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第9章 统计
9.1随机抽样
9.1.1 简单随机抽样
1.了解随机抽样的必要性和重要性.
2.理解随机抽样的目的和基本要求.
3.理解简单随机抽样中的抽签法、随机数法.
4.掌握用样本的平均数估计总体的平均数.
学习目标
在现实生活中，我们经常会接触到各种统计数据，例如，人口总量、经济增长率、就业状况、物价指数、产品的合格率、商品的销售额、农作物的产量、人均水资源、居民人均年收入、电视台节目的收视率、学生的平均身高等.要正确阅读并理解这些数据，需要具备一些统计学的知识.
在初中我们已学习过一些统计与概率的知识，那么，对于具体的统计问题，应当如何收集数据呢？如何从收集的数据中提取信息来认识未知现象呢？
导语
1
普查与抽查
一天，爸爸叫儿子去买一盒火柴。临出门前，爸爸嘱咐儿子要买能划燃的火柴。儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家。
“火柴能划燃吗？”爸爸问。
“都能划燃。”
“你这么肯定？”
儿子递过一盒空的火柴盒，兴奋地说：“我每根都试过啦。”
问1： 在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？
问2：这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？
普查
抽样调查
这就需要了解统计的有关知识！
1
普查与抽查
2020年我国进行了第七次人口普查，对全国人口普遍地、逐户逐人地进行一次性调查登记.调查内容包括每位居民的姓名、性别、年龄、民族、受教育程度等. 这里，居民为调查对象，而居民的性别、年龄、民族、受教育程度等是要调查的指标.
统计的研究对象是数据，核心是通过数据分析研究和解决问题.
由于不同调查对象的指标值往往不同，它是一个变化的量，所以常把指标称为变量. 像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查(overall survey)，又称普查.
1
普查与抽查
总体：在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体；
个体：组成总体的每一个调查对象称为个体；
抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查；
样本：把从总体中抽取的那部分个体称为样本；
样本量：样本中包含的个体数称为样本量．
统计的基本思想： 用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。
为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体。
调查方式 全面调查 抽样调查
定义 对 调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中抽取
个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出____
和 的调查方法
相关概念 总体：在一个调查中，把调查对象的 称为总体 个体：组成总体的每一个调查对象称为个体 样本：把从总体中抽取的_____
个体称为样本，
样本量：样本中包含的_______称为样本量
每一个
一部分
知识梳理
估计
全体
那部
推断
分
个体数
1
普查与抽查
普查和抽样调查的特点：
1．普查的数据结果全面、准确，但花费的代价大、时间较长．
2．抽样调查的数据结果虽没有普查全面、准确，但具有花费少、效率高的特点，在总体规模较大的调查中，如果经费、时间上受限，那么抽样调查是比较合适的调查方法．
3．同时，在一些调查中，抽样调查具有不可替代的作用，抽样调查毁损性小．例如，检测一批灯泡的寿命，或一批种子的发芽率，或一批待售袋装牛奶的细菌数是否超标．
1
普查与抽查
练习1：某中学有520名学生参加升学考试从中随机抽取60名考生的数学成绩进行分析，在这个问题中：
总体是： ；
个体是： ；
样本是： ；
样本容量是： .
520名考生的升学考试数学成绩的全体
每一个考生的升学考试数学成绩
抽取60名考生的升学考试数学成绩
60
1
普查与抽查
1
普查与抽查
例1　在一次数学课堂上，陈老师请四位同学举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子.
小凉：为了了解玉米种子的发芽情况，采用抽样调查.
小爽：为了了解全班同学是否给父母洗过脚，采用全面调查.
小夏：为了了解某批东风导弹的射程，采用全面调查.
小天：为了了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，采用抽样调查.
你认为以上四位同学所列举的事例的调查方式错误的是
A.小凉 B.小爽 C.小夏 D.小天
√
解析　了解玉米种子的发芽情况，是具有破坏性的调查，因而适合抽样调查；
了解全班同学是否给父母洗过脚，调查的对象比较少，容易调查，因而适合全面调查；
了解某批东风导弹的射程是具有破坏性的调查，因而适合抽样调查；
了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，人数太多，不适合全面调查，应用抽样调查.故四位同学所列举的事例的调查方式错误的是小夏.
反思感悟　一般地，如果调查的对象比较少，容易调查，适合普查，如果调查的对象较多或者具有破坏性，适合于抽样调查.
跟踪训练1　下列调查方式，你认为最合适的是
A.了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查方式
B.旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C.了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，采用全面调查
方式
D.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
√
解析　A选项，了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查方式，故正确；
B选项，旅客上飞机前的安检，应采用全面调查方式，故错误；
C选项，了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，应采用抽样调查方式，故错误；
D选项，日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，由于调查带有破坏性，故应采用抽样调查方式，故错误.
2
简单随机抽样
探究：假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同. 你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗？
可以通过放回摸球，用频率估计红球的比例
通过不放回摸球，用频率估计红球的比例更好
抽样调查的目的是为了了解总体的情况.
例如，抽样调查一批待售袋装牛奶的细菌数是否超标，其目的是要了解整批牛奶的细菌含量超标情况，而不只是局限在抽查到的那几袋牛奶的情况.
因此，通过抽样调查了解总体的情况，自然希望抽取的样本数据能很好地反映总体的情况，即样本含有和总体基本相同的信息.
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中 抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都 ，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内 被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样： 简单随机抽样和 简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 逐个
相等
未进入样本的各个个体
放回
不放回
2
简单随机抽样
不放回简单随机抽样的效率更高．
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样哪个效率高？
简单随机抽样有什么特点？
1．总体的个体数有限；样本数n小于等于样本总体的个数N ；
2．是不放回抽样；
3．样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；
4．每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性．
因此实践中人们更多采用不放回简单随机抽样．除非特殊说明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．
2
简单随机抽样
练习：1、下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？
1．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本．
2．箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子．
不是简单随机抽样，因为简单随机抽样总体是有限的．
不是简单随机抽样．因为如无特殊说明，简单随机抽样是指不放回简单随机抽样，但本题是放回的．
例2　(1)(多选)下列抽样中，不是简单随机抽样的是
A.从无数个个体中抽取50个个体作为样本
B.仓库中有1万个玩具，从中一次性抽取100个进行质量检查
C.一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中不放回地
逐个抽出6个号签
D.箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作
中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里
√
√
解析　根据简单随机抽样的特点逐个判断.A项不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的；
B项不是简单随机抽样，虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”；
C项是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样；
D项是简单随机抽样，因为它是有放回抽样.
(2)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性
A.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些
B.与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
C.与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些
D.与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不
一定
√
解析　在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A，C，D不正确，B正确.
反思感悟　简单随机抽样必须具备下列特点
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的.
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的.
(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样.
如果3个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样.
跟踪训练2　(1)从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是
A.500名学生是总体
B.每个学生是个体
C.抽取的60名学生的体重是一个样本
D.抽取的60名学生的体重是样本量
√
解析　由题意可知在此简单随机抽样中，总体是500名学生的体重，A错误；
个体是每个学生的体重，B错误；
样本量为60，D错误.
(2)从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为
A.120 B.200 C.150 D.100
√
解析　因为从含有N个个体的总体中通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本时，每个个体被抽到的可能性为
简单随机抽样的方法
3
抽签法
问题1 一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度．已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎么抽取样本？在这个抽样中，总体、个体
、变量分别是什么？
树人中学全部高一年级学生构成调查的总体，每一位学生是个体，学生的身高是调查的变量．可以用简单随机抽样，用抽出的样本的平均身高估计高一年级学生的平均身高．
实现简单随机抽样的方法有很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．
3
抽签法
抽签法的步骤：
1．编号：将总体中的所有个体编号；
2．制签：并把号码写在形状、大小相同的号签上；
将号签放在一个不透明容器中，并搅拌均匀．
3．取样：每次从中不放回抽取一个号签，直到抽取到足够的样本量．
抽签法的优缺点是什么？
优点：简单易行，当总体个数不多时,号签搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性.
缺点：当总体个数较多时,号签很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大.
抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形
简单随机抽样（一）—— 抽签法
3
抽签法
4
随机数法
简单随机抽样（二）—— 随机数法
先给712名学生编号，例如1~712进行编号；
用随机数工具产生1~712范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本；
重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数．
（注：如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，只保留第一次，其余全部剔除，再重新产生随机数，直到抽足样本所需要的人数）．
上述的简单随机抽样的方法即为随机数法．
4
随机数法
随机数法的步骤：
1．编号：将总体中的所有个体编号；
2．选号：用随机数工具产生编号范围内的整数随机数；
3．取样：把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本．
当总体容量较多时，用随机数法抽取较为便利；
随机数法一般适用于总体中个体数较多的情形
简单随机抽样（二）—— 随机数法
4
随机数法
练习、 要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号____________________。(下面抽取了随机数表第1行至第8行)
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
227，665，650，267
4
随机数法
抽签法和随机数法的特点
优点 缺点
抽签法
随机 数法
简单易行，当总体的个体数不多时，使总体处“搅拌”均匀的状态比较容易，这时每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性.
仅适用于个体数较少的总体，当总体容量较大时，费时费力又不方便，况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平.
操作简单易行，它很好地解决了用抽签法当总体中的个数较多时制签难的问题，在总体容量不大的情况下是行之有效的.
如果总体中的个体数很多，对个体编号的工作量太大，即使用随机数表法操作也不方便快捷.
例3　为迎接2022年北京冬奥会，奥委会在网上公开招募志愿者.某高校共有50名志愿者被选中，暑假期间，该校欲从这50名志愿者中选取8人组成志愿服务小组，请用抽签法设计抽样方案.
解　(1)将50名志愿者编号，号码分别是1,2，…，50.
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签.
(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀.
(4)从盒中不放回地逐个抽取8个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本，组成志愿服务小组.
反思感悟　(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显.一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法.
(2)当总体容量较大、样本容量不大时，用随机数法抽取样本较好.
跟踪训练3　(1)抽签法确保样本具有代表性的关键是
A.制签 B.搅拌均匀
C.逐一抽取 D.抽取不放回
√
解析　若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀.
(2)使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是
A.抽签法 B.随机数法
C.随机抽样法 D.以上都不对
√
解析　由于总体相对较大，样本量较小，故采用随机数法较为合适.
5
总体平均数和样本平均数
下面是用随机数法从树人中学高一年级学生中抽取的一个容量为50的简单随机样本，他们的身高变量值（单位：cm）如下：
由这些样本观测数据，我们可以计算出样本的平均数为164.3．据此，可以估计树人中学高一年级学生的平均身高为164.3cm左右．
上面我们通过简单随机抽样得到部分学生的平均身高，并把样本平均身高作为树人中学高一年级所以学生平均身高的估计值．
156.0 166.0 157.0 155.0 162.0 168.0 173.0 155.0 157.0 160.0 175.0 177.0 158.0 155.0 161.0 158.0 161.5 166.0 174.0 170.0 162.0 155.0 156.0 158.0 183.0 164.0 173.0 155.5 176.0 171.0 164.5 160.0 149.0 172.0 165.0 176.0 176.0 168.5 171.0 169.0 156.0 171.0 151.0 158.0 156.0 165.0 158.0 175.0 165.0 171.0
5
总体平均数和样本平均数
上面我们通过简单随机抽样得到部分学生的平均身高，并把样本平均身高作为树人中学高一年级所有学生平均身高的估计值．
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为 Y1，Y2，…，YN，则称
为总体均值，又称总体平均数．
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称
＝ ＝ 为总体均值，又称总体平均数.如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则
称 ＝ ＝ 为样本均值，又称样本平均数.我们常用样本平均数去估计总体平均数.
知识梳理
例4　为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，从该校高一学生中抽查了20名学生，通过调查这20名学生每天午餐消费数据如下(单位：元)：
8　10　6　6　8　12　15　6　8　6　10　8　8　15　6
8　10　8　8　10
试估计该校高一学生每天午餐的平均费用，以及午餐费用不低于10元的比例.
所以估计该校高一全体学生每天午餐的平均费用为8.8元，在全体学生中，午餐费用不低于10元的比例约为0.35.
反思感悟　样本均值与总体均值的关系
(1)在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体均值；
(2)总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性；
(3)一般情况下，样本容量越大，估计值越准确.
跟踪训练4　为了了解某校高三学生每天的作业量，通过简单随机抽样从该校高三学生中抽取了60名学生，通过调查发现这60名学生每天完成作业平均用时2小时，则可以推测该校高三学生每天完成作业所需时间的平均数
A.一定为2小时 B.高于2小时
C.低于2小时 D.约为2小时
√
1.知识清单：
(1)全面调查和抽样调查.
(2)简单随机抽样.
(3)抽签法、随机数法.
(4)用样本平均数估计总体平均数.
2.方法归纳：数据分析.
3.常见误区：在简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的.
课堂小结
随堂演练
1.下列抽样方法是简单随机抽样的是
A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B.某饮料公司从仓库中的1 000箱饮料中一次性抽取20箱进行质量检查
C.某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机
已编好号，对编号随机抽取)
√
1
2
3
4
解析　选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；
选项B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；
选项C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误.
1
2
3
4
2.下列抽样试验中，适合用抽签法的是
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
√
1
2
3
4
解析　个体数和样本容量较小时适合用抽签法，排除A，D；
C中，甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，也不适合，故选B.
3.一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个
容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为______.
1
2
3
4
解析　因为是简单随机抽样，故每个个体被抽到的机会相等，
4.从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估计该训练营投篮投中的比例为________.
0.6
1
2
3
4
5
总体平均数和样本平均数
探究：小明想考察一下简单随机抽样的估计效果. 他从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据, 计算出整个年级学生的平均身高为165.0cm. 然后，小明用简单随机抽样的方法, 从这些数据中抽取了样本量为50和100的样本各10个, 分别计算出样本平均数, 如下表所示. 从小明多次抽样所得的结果中, 你有什么发现
　 抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
样本量为50的平均数 165.2 162.8 164.4 164.4 165.6 164.8 165.3 164.7 165.7 165.0
样本量为100的平均数 164.4 165.0 164.7 164.9 164.6 164.9 165.1 165.2 165.1 165.2
5
总体平均数和样本平均数
为更方便地观察数据，以便我们分析样本平均数的特点及总体平均数的关系，我们把这20次实验的平均数用图形表示出来，下图中的红线表示树人中学高一年级全体学生身高的平均数.
总体平均数是总体的一项重要特征. 另外,某类个体在总体中所占的比例也是人们关心的一项总体特征.
增加样本量可以提高估计效果
5
总体平均数和样本平均数
问题2 眼睛是心灵的窗口,保护好视力非常重要. 树人中学在“全国爱眼日”前,想通过简单随机抽样的方法，了解一下全校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例, 你觉得该怎样做？
解:
总体平均数
样本平均数
我们可以用样本平均数估计总体平均数，用样本中的比例 p估计总体中的比例 P.

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