倍，商将怎样变化？
【答案】扩大32倍
5、两数相除，除数扩大9倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？
【答案】扩大27倍 (
7
)
（北京）股份有限公司
小学数学四年级思维奥数讲义-加减乘除变化规律（学生版）
【课前小热身】
仔细思考回答下面问题。
①两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和发生什么变化？
②两个数相减，被减数增加8，减数减少8，差发生什么变化？
③两个数相乘，一个乘数扩大7倍，另一个乘数缩小7倍，积发生什么变化？
④两个数相除，被除数扩大6倍，除数缩小6倍，商发生什么变化？
【知识梳理】
一、加减法的变化规律
1、加法变化规律：
一个加数（a） 另一个加数（b） 和（c）
±m 不变 ±m
不变 ±m ±m
±m m 不变
2、减法变化规律：
被减数（a） 减数（b） 差（c）
±m 不变 ±m
不变 ±m m
±m ±m 不变
二、乘除法变化规律
1、乘法变化规律
一个因数（a） 另外一个因数（b） 积（c）
×n 不变 ×n
÷n 不变 ÷n
×n ÷m ×n÷m（n＝m 时不变）
×n ×m ×n×m
不变 ×n ×n
不变 ÷n ÷n
÷n ×m ÷n×m（n＝m 时不变）
÷n ÷m ÷n÷m
积不变的性质：在乘法中，一个因数扩大，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（扩大缩小的倍数不能为0）。
积不变的字母公式：
2、除法变化规律
被除数（a） 除数（b） 商（c）
×n 不变 ×n
不变 ×n ÷n
÷n 不变 ÷n
不变 ÷n ×n
×n ×m ×n÷m（n＝m 时不变）
÷n ÷m ÷n×m（n＝m 时不变）
×n ÷m ×n×m
÷n ×m ÷n÷m
商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
商不变的字母公式：
【典例精讲】
【例题1】
①两个数相减，如果被减数增加8，减数减少7，差怎么变化？
②两个数相减，如果被减数增加8，要使差减少12，减数应有什么变化？
【训练1】
①两个数相减，如果被减数减少8，减数增加7，差发生什么变化？
②两个数相减，如果被减数减少8，要使差增加12，减数发生什么变化？
【例题2】
①小乐在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。正确的和是多少？
②小乐在计算减法时，把被减数十位上的0错写成8，把减数个位上的6错写成9，所得的差是532。正确的差是多少？
【训练2】
①小希在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1，把个位上的8错写成0，所得的和是285。正确的和是多少？
②小希在计算减法时，把被减数个位上的7错写成1，把减数十位上的8错写成0，所得的和是285。正确的差是多少？
【例题3】
①两数相乘，如果一个乘数扩大8倍，另一个乘数缩小2倍，积将有什么变化？
②两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
【训练3】
①两数相乘，如果一个乘数缩小8倍，另一个乘数扩大2倍，积将有什么变化？
②两数相除，如果被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？
【例题4】
①两数相除，如果除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？
②两数相除，商是10。如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？
【训练4】
①两数相除，如果除数缩小6倍，要使商缩小3倍，被除数应怎样变化？
②两数相除，商是15。如果被除数扩大4倍，除数扩大20倍，那么商是多少？
【能力提升】
两数相除，商是16。如果被除数增加4倍，除数扩大4倍，那么商发生变化吗？如果发生变化，最终的商是多少？
【课后巩固】
两个数相加，如果一个加数增加8，如果和增加5，另一个加数怎么变化？
两个数相减，如果被减数增加8，减数减少8，差发生什么样的变化？
两个数相减，如果被减数减少8，要使差减少12，减数应有什么变化？
小希在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1，把个位上的1错写成7，所得的和是285。正确的和是多少？
小乐在计算减法时，把被减数十位上的7错写成1，把减数个位上的1错写成7，所得的差是285。正确的差是多少？
两数相乘，如果一个乘数缩小2倍，另一个乘数扩大8倍，积将有什么变化？
两数相除，如果被除数扩大6倍，除数也扩大6倍，商将怎样变化？
两数相除，如果被除数扩大6倍，要想使商扩大2倍，除数应该怎么变化？
两数相除，商是8。如果被除数扩大4倍，除数扩大8倍，那么商是多少？
两数相除，商是8。如果被除数扩大8倍，除数扩大4倍，那么商是多少？
【小测验】
1、两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？
2、小明在计算题时，由于粗心大意，把被减数十位上的3错写成5，把个位上的6错写成0，这样算得差是189。正确的差是多少？
3、两数相乘，如果一个乘数缩小8倍，另一个乘数扩大4倍，积怎么变化？
4、两数相除，如果被除数扩大8倍，除数缩小4倍，商将怎样变化？
5、两数相除，除数扩大9倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？
(
8
)
（北京）股份有限公司

展开更多......

收起↑