资源简介

椭圆的几何性质
【学习目标】
1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质
2．掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法
【学习重难点】
1．椭圆的几何性质
2．如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质
【学习过程】
一、自主学习训练：
1．椭圆定义：
2．标准方程：
3．问题：
（1）椭圆曲线的几何意义是什么？

（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？
（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？
（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？的几何意义各是什么？
（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？
（6）画椭圆草图的方法是怎样的？
4．由椭圆方程() 研究椭圆的性质。(利用方程研究，说明结论与由图形观察一致)
（1）范围：
从标准方程得出，，即有，，可知椭圆落在组成的矩形中。
（2）对称性：
把方程中的换成方程不变，图象关于轴对称。换成方程不变，图象关于轴对称。把同时换成方程也不变，图象关于原点对称。
如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称。
原点叫椭圆的 ，简称中心。轴、轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
在椭圆的方程里，令得，因此椭圆和轴有两个交点，它们是椭圆的顶点
令，得，因此椭圆和轴有两个交，它们也是椭圆的顶点 因此椭圆共有四个顶点： ，
加两焦点共有六个特殊点。
叫椭圆的 ，叫椭圆的 。长分别为
分别为椭圆的 和 。椭圆的 即为椭圆与对称轴的交点。
至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围， 对称性， 顶点。因而只需少量描点就可以较正确的作图了。
（4）离心率：
发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同
这种扁平性质由什么来决定呢？
概念：
定义式：
范围：
考察椭圆形状与的关系：
，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例
椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例
二、合作探究：
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形。
0 1 2 3 4 5
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：
例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：
（1）　　（2）
例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：
（1）　　　（2）
三、课堂练习：
1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为：两段，求其离心率
2．如图，求椭圆，()内接正方形ABCD的面积
四、课堂小结
我的收获：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法
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