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章末复习
一、圆锥曲线的定义及标准方程
1．求圆锥曲线方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．
(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．
(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．
(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．
2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．
例1　(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
答案　C
解析　把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．
∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
(2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．
解　方法一　由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以x2＋(2y)2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
方法二　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，
由＝2，得x0＝x，y0＝2y，
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4，(*)
把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
反思感悟　(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
跟踪训练1　(1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
答案　x2－＝1
解析　由题意得解得则b2＝c2－a2＝3，
因此双曲线方程为x2－＝1.
(2)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．
解　抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
如图所示，
根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，
且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，
所以|PM|＋|PF|的最小值是4.
此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是.
二、圆锥曲线的几何性质
1．本类问题主要有两种考查类型：
(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点．
(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．
2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．
例2　(1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，
所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
(2)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
答案　x±y＝0
解析　设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝.
因为e1·e2＝，所以＝，即4＝，所以＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.
反思感悟　求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
跟踪训练2　(1)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则此椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，
所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，
故e＝＝.
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为_________．
答案　x±y＝0
解析　c2＝a2＋b2，①
由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，
双曲线过点，
即－＝1.②
由|FA|＝c，得c2＝a2＋，③
由①③得p2＝4b2.④
将④代入②，得＝2.
∴＝2，即＝1，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
三、直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式．
2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．
例3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
解　(1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d<1得|m|< .(*)
∴|CD|＝2＝2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝
＝.
由＝，得 ＝1，
解得m＝±，满足(*)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
反思感悟　(1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断．
(2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．
跟踪训练3　已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围．
解　(1)由椭圆的离心率为，得a＝c，
由A(2,0)，得a＝2，
∴c＝，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)由e＝，设椭圆方程为＋＝1，
联立得6y2－8y＋4－a2＝0，
若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，
则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．
设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
∴即
∴≤a2≤4，
故a的取值范围是.
四、圆锥曲线的综合问题
1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．
2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．
例4　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(2,2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．
解　(1)由抛物线C：y2＝2px经过点P(2，2)知4p＝4，解得p＝1.
则抛物线C的方程为y2＝2x.
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)由题意知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：x＝ty＋a，
由消去x，得y2－2ty－2a＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a.
因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，
解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－4.
所以－2a＝－4，解得a＝2.
所以直线AB：x＝ty＋2.
所以直线AB过定点(2,0)．
S△AOB＝×2×＝＝≥＝4.
当且仅当y1＝2，y2＝－2或y1＝－2，y2＝2时，等号成立．
所以△AOB面积的最小值为4.
反思感悟　(1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．
跟踪训练4　已知动圆P与圆O1：x2－x＋y2＝0内切，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过曲线C上一点M(2，y0)(y0>0)作两条直线l1，l2与曲线C分别交于不同的两点A，B，若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝1.证明：直线AB过定点．
(1)解　由题意可知，动圆圆心P到点的距离与到直线x＝－的距离相等，所以点P的轨迹是以为焦点，直线x＝－为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2＝2x.
(2)证明　易知M(2,2)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋b，
联立得y2－2my－2b＝0，
所以
所以
因为k1k2＝·＝1，
即y1y2－2(y1＋y2)＝x1x2－2(x1＋x2)，
所以b2－2b－4m2＋4m＝0，
所以(b－1)2＝(2m－1)2，
所以b＝2m或b＝－2m＋2.
当b＝－2m＋2时，直线AB的方程为x＝my－2m＋2过定点(2,2)与M重合，舍去；
当b＝2m时，直线AB的方程为x＝my＋2m过定点(0，－2)，所以直线AB过定点(0，－2)．
1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)
A．2sin 40° B．2cos 40°
C. D.
答案　D
解析　由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝
＝
＝＝.
2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．8
答案　D
解析　由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，
所以＝，解得p＝8，故选D.
3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.
4．(2019·北京)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．
(1)解　由题意，得b2＝1，c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线AP的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得点M的横坐标xM＝－.
又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝.
同理，|ON|＝.
由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|OM|·|ON|＝·
＝
＝2.
又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.
解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．

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