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艺术生高考2023年一轮复习数学讲义：考点十六 同角三角函数的关系式及诱导公式
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2.诱导公式
角函数 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限
统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，
对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
典例剖析
题型一 同角三角函数关系应用
例1　已知α是第二象限角，tan α＝－，则sin α＝________．
答案
解析 由解得sin α＝±.∵ α为第二象限角，∴ sin α>0，∴ sinα＝.
变式训练 已知α∈，sin α＝，则tan α＝________.
答案 －
解析 ∵α∈，∴cos α ＝－＝－，
∴tan α＝ ＝－.
例2　(1)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________.
(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝ .
答案 (1) (2)
解析 (1)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝
＝＝＝＝.
(2)sin θcos θ＝＝＝＝.
解题要点 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
(3)应熟练掌握齐次式问题求值，通过代数式变形，把所求值化为关于tan θ的齐次式，从而使问题得解.
题型二 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α “三姊妹”问题
例3　已知sin α＋cos α＝，且α∈；求
(1)sin α·cos α；
(2)sin α－cos α；
(3)tan α.
解析　(1)因为sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝()2，即2sin α·cos α＝－，所以sin α·cos α＝－.
(2) 由sin α·cos α＝－可得(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1＋＝，
又2sin α·cos α＝－<0,0<α<π，所以sin α>0，cos α<0，即sin α－cos α>0，
故sin α－cos α＝＝，
(3)由得所以tan α＝－.
变式训练 已知sin θ＋cos θ＝(0＜θ＜π)，求tan θ的值．
解析　将已知等式两边平方，得sin θcos θ＝－，∴＜θ＜π，
∴sin θ－cos θ＝＝＝.
解方程组得
∴tan θ＝＝.
解题要点 对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，基本解题策略是借助方程思想，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
题型三 三角函数诱导公式的应用
例4　(1) cos＝________．
(2) 已知cos＝，求cos＝________．
答案　 (1)－ (2) －
解析　(1) cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.
(2) ∵＋＝π，
∴－α＝π－.
∴cos＝cos＝－cos＝－，即cos＝－.
变式训练 化简：.
解析　原式＝＝＝＝－1.
解题要点 (1) 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2kπ＋α(k∈Z)，0≤α＜2π；② 转化为锐角．
(2)要善于观察角度间的关系，注意“整体思想”的运用，适当将角变形，如化π＋α为π＋或2π－．
(3)注意确定相应三角函数值的符号，另外切化弦是常用的规律技巧．
当堂练习
1．已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝________．
答案 －
解析 ∵α是第二象限角，∴cosα＝－＝－＝－.
2．若cosα＝，α∈(－，0)，则tanα等于________．
答案
解析 由已知得sinα＝－＝－＝－，
∴tanα＝＝－2.
3. 已知α是第四象限角，tan(π－α)＝，则sinα等于________．
答案 －
解析 由诱导公式可得：tan(π－α)＝－tanα，∴tanα＝－，∴＝－，
又∵sin2＋cos2α＝1，α是第四象限角，∴sinα＝－.
4．若tanα＝3，则的值等于________．
答案 6
解析 ＝＝＝2tanα＝6.
5．已知sin 2α＝－，α∈，则sin α＋cosα等于________．
答案
解析 (sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，又α∈，sinα＋cosα>0，
所以sinα＋cosα＝.
课后作业
填空题
1． tan150°的值为________．
答案 －
解析 tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－.
2．已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝________．
答案 －
解析 由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－.
3．已知cos α＝－，角α是第二象限角，则tan(2π－α)等于________．
答案
解析 ∵cos α＝－，α是第二象限角，
∴sin α＝＝，
∴tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.
4．α是第一象限角，tanα＝，则sinα＝________．
答案
解析 tanα＝＝，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sinα＝.
5．若cosα＝，α∈，则tanα等于________．
答案 －2
解析 由已知得sinα＝－＝－＝－，∴tanα＝＝－2.
6．若＝，则tan2α等于________．
答案
解析 ∵＝＝，∴tanα＝－3.∴tan2α＝＝.
7．已知sinθ＋cosθ＝，则sinθ－cosθ的值为________．
答案 －
解析 ∵sinθ＋cosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝，∴sin2θ＝，又0<θ<，∴sinθ8．已知tanθ＝2，则＝________．
答案 －2
解析 ＝＝＝＝＝－2.
9．如果sin(π＋A)＝，那么cos(π－A)的值是________．
答案
解析 ∵sin(π＋A)＝，∴－sinA＝.∴cos(π－A)＝－sinA＝.
10．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝__________.
答案 －
解析 ∵sinθ<0，tanθ>0，∴θ为第三象限角，∴cosθ＝－＝－.
11．设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝________.
答案 －
解析 tan(θ＋)＝＝，解得tanθ＝－，又θ位于第二象限得sinθ＝，cosθ＝－，所以sinθ＋cosθ＝－.
二、解答题
12． 若tanα＋＝3，计算下列各式的值：
(1) sinαcosα;
(2) tan2α＋.
解析 (1)∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3.∴sinαcosα＝.
(2) tan2α＋＝2－2tanα·＝9－2＝7.
13．已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，求tanθ的值．
解析 由sinθ＋cosθ＝，
两边平方得sinθ·cosθ＝－，
∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1＋＝＝2.
∵θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝(－1)<1，
∴θ∈，∴sinθ－cosθ>0，
∴sinθ－cosθ＝.由得sinθ＝，cosθ＝－.
∴tanθ＝－.

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