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§2.1　直线的倾斜角与斜率
2．1.1　倾斜角与斜率
学习目标　1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
知识点一　直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
知识点二　直线的斜率
1．直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
2．斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
3．过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
思考　任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
答案　由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
1．任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(　×　)
2．任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　×　)
3．若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(　×　)
4．经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．(　×　)
一、直线的倾斜角
例1　(1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°
C．90°<α<180° D．0°<α<180°
答案　C
解析　直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　)
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
答案　AB
解析　根据题意，画出图形，如图所示：
通过图象可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
反思感悟　直线倾斜角的概念和范围
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
(2)注意倾斜角的范围．
跟踪训练1　(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．
答案　60°或120°
解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．
答案　135°
解析　设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
二、直线的斜率
例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)求经过两点A(2,3)，B(4,5)的直线的斜率，并确定直线的倾斜角α；
(2)求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率．
解　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，
即tan α＝1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)当a＝3时，斜率不存在；
当a≠3时，直线的斜率k＝.
反思感悟　求直线的斜率
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．
跟踪训练2　(1)若直线的倾斜角为135°，则直线的斜率为________．
答案　－1
(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．
答案　1
解析　由斜率公式k＝＝1，得m＝1.
三、倾斜角和斜率的应用
例3　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
解　如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
∴α的取值范围是45°≤α≤135°.
反思感悟　倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
跟踪训练3　已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
解　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
所以直线AD的斜率的变化范围是.
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
答案　ABC
2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)
A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)
答案　D
解析　D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
3．若经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．－2
答案　A
解析　由题意知，tan 45°＝，得m＝2.
4.若A(2,3)，B(3,2)，C三点共线，则实数m的值为________．
答案　
解析　设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，
则由斜率公式，得kAB＝＝－1，kBC＝＝－(m－2)．
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，
即－1＝－(m－2)，解得m＝.
5．经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)
答案　0°<α≤90°
解析　当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
1．知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围．
(2)直线斜率的定义和斜率公式．
2．方法归纳：数形结合思想．
3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．
1．若直线过坐标平面内两点(4,2)，(1,2＋)，则此直线的倾斜角是(　　)
A．30° B．150° C．60° D．120°
答案　B
解析　由题意知k＝＝－，
∴直线的倾斜角为150°.
2．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为(　　)
A．－1 B．1 C．2 D.
答案　D
解析　由＝2，得m＝.
3．(多选)下列说法中，错误的是(　　)
A．任何一条直线都有唯一的斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．任何一条直线都有唯一的倾斜角
D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
答案　ABD
解析　A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为0°<α<90°时，k>0,90°<α<180°时，k<0；C显然对；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，D错．
4．若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪ D.
答案　C
解析　∵直线的斜率k∈(－∞，]，
∴k≤tan ，
∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪.故选C.
5．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．0°≤α≤90°
B．90°≤α<180°
C．90°≤α<180°或α＝0°
D．90°≤α≤135°
答案　C
6．已知三点A(a，2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．
答案　2或
解析　∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，即＝，∴a＝2或.
7.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
答案　30°
解析　因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.
8．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．
答案　(3,0)或(0，－3)
解析　若点P在x轴上，设点P的坐标为P(x，0)，
则k＝＝tan 45°＝1，
∴x＝3，即P(3,0)．
若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，y)，
则k＝＝tan 45°＝1，
∴y＝－3，即P(0，－3)．
9．过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)的直线的倾斜角为135°，求m的值．
解　依题意可得，直线的斜率为－1，
又直线过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)，
即＝－1.
整理得＝1，可求得m＝－2或m＝－1，
经检验m＝－1不合题意，故m＝－2.
10．若A(2,2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：＋＝.
证明　由于A，B，C三点共线，
所以此直线的斜率既可用A，B两点的坐标表示，也可用A，C两点的坐标表示，
于是＝，
由此可得a＋b＝ab，
两边同时除以ab，得＋＝.
11．已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是(　　)
A．2 B．1
C. D．0
答案　A
解析　如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0,2]．
故直线l的斜率k的最大值为2.
12．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
答案　(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析　kAB＝＝，kAC＝＝＝0.
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴≠0，∴k≠1.
13．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是________．
答案　 k1解析　由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，
且l2比l3的倾斜角大．∴k114．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为________．
答案　
解析　如图，设直线AB与x轴的交点为C，
则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC
＝180°－45°－105°＝30°.
所以kAB＝tan 30°＝.
15．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________．
答案　(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
解析　∵直线l与线段AB有公共点，
∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA.
∵kPA＝＝－1，kPB＝＝3，
∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
16．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．
解　＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．
∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．
∵kNA＝，kNB＝－，
∴－≤≤.
∴的取值范围为.

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