资源简介

3．1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的几何性质
学习目标　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．
知识点　椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1)
思考　离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？
答案　e＝，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
1．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.(　×　)
2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.
(　×　)
3．离心率相同的椭圆是同一个椭圆．(　×　)
4．设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(　√　)
一、椭圆的简单几何性质
例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
解　椭圆方程可化为＋＝1.
(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，
∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m＞4时，a＝，b＝2，
∴c＝，
∴e＝＝＝，解得m＝，
∴a＝，c＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．
反思感悟　用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
解　(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝，焦距为12.
二、由椭圆的几何性质求标准方程
例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
(2) 过点(3,0)，离心率e＝.
解　(1)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3，
所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得a＝3，
因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得b＝3，
因为e＝，所以＝，
把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
反思感悟　利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的标准方程．
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
(4)写出椭圆标准方程．
跟踪训练2　(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．
答案　＋＝1
解析　由题意，得
解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是__________．
答案　＋＝1或＋＝1
解析　因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
三、求椭圆的离心率
例3　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
答案　
解析　方法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，
故离心率e＝＝＝＝＝.
方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，
将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，
所以|PF2|＝.
又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，
故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，
等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，
解得e＝或e＝－(舍去)．
延伸探究
1．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．
解　在△PF1F2中，
∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，
∴∠F1PF2＝60°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，
则在△PF1F2中，有＝＝，
∴＝，
∴e＝＝＝＝.
2．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．
解　由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，
∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝>，
∴e>，又0故C的离心率的取值范围为.
反思感悟　求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3　(1)已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，
∵∠ABF＝90°，∴kAB·kBF＝－1，∴＝1，即b2＝ac.
∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0，
∴e＝－(舍)或e＝.
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．
答案　
解析　由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，
所以c≥b，即c2≥a2－c2，所以a≤c，
因为e＝，01．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由题意知c＝3，＝，
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
∴椭圆方程为＋＝1.
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率为，则C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
答案　C
解析　依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且c＝1，e＝＝，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是＋＝1.
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，
|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos 60°＝＝，
即椭圆的离心率e＝，故选A.
4．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．
答案　
解析　∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴＝2，∴m＝.
5．已知椭圆的一个顶点是(0，)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程是____________．
答案　＋＝1或＋＝1
解析　∵＝＝＝，∴a＝2b，
若椭圆的焦点在x轴上，则b＝，a＝2；
若椭圆的焦点在y轴上，则a＝，b＝.
∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
1．知识清单：
(1)椭圆的简单几何性质．
(2)由椭圆的几何性质求标准方程．
(3)求椭圆的离心率．
2．方法归纳：直接法、方程法(不等式法)．
3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系．
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
答案　D
解析　∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，
∴a2＝6，且焦点在y轴上，
∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．
2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　由＋＝1可知，
所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A，C不正确；
再将点(4，0)分别代入B，D检验可知，只有D选项符合题意．
4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，
所以C的离心率e＝＝.
6．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．
答案　
解析　依题意，得b＝3，a－c＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，
∴椭圆的离心率为e＝＝.
7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0答案　(2,4]
解析　∵e＝，b＝1,0∴≤，
则1即长轴长的取值范围是(2,4]．
8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_______________．
答案　＋＝1
解析　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝，知＝，故＝.
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，
∴a＝4，∴b2＝8，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点M，求椭圆C的离心率．
解　2a＝|MF1|＋|MF2|＝＋＝2.
所以a＝.
又由已知c＝1，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
10．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
解　(1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为＋＝1.
11．若O和F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
答案　C
解析　由题意得点F(－1,0)．设点P(x0，y0)，则有＋＝1，可得y＝3.
∵＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
∴·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3.
此二次函数的图象的对称轴为直线x0＝－2.
又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值，最大值为＋2＋3＝6.
12．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C.－ D.－1
答案　D
解析　设椭圆的焦点是F1，F2，圆与椭圆的四个交点是A，B，C，D，
设|F1F2|＝2c，|AF1|＝c，|AF2|＝c(c>0),
|AF1|＋|AF2|＝2a c＋c＝2a，
e＝＝＝－1.
13．经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________．
答案　＋＝1或＋＝1
解析　由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，
设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1,2)代入椭圆方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
14．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.
答案　
解析　如图，切线PA，PB互相垂直，
又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，＝a.
解得＝，
则离心率e＝.
15．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝＝∈，
故选A.
16．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
学习目标　1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．
知识点　直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
直线与椭圆 解的个数 Δ的取值
两个不同的公共点 两解 Δ>0
一个公共点 一解 Δ＝0
没有公共点 无解 Δ<0
1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
答案　C
解析　联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交．
2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　联立消去y，得3x2＋4x－2＝0，
设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
故AB的中点横坐标x0＝＝－.
纵坐标y0＝x0＋1＝－＋1＝.
3．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝________.
答案　
解析　因为|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|＝＝，
所以|PF2|＝4－＝.
4．过椭圆＋＝1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则以AB为直径的圆的面积是________．
答案　
解析　由题意，在＋＝1中，c＝＝，
故F(，0)．
当x＝时，y＝±3＝±，所以|AB|＝，
故以AB为直径的圆的面积是π×2＝.
一、实际生活中的椭圆
例1　(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　)
A．a1＋c1＝a2＋c2
B .a1－c1＝a2－c2
C.<
D .>
答案　BD
解析　由图可知，a1>a2，c1>c2所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1，
所以a－c＋2a1c2＝a－c＋2a2c1，
即b＋2a1c2＝b＋2a2c1，由图可得，b>b，
所以2a1c2<2a2c1，<，所以C错误，D正确．
反思感悟　解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
跟踪训练1　某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米．
答案　32
解析　设椭圆方程为＋＝1，
当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1，
解得a＝16，
∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，
故拱宽至少为32米．
二、直线与椭圆
命题角度1　直线与椭圆的位置关系
例2　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3于是，当－3(2)由Δ＝0，得m＝±3.
也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)由Δ<0，得m<－3或m>3.
从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
反思感悟　直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞，
所以k的取值范围为∪.
命题角度2　弦长问题
例3　已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.
(1)试求动点P的轨迹方程C；
(2)设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程．
解　(1)设动点P的坐标是(x，y)，
由题意得kPA·kPB＝－.
∴·＝－，化简整理得＋y2＝1.
故点P的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±)．
(2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.
Δ＝16k2>0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝0.
|MN|＝·＝，
整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍)．
∴k＝±1，经检验符合题意．
∴直线l的方程是y＝±x＋1，
即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
反思感悟　求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
跟踪训练3　已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
解　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴F(，0)，∴直线l的方程为y＝x－，
将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x2－8x＋8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝.
1．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．
将点(c，y)的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，
故最短弦长是.
2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
答案　A
解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0,
∴直线与椭圆相离．
3．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　)
A．6 B．15 C．20 D．12
答案　D
解析　S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.
4．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　)
A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝
答案　ABD
解析　∵地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得 (*)
∴a－c＝m＋R ，故A正确；
a＋c＝n＋R，故B正确；
(*)中两式相加m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(*)可得两式相乘可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
∵a2－c2＝b2 ，
∴b2＝(m＋R)(n＋R) b＝ ，故D正确．
5．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，
即－4m2＋5≥0，解得－≤m≤.
1．知识清单：
(1)直线与椭圆的位置关系．
(2)弦长公式．
2．方法归纳：判别式法．
3．常见误区：代数计算中的运算失误．
1．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
答案　A
解析　方法一　直线过点(0,1)，而0＋<1，即点(0,1)在椭圆内部，
所以可推断直线与椭圆相交．
方法二　联立直线与椭圆的方程，得消去y得9x2＋10x－15＝0，
Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．
2．(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A. B．－ C．－ D.
答案　AB
解析　由
得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，
解得k＝±.
3．直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于(　　)
A. B.
C．2 D．3
答案　A
解析　由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝.
4．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m>0
C．0答案　D
解析　方法一　由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
则0<≤1且m≠5，
故m≥1且m≠5.
方法二　由
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.
5．已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．4x＋2y－3＝0 D．4x－2y－1＝0
答案　B
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为点A，B在椭圆上，
所以＋x＝1，①
＋x＝1.②
①－②，得＋(x1＋x2)(x1－x2)＝0.③
因为P是线段AB的中点，
所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
代入③得＝－9，即直线AB的斜率为－9.
故直线AB的方程为y－＝－9，
整理得9x＋y－5＝0.
6．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为______________．
答案　2
解析　由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>2)，
与直线方程x＋y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2.
7．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
答案　
解析　由已知可得直线方程为y＝2x－2，|OF|＝1，
联立方程得解得A(0，－2)，B，
所以S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
8．已知椭圆的方程为＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．若直线AB的倾斜角为，则弦长|AB|为________．
答案　
解析　易知F1(－1,0)，∵直线AB的倾斜角为，
∴直线AB的斜率为1，可得直线AB的方程为y＝x＋1.联立
整理得7x2＋8x－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系可知x1＋x2＝－，x1·x2＝－，
则由弦长公式得|AB|＝·＝×＝.
9．对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
解　由消去y，
得＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当Δ＞0，即－＜m＜时，此时直线与椭圆相交；
当Δ＝0，即m＝±时，此时直线与椭圆相切；
当Δ＜0，即m＜－或m＞时，直线与椭圆相离．
10.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
解　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，
又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，
所以曲线C的方程是＋＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5∶3，
∴设此时距A，B两岛的距离比为5∶3，
即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里．
设P(x，y)，B(2,0)，由|PB|＝3，
∴＝3，
∴x＝2，y＝±3，
∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3)．
11．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为(　　)
A. B．± C. D．±
答案　B
解析　根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
所以y0＝±，∴k＝＝±＝±.
12．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　由题意设椭圆方程为＋＝1，
得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，
由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值为4，
由e＝＝，
则b2＝4时，e取最大值，故选C.
13．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
答案　6
解析　由＋＝1可得，F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当x＝2时，·取得最大值6.
14．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________．
答案　
解析　方法一　设直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y得
＋(x＋t)2＝1，
整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，
∴－设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∴|AB|＝
＝
＝.
当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝.
方法二　根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x代入＋y2＝1得交点坐标为A和B，
故|AB|＝.
15．已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：
(1)球从F1沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，
这时第一次回到F1路程是2(a－c)；
(2)球从F1沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，
这时第一次回到F1路程是2(a＋c)；
(3)球从F1沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A，
反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B，
反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a.
综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时，
小球经过的最大路程是4a，最小路程是2(a－c)．
∴由题意可得4a＝7×2(a－c)，即5a＝7c，得＝.
∴椭圆的离心率为.
16．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程．
解　(1)∵椭圆过点，
∴＋＝1，
又e＝＝且a2＝b2＋c2，
解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)显然直线AB的斜率不为0，
设AB的方程为x＝ty－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
整理得(3t2＋4)y2－6ty－9＝0，
Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144t2＋144>0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
＝|F1F2||y1－y2|
＝|y1－y2|＝
＝＝＝，
解得t2＝1，
∴直线方程为x＝±y－1，
即y＝x＋1或y＝－x－1.

展开更多......

收起↑