资源简介

2．3.3　点到直线的距离公式
2．3.4　两条平行直线间的距离
学习目标　1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．
知识点　点到直线的距离、两条平行线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长
图示
公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝
思考1　点P (x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离怎样计算？
答案　P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；
P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.
思考2　两直线都与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？
答案　可以. 应用公式时要把直线方程都化为一般式方程．
1．当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了．(　×　)
2．点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)
3．直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．(　√　)
4．两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(　√　)
一、点到直线的距离
例1　(1)求点P(2，－3)到下列直线的距离．
①y＝x＋；②3y＝4.
解　①y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0，
则点P(2，－3)到该直线的距离为
＝.
②3y＝4可化为3y－4＝0，
则点P(2，－3)到该直线的距离为＝.
(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程．
解　设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
反思感悟　点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
跟踪训练1　(1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为________．
答案　2
(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为________．
答案　－6或
解析　由＝，
得|3m＋5|＝|m－7|，∴m＝－6或m＝.
二、两平行线间的距离
例2　(1)求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离；
(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程．
解　(1)由两直线平行得＝，
∴m＝6.
∴直线6x＋8y＋6＝0即为3x＋4y＋3＝0.
∴两平行直线间的距离d＝＝＝3.
(2)设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
由两平行线间的距离公式得
＝3，
解得m＝16或m＝－14.
故所求的直线方程为
3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
延伸探究　把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”．
解　由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0，可设l的方程为3x－4y＋c＝0，
又点P到l的距离为3，所以＝3.
解得c＝21或c＝－9，
所以，所求直线方程为
3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0.
反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝.
跟踪训练2　(1)已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　)
A．1 B．2 C. D．4
答案　A
解析　由两条直线平行可得＝，解得m＝24.即5x＋12y＋10＝0，
由两条平行线间的距离公式得d＝＝1.
(2)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．
因为A(1,1)，B(0，－1)．
所以kAB＝＝2，
所以两条平行直线的斜率为－，
所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
三、距离的综合应用
例3　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
解　(1)如图，显然有0而|AB|＝＝3.
故所求的d的变化范围为(0,3]．
(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．
而kAB＝＝，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟　应用数形结合思想求最值
(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
跟踪训练3　已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)，B(m，)，C(4,2)，1解　|AC|＝＝，
直线AC的方程为＝，
即x－3y＋2＝0.
因为点B(m，)到直线AC的距离
d＝，
所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3＋2|
＝.
因为1所以0<≤，0所以当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大．
1．已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(　　)
A．1 B．－1 C. D．±
答案　D
解析　由题意知＝1，
即|a|＝，∴a＝±.
2．两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是(　　)
A. B. C．2 D．1
答案　A
解析　2x＋2y＋1＝0可化为x＋y＋＝0，由两平行直线间的距离公式，得＝.
3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　)
A. B.
C. D．3
答案　B
解析　点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，
所以|MP|的最小值为＝.
4．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．
答案　(5，－3)
解析　由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|最小，
直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，
解方程组得
∴所求点的坐标为(5，－3)．
5．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为________．
答案　4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0
解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.
则＝2，即|C－7|＝10.
解得C＝－3或C＝17.
故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
1．知识清单：
(1)点到直线的距离公式．
(2)两条平行线间的距离．
2．方法归纳：数形结合法、解方程(组)法．
3．常见误区：利用距离公式时直线方程形式不是一般式；忽略直线方程的特殊形式．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1 B. C．2 D.
答案　D
解析　d＝＝.
2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1与l2之间的距离为(　　)
A．1 B. C. D．2
答案　B
解析　d＝＝.
3．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A. B.－1
C.＋1 D．2－
答案　B
解析　由点到直线的距离公式，得1＝，
即|a＋1|＝.因为a>0，所以a＝－1，故选B.
4．已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)
A．4 B. C. D.
答案　D
解析　∵3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0平行，
∴＝，∴m＝2，
化6x＋4y＋1＝0为3x＋2y＋＝0，
∴d＝＝＝.
5．(多选)已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可能为(　　)
A．－3 B．3
C．－2 D．1
答案　AB
解析　由题意得＝，解得a＝－3或a＝3.
6．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．
答案　－3或
解析　∵＝4，
∴|16－12k|＝52，∴k＝－3或k＝.
7．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为________．
答案　(1,2)或(2，－1)
解析　设点P的坐标为(a，5－3a)，由题意得＝，解得a＝1或2，
所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．
8．经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________________．
答案　x＝－3或7x＋24y－75＝0
解析　(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k＋4＝0.
原点到直线l的距离d＝＝3，
解得k＝－.
直线l的方程为7x＋24y－75＝0.
综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
9．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．
解　方法一　∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，
∴直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，
得＝，
解得k＝0或k＝1.
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
方法二　当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等．
∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．
∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，
∴直线l的方程为y＝2.
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
10．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．
解　因为由解得
所以中心坐标为(－1,0)．
所以中心到已知边的距离为＝.
设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.
因为正方形中心到各边距离相等，
所以＝和＝.
所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.
所以其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.
11．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为(　　)
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
答案　C
解析　由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，
∵kAB＝＝，∴kl＝－3，
由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
12．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有(　　)
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
答案　B
解析　联立得
∴两直线交点坐标为(0,1)，
由交点到原点的距离为1可知，只有1条直线符合条件．
13．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是____________．
答案　2x－y＋1＝0
解析　方法一　由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
方法二　由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，则c＝＝1.
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
14．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
答案　
解析　设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且＝|PA|.
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
15．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为(　　)
A．6 B．3 C. D.
答案　C
解析　如图所示，
结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离．
由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，
故l3的方程为y＝2x＋3.
由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离
d＝＝，
即点P到直线l3的距离为.
16．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
解　(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则解得
故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则得
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则得
故所求的点P的坐标为(12,10)．

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