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第九章 统计
9.2 用样本估计总体
9.2.4 总体离散程度的估计
学案
一、学习目标
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数.
2.理解样本数据的方差与标准差的意义和作用，会计算样本数据的方差与标准差.
3.能从样本数据中计算出方差和标准差，并给出合理的解释.
二、基础梳理
1.总体方差和总体标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差.
2.总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，，…，，其中出现的频数为，则总体方差为.
3.样本方差和样本标准差：如果一个样本中个体的变量值分别为，，…，，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差.
注：标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
4.分层随机抽样的样本方差：设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，两层的平均数分别为，，方差分别为，，则这个样本的方差为.
三、巩固练习
1.已知样本数据2，4，6，a的平均数为4，则该样本的标准差是( )
A. B. C.2 D.
2.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则该射手成绩的极差和方差分别是( )
A.0.2，0.127 B.0.3，0.016 C.9.4，0.080 D.0.3，0.216
3.元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数分别为79，84，84，86，84，87，93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A.84，4.84 B.84，16 C.85，1.6 D.85，8
4.已知数据，，，…，是上海普通职工个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是( )
A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
5.某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位职工，得到的数据分别为36，36，37，37，40，43，43，44，44.若用样本估计总体，则公司中年龄在内的人数占总人数的百分比是(其中是平均数，s为标准差，结果精确到)( )
A. B. C. D.
6.关于统计数据的分析，有以下几个结论：
①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；
②绘制频率分布直方图时，各小矩形的面积等于相应各组的组距；
③一组数据的方差一定是正数；
④如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在的汽车大约是60辆.
则这四个结论中错误的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量如条形图所示.
，，分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差，则有( )
A. B. C. D.
8.已知数据，，…，的均值为2，标准差为s，又知数据，，…，的方差为27，则__________.
9.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间（单位：分）记录如下表：
等待时间
频数 4 8 5 2 1
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值_________，病人等待时间方差的估计值________.
10.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为_________.
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
11.一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为_______.
12.从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42；
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40.
（1）哪种玉米的苗长得高？
（2）哪种的苗长得齐？
13.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.
（1）求x.
（2）求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数).
（3）从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记1~5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛代表相应的成绩，年龄组中1~5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1~5组的成绩分别为93，98，94，95，90，分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为2，4，6，a的平均数为4，所以，得，所以该样本的标准差，故选B.
2.答案：B
解析：由题意得，该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为，
平均值为，
所以该射手成绩的方差，故选B.
3.答案：C
解析：根据题意可得，去掉一个最高分和一个最低分后，评委为该选手打出的分数还剩84，84，86，84，87，所以所剩数据的平均数为，
所剩数据方差为.故选C.
4.答案：B
解析：数据，，，…，是上海普通职工个人的年收入，为世界首富的年收入，会远大于，，，…，中任意一个，这个数据中，年收入平均数大大增大；中位数可能不变，也可能稍微变大；数据的集中程度受到比较大的影响，因而更加离散，方差变大.故选B.
5.答案：C
解析：因为，
，即，所以年龄在内的人数为5，所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比约为，故选C.
6.答案：B
解析：对于①，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变，正确，因为方差反映一组数据的波动大小，整体变化不改变波动大小；对于②，错误.因为频率分布直方图中，各小矩形的面积等于相应各组的频率；对于③，错误，因为根据方差的计算公式得出方差是非负数；
对于④，根据频率分布直方图得，时速在的汽车大约是（辆），所以正确.综上，错误的结论是②③，共2个.故选B.
7.答案：C
解析：根据题意，甲厂的平均数，
方差，
标准差；
乙厂的平均数，
方差，
标准差；
丙厂的平均数，
方差，
标准差，所以.故选C.
8.答案：
解析：因为数据，，…，的均值为2，标准差为s，数据，，…，
的方差为27，所以，解得.
9.答案：9.5；28.5
解析：，
.
10.答案：
解析：因为，
所以
，
所以.
11.答案：88
解析：根据题意，设剔除最高分、最低分之后的13个数据为，，，…，，由这13个数据的平均分为92，方差为16，知，，解得，，对于原始得分96，58，，，，…，，其平均数，其方差为.
12.解析：（1），
.
所以，即乙种玉米的苗长得高.
（2）
，
.
所以，即甲种玉米的苗长得齐.
13.解析：（1）根据频率分布直方图得第一组频率为，
所以，所以.
（2）设中位数为a，
则，解得，所以中位数为32.
（3）5个年龄组的平均数为，
方差为，
5个职业组的平均数为，
方差为.

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