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§2.4　圆的方程
2.4.1　圆的标准方程
学习目标　1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程， 能准确判断点与圆的位置关系．
知识点一　圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
知识点二　点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　×　)
2．确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　√　)
3．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(　×　)
4．(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　×　)
一、求圆的标准方程
例1　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
答案　(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________．
答案　(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析　∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
|AB|＝＝5为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
反思感悟　直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
跟踪训练1　求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
解　(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，
则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆心为(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
二、点与圆的位置关系
例2　(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．点P在圆内 B．点P在圆外
C．点P在圆上 D．不确定
答案　B
解析　由(m2)2＋52＝m4＋25>24，
得点P在圆外．
(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________________．
答案　[0,1)
解析　由题意知
即解得0≤a<1.
反思感悟　判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
跟踪训练2　已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
(1)点A在圆的内部；
(2)点A在圆上；
(3)点A在圆的外部．
解　(1)因为点A在圆的内部，
所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，
且a不为0，解得a<－2.5.
(2)因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，
解得a＝－2.5.
(3)因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，
且a不为0，解得a>－2.5且a≠0.
待定系数法与几何法求圆的标准方程
典例　求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．
解　方法一　(待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二　(几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为(4，－3)，
半径为r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
[素养提升]　(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．
(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果．充分体现数学运算的数学核心素养．
1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　)
A．(－1,5)， B．(1，－5)，
C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
答案　B
2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
答案　D
解析　由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
3．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
答案　B
4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案　A
解析　方法一　(直接法)
设圆的圆心为C(0，b)，则＝1，
∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二　(数形结合法)
作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，
故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
5．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为__________．
答案　a>或a<－
解析　∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，
169a2>1，a2>，∴a>或a＜－.
1．知识清单：
(1)圆的标准方程．
(2)点和圆的位置关系．
2．方法归纳：直接法、几何法、待定系数法．
3．常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况．
1．圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是(　　)
A．(x＋3)2＋(y＋1)2＝5
B．(x＋3)2＋(y＋1)2＝25
C．(x－3)2＋(y－1)2＝5
D．(x－3)2＋(y－1)2＝25
答案　D
2．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是(　　)
A.π B．2π C．2π D．2π
答案　B
解析　由圆的标准方程可知，其半径为，周长为2π.
3．已知点A(3，－2)，B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
答案　B
解析　由题意得圆心坐标为(－1,1)，半径r＝|AB|＝＝5，
所以圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.故选B.
4．若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，5)
C．(0,5) D．[0,5]
答案　C
解析　由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，所以05．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案　B
解析　如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，
圆的半径为r＝＝.
故所求圆的标准方程为
(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
6．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.
答案　±2
解析　∵P点在圆x2＋y2＝m2上，
∴(－1)2＋()2＝4＝m2，
∴m＝±2.
7．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________．
答案　(x－4)2＋y2＝1
解析　设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
则
解得
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
8．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以点C为圆心，为半径的圆的标准方程是________________．
答案　(x＋1)2＋(y－2)2＝5
解析　将直线方程整理为(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，
可知直线恒过点(－1,2)，
从而所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
9．已知圆C过点A(3,1)，B(5,3)，圆心在直线y＝x上，求圆C的标准方程．
解　设圆心C(a，a)，半径为r，则
解得
∴圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
10．已知点A(－1,2)和B(3,4)．求：
(1)线段AB的垂直平分线l的方程；
(2)以线段AB为直径的圆的标准方程．
解　由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3)．
(1)∵A(－1,2)，B(3,4)，
∴直线AB的斜率kAB＝＝.
∵直线l垂直于直线AB，
∴直线l的斜率kl＝－＝－2，
∴直线l的方程为y－3＝－2(x－1)，
即2x＋y－5＝0.
(2)∵A(－1,2)，B(3,4)，
∴|AB|＝＝＝2，
∴以线段AB为直径的圆的半径r＝|AB|＝.
又圆心为C(1,3)，
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
11．已知圆心在x轴上的圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则C的标准方程为(　　)
A．(x＋4)2＋y2＝50 B．(x＋4)2＋y2＝25
C．(x－4)2＋y2＝50 D．(x－4)2＋y2＝25
答案　A
解析　根据题意，设圆的圆心C的坐标为(m，0)，
若圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则有(3－m)2＋1＝(m－1)2＋25，
解得m＝－4，即圆心C为(－4,0)，则圆的半径r＝|CA|＝＝，
则圆C的标准方程为(x＋4)2＋y2＝50，故选A.
12．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
答案　D
解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3)．
因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，
化简得x－y＋3＝0.
13．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
答案　B
解析　由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
则解得即P(－1,1)．
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴|PC|＝＝5，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.
14．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为__________．
答案　1＋
解析　的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，
因此最大值为＋1.
15．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为______________．
答案　x2＋(y＋1)2＝1
解析　由已知圆(x－1)2＋y2＝1，
设其圆心为C1，
则圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1.
设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(a，b)，即圆心C的坐标为(a，b)，
则
解得
所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝1.
16．已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程．
解　设圆C2的圆心坐标为(m，n)．
因为直线l的斜率k＝－，圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r＝2，
所以，由对称性知
解得
所以圆C2的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝4.

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