资源简介

§3.1　椭　圆
3．1.1　椭圆及其标准方程
学习目标　1.理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.2.掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．
知识点一　椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点二　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝a2－c2
思考　能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
答案　能．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．
1．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　×　)
2．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(　×　)
3．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　×　)
4．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.(　√　)
一、求椭圆的标准方程
例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
解　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以解得
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a＝＋＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
反思感悟　确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解　(1)方法一　(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
二、椭圆的定义及其应用
例2　已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
所以＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
延伸探究
若将本例中“ ∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△PF1F2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝.
所以△PF1F2的面积S＝·|PF1|·|F1F2|＝××6＝，
即△PF1F2的面积是.
反思感悟　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
跟踪训练2　(1)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
答案　8
解析　由直线AB过椭圆的一个焦点F1，
知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，
又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.
(2)椭圆方程为＋＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若＝，求∠F1PF2的大小．
解　由已知得a＝2，b＝，c＝1，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，
则
①2－②得mn(1＋cos α)＝6，④
得＝，
即＝2，
∴tan ＝，
∴＝30°，α＝60°，
即∠F1PF2＝60°.
三、与椭圆有关的轨迹问题
例3　(1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为__________．
答案　x2＋＝1
解析　设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1.
所以＋＝1，即点Q的轨迹方程为x2＋＝1.
(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
解　设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，
其轨迹方程为＋＝1.
反思感悟　求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式；
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去．
跟踪训练3　在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．
解　以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
因为|AB|＝2，|AC|＝，
所以|BC|＝＝，
则2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4,2c＝|AB|＝2，
所以a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
所以曲线E的方程为＋＝1.
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　D
解析　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，
结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　椭圆方程可化为x2＋＝1，
由题意知解得k＝2.
3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
答案　D
解析　∵方程x2＋ky2＝2，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴>2，故04．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________．
答案　＋x2＝1
解析　由已知2a＝8,2c＝2，所以a＝4，c＝，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
5．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为__________．
答案　＋＝1
解析　如图，当P在y轴上时
△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
1．知识清单：
(1)椭圆的定义．
(2)椭圆的标准方程．
2．方法归纳：待定系数法、定义法、相关点法．
3．常见误区：
(1)忽视椭圆定义中a，c的条件．
(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程．
1．椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)
A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)
答案　C
解析　c2＝169－25＝144.c＝12，故选C.
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　由题意可得解得
故椭圆的方程为＋＝1.
3．“2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　B
解析　若方程＋＝1表示椭圆，则解得2所以“24．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．1
答案　B
解析　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，
故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
答案　B
解析　设椭圆的右焦点为F2，
由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，
所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，
故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．
6．已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．
答案　＋＝1
解析　设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，由题意可得∴故b2＝a2－c2＝3，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
7．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．
答案　4
解析　设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，
又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8，
又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝|ME|＝4.
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________．
答案　
解析　如图，由＋＝1，
知a2＝9，b2＝7，c2＝2.
所以a＝3，b＝，c＝.
所以|F1F2|＝2.
设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x.
因为∠AF1F2＝45°，
所以(6－x)2＝x2＋8－4x·.所以x＝.
所以＝×2××＝.
9．点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
解　设点M的坐标为(x，y)，d是点M到直线x＝8的距离，根据题意，得＝.两边平方，并化简得3x2＋4y2＝48，即＋＝1.
所以，点M的轨迹是椭圆．
10．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
解　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，
设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，
得y0＝±.
又＋y＝1，所以x＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，.
11．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　)
A．60° B．30° C．120° D．150°
答案　A
解析　由椭圆的定义得
|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，
∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，
∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝60°.
12．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　)
A．± B．± C．± D．±
答案　D
解析　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是3，
∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±.
∴点M的纵坐标为±.
13．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5 B．7
C．13 D．15
答案　B
解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，
从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
14．已知椭圆C： ＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|＋|BN|＝________.
答案　12
解析　取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
15．如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________.
答案　2
解析　设正三角形POF2的边长为c，则c2＝，
解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，
连接PF1(图略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2，
则|PF1|＝＝＝2，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2＋2，即a＝＋1，
所以b2＝a2－c2＝(＋1)2－4＝2.
16．如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为(0,1)，且满足BP∥x轴，·＝9，求椭圆C的方程．
解　由题意得A(0，－b)，
直线AB的方程为y＝x－b，
由P(0,1)且BP∥x轴，得B(1＋b，1)，
所以＝(1＋b，1＋b)，＝(0,1＋b)，
因为·＝9，故0＋(1＋b)2＝9，
因为b>0，于是b＝2，所以B(3,1)，
将B(3,1)代入椭圆＋＝1，
得＋＝1，解得a2＝12，
综上所述，椭圆C的方程为＋＝1.

展开更多......

收起↑