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艺术生高考2023年一轮复习数学讲义：考点十五 任意角的三角函数与弧度制
知识梳理
1．角的概念
(1)任意角：
①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始的射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点；
②角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
(3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为轴线角．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．弧度的单位符号是“rad”，读作“弧度”（用弧度制表示角时，rad常常省略不写）．
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.
3．任意角的三角函数
（1）单位圆定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)时，sin α＝v，cos α＝μ，tan α＝(x≠0)．
（2）比值式定义：设P(x，y)是角α终边上任意一点，且|OP|＝r(r＞0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.
注意：三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，设|OP|＝r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
（3）三角函数值在各象限的符号：
记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限三个三角函数都是正值，第二象限正弦值为正，其余两个为负值；第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦值为正值.
4．三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．则有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
注意：①三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)；②三角函数线是有向线段．
典例剖析
题型一 终边相同角的表示
例1　在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
答案　－675°或－315°
解析 所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
变式训练1 终边在直线y＝x上的角的集合为________．
答案　∵在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，
∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}．
变式训练2　已知角α为第三象限角，判断为第几象限角？
解析 ∵π＋2kπ<α<＋2kπ(k∈Z)，
∴＋kπ<<＋kπ(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ，
当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ，
∴为第二或第四象限角．
解题要点 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
题型二 三角函数的定义
例2　已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cosθ＝－，则sinθ＝_______，tanθ＝_______．
答案 －　
解析 cosθ＝＝－，解得x＝，故sinθ＝＝－，tanθ＝.
变式训练 已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为________.
答案　
解析　∵r＝，
∴cos α＝＝－，
∴m>0，∴＝，即m＝.
解题要点 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，应先需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.然后根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号．
题型三 三角函数值的符号判定
例3　若tan α>0，则________. (填序号)
sin α>0 　 ②cos α>0 ③sin 2α>0 ④cos 2α>0
答案　 ③
解析　排除法，取α= ，满足tan α>0，但cos 2α<0，否定④；
∵tan α＞0，∴α∈(k∈Z)是第一、三象限角．
∴sin α，cos α都可正、可负.
故选③．
变式训练 若sin αtan α<0，且<0，则角α是第________象限角
答案　三
解析　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而角α为第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而角α为第三或第四象限角，故角α为第三象限角．
解题要点 熟记三角函数在各象限内符号是解题的关键，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦” ．
题型四 扇形面积公式与弧度制
例4　已知一扇形的圆心角为α＝60°，所在圆的半径为R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积.
解析　设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝ (cm)，
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin ＝π－＝50 (cm2)．
变式训练 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
解析　设圆心角是θ，半径是r，则解得或(舍去)．
∴ 扇形的圆心角为.
解题要点 使用扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2时，应把角度化为弧度制，然后再利用公式求解．
当堂练习
1．与－525°的终边相同的角可表示为________.(填序号)
答案 195°＋k·360°(k∈Z)
解析 －525°＝195°－2·360°，α＝195°＋k·360° (k∈Z).
2．已知角α∈(－，0)，cosα＝，则tanα＝________.
答案 －
解析 ∵α∈(－，0)，cosα＝，∴sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－.
3. 已知cos θ·tan θ<0，那么角θ所在的象限是__________________.
答案 第三或第四象限角
解析 易知sin θ<0，且cos θ≠0，∴θ是第三或第四象限角.
4．下列三角函数值的符号判断错误的是________. (填序号)
① sin160°>0 ② cos290°>0 ③ tan170°>0　　 ④ tan300°<0
答案 ③
解析 ∵170°为第二象限角，∴tan 170°<0.
5．角－870°的终边所在的象限是________.
答案　第三象限
解析　由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限．
课后作业
填空题
1．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是________.
答案 －2
解析 r＝，由题意得＝－，∴x＝－2.
2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是________. (填序号)
①sinα＋cosα<0 ②tanα－sinα<0 ③cosα－tanα<0 ④tanαsinα<0
答案 ②
解析 在第三象限，sinα<0，cosα<0，tanα>0，则可排除①、③、④，故选②.
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则
cos 2θ＝________.
答案 －
解析 取终边上一点(a，2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，由tan θ＝2，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
4．将－300°化为弧度为________.
答案 －π
解析 －300×＝－π.
5．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________.
答案
解析 由题意可知圆内接正三角形的边长为R，则圆心角的弧度数为＝.
6．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且cosα＝x，则sin α等于________.
答案
解析 由三角函数的定义可知cosα＝x＝，因为α是第二象限角，所以x＜0，解得x＝－.所以cosα＝－，，所以sinα＝.
7．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝________.
答案 －
解析 根据题意，cos α＝＝－.
8．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为________.
答案 80π cm2
解析 ∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2)．
9．已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m，3m)(m>0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.
答案
解析 ∵|OP|＝＝5|m|＝5m(m>0)，
∴sin α＝＝，cos α＝＝－.
∴2sin α＋cos α＝2×－＝.
10．若角α的终边经过点P(1,2)，则sin2α的值是________．
答案
解析 ∵sinα＝，cosα＝，∴sin2α＝2××＝.
11．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.
答案 －8
解析 因为r＝＝，且sinθ＝－，所以sinθ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.
二、解答题
12．设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，－)，且cosα＝x，求sinα和tanα.
解析 ∵α为第四象限角，∴x＞0.
∴r＝ .
∴cosα＝＝＝x.
∴x＝.
∴r＝ ＝2.
∴sinα＝＝＝－，
tanα＝＝＝－.
13．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求扇形的圆心角的弧度数和弦长AB.
解析 设圆的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为α，则解得
∴圆心角α＝＝2.弦长AB＝2sin ·1＝2sin 1(cm)．

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