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2．2.3　直线的一般式方程
学习目标　1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．
知识点一　直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
思考　平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
答案　都可以，原因如下：
(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．
(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
知识点二　直线的五种形式的方程
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
思考　当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
答案　(1)若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．
知识点三　直线各种形式方程的互化
1．任何直线方程都能表示为一般式．(　√　)
2．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　×　)
3．对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．(　×　)
4．当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．(　×　)
一、直线的一般式方程
例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5,3)；
(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)，
即x－y－5＋3＝0.
(2)由两点式，得直线方程为＝，
即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式，得直线方程为＋＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(4)y－2＝0.
反思感悟　求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
跟踪训练1　(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
①斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________；
②在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为________________；
③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________．
答案　①x＋2y＋4＝0　②2x－y－3＝0　③x＋y－1＝0
(2)直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是(　　)
A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0
答案　D
解析　直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，
∵所求直线过点A且斜率为－，
∴所求直线的方程为y＋2＝－x，即x＋2y＋4＝0.
二、直线的一般式方程的应用
例2　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
解　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．
∴m＝－.
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1.
由直线l化为斜截式方程
得y＝x＋，
则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
延伸探究
对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值．
解　∵直线l与y轴平行，
∴∴m＝.
反思感悟　含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
跟踪训练2　(1)若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝________.
答案　1
解析　由题意知a≠0，当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，x＝，
∵2＝，∴a＝1.
(2)已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
解　整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
所以
解得
所以直线l经过定点M(1，－1)．
一般式下直线的平行与垂直的问题
典例　已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值．
(1)l1⊥l2；(2)l1∥l2.
解　(1)∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0，
∴m＝－.
(2)∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)，
∴m＝－3或m＝2，
当m＝－3时，l1∥l2；
当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去．
∴m＝－3.
[素养提升]　(1)一般式下，两直线平行与垂直的判定如下：
设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，
则l1∥l2
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
(2)对于这类题目既要借助图形，更要选择运算方法，通过计算，确定结果，所以突出考查直观想象与数学运算的数学核心素养．
1．直线＋＝1化成一般式方程为(　　)
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
答案　C
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案　C
解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
答案　D
解析　方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
4．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点(　　)
A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)
答案　C
解析　kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，所以直线过定点(3,1)．
5．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
答案　3
解析　由已知得∴m＝3.
1．知识清单：
(1)直线的一般式方程．
(2)直线五种形式方程的互化．
(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直．
2．方法归纳：分类讨论法、化归转化．
3．常见误区：忽视直线斜率不存在情况；忽视两直线重合情况．
1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为(　　)
A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0
C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0
答案　D
解析　根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　)
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
答案　A
解析　过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为，
由点斜式求得直线的方程为y－3＝(x－2)，化简可得x－2y＋4＝0，故选A.
3．直线3x－2y－4＝0的截距式方程是(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝4 D.x－＝1
答案　B
解析　由3x－2y－4＝0，得3x－2y＝4，即x－y＝1 , 即＋＝1，
所以直线的截距式方程为＋＝1.
4．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为(　　)
A．－1或2 B．0或2
C．2 D．－1
答案　D
解析　由l1∥l2知，a×a＝1×(a＋2)，即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1.
当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；
当a＝－1时，l1∥l2.
∴a＝－1.
5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　)
A．－，－1 B.，－1 C．－，1 D.，1
答案　A
解析　原方程化为＋＝1，
∴＝－1，∴b＝－1.
又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，
且x－y－＝0的倾斜角为60°，
∴k＝tan 120°＝－，∴a＝－，故选A.
6．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
答案　2x－y＋1＝0
解析　由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.
7．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
答案　－
解析　把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得y＝－.
8．若直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k＝________.
答案　－1或3
解析　直线l经过原点时，可得斜率k＝3.
直线不经过原点时，直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，
∴经过点(a，0)，(0，a)．(a≠0)．
∴k＝－1.
综上可得，直线l的斜率k＝－1或3.
9．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
解　方法一　由题意l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－.
(1)由l′与l平行，
∴l′的斜率为－.
又∵l′过(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为，
又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
方法二　(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.
10．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值．
解　(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，
解得k＝.
∴若这两条直线垂直，则k＝.
(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，
解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意．
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.
答案　D
解析　∵k＝－，∴－1≤k<0.
所以倾斜角的取值范围是.
12．两条直线mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的条件是(　　)
A．m＝1 B．m＝±1
C. D.或
答案　D
解析　令m×m＝1×1，得m＝±1.
当m＝1时，要使x＋y－n＝0与x＋y＋1＝0平行，
需n≠－1.
当m＝－1时，要使－x＋y－n＝0与x－y＋1＝0平行，需n≠1.
13．直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点(　　)
A．(3,2) B．(－3,2)
C．(－3，－2) D．(3，－2)
答案　A
解析　由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)，所以直线必过点(3,2)．
14．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为______________．
答案　4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0
解析　由题意可设与直线3x－4y－7＝0垂直的直线的方程为4x＋3y＋c＝0(c≠0)，
令y＝0，得x＝－，
令x＝0，得y＝－，
则S＝·＝6，
得c2＝122，c＝±12，
∴直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0.
15．(多选)若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为(　　)
A．1 B．－1
C．－2 D. 2
答案　BD
解析　当直线ax＋y－2－a＝0过原点时，可得a＝－2.
当直线ax＋y－2－a＝0不过原点时，
由题意知，
当a＝0时，直线l与x轴无交点，当a≠0时，直线l在x轴上的截距为，
与在y轴上的截距2＋a相等，
可得＝2＋a，解得a＝1或a＝－2(舍)．
综上知，a＝－2或1.
所以直线l的斜率为－1或2.
16．已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线y－1＝0上，
∴设B点坐标为(x，1)．
又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D点坐标为.
又∵点D在中线x－2y＋1＝0上，
∴－2×2＋1＝0，解得x＝5，
∴B点坐标为(5,1)．
同理可求出C点的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.

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