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第二节　两直线的位置关系
(1)能根据斜率判定两条直线平行或垂直；(2)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；(3)探索并掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．　
重点一　两条直线平行和垂直的判定
1．两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2；
(2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2．
2．两条直线垂直
(1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1k2＝－1；
(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．
[注意]　在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形.
[逐点清]
1．(选择性必修第一册57页例4改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________．
解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1．
答案：0或1
2．(选择性必修第一册56页例2改编)若直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________．
解析：因为直线l1的斜率k1＝－1，l1∥l2，所以a2＝1，且a≠－1，所以a＝1．
答案：1
重点二　两直线相交
1．交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
2．相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解．
3．平行 方程组无解．
4．重合 方程组有无数个解．
[逐点清]
3．(易错题)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
解析：由得所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9．
答案：－9
重点三　三种距离公式
1．两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝．
2．点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
3．两条平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．
[逐点清]
4．(易错题)已知点(a,2)到直线x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________．
解析：由题意得＝1．解得a＝－1＋或a＝－1－．
答案：－1±
[记结论]
1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；
(2)平行：Ax＋By＋n＝0．
2．与对称问题相关的四个结论
(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)；
(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)；
(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
[提速度]
1．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点(　　)
A．(0,4)　 B．(0,2)　　
C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：B　直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，由结论2可知，点(4,0)关于(2,1)对称的点为(0,2)，故直线l2恒过定点(0,2)．
2．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．
解析：由结论2可知，对称点为(1－5,1－2)，即(－4，－1)．
答案：(－4，－1)
两条直线的位置关系
1．“m＝2”是“直线2x＋my＋1＝0与直线mx＋2y－1＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
解析：D　因为直线2x＋my＋1＝0与直线mx＋2y－1＝0平行等价于2×2－m2＝0且2×(－1)－m≠0，即m＝2，所以“m＝2”是“直线2x＋my＋1＝0与直线mx＋2y－1＝0平行”的充要条件．故选D．
2．已知直线l1：ax＋by＋1＝0与l2：2x＋y－1＝0互相垂直，且l1经过点(－1，0)，则b＝________．
解析：由于l1经过点(－1, 0)，可得a＝1．又直线l1与l2互相垂直，∴l1的斜率必存在且为k1＝－，又k2＝－2，∴－×(－2)＝－1，解得b＝－2．
答案：－2
3．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0，则l1与l2的位置关系是________．(填“平行”“相交”或“垂直”)
解析：假设l1∥l2，则k1＝k2，代入k1k2＋2＝0中得k＋2＝0，这与k1为实数相矛盾，从而k1≠k2，即l1不平行于l2．假设l1⊥l2，则k1k2＝－1，即k1k2＋1＝0，这与已知条件k1k2＋2＝0矛盾，故l1不垂直于l2，故满足k1k2＋2＝0的两直线l1与l2在同一直角坐标平面内相交．
答案：相交
1．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．　
两直线的交点及距离问题
　(1)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1　　　　　　　　 B．
C． D．2
(2)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
[解析]　(1)记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1,0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B．
(2)因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为．
[答案]　(1)B　(2)
求解距离问题的思路
(1)点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式；
(2)两平行线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．　
1．已知点P(1,2)，则当点P到直线2ax＋y－4＝0的距离最大时，a＝(　　)
A．1 B．－
C． D．
解析：B　因为直线恒过定点A(0,4)，则当PA与直线垂直时，点P到直线的距离达到最大值，此时过点P，A的直线的斜率为－2，所以直线2ax＋y－4＝0的斜率为，即－2a＝，所以a＝－．故选B．
2．若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第三象限，则实数m的取值范围是________．
解析：由得所以两直线的交点坐标为．又此交点在第三象限，所以解得m＜－，所以实数m的取值范围是．
答案：
对称问题
　(1)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________；
(2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为____________．
[解析]　(1)设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，因为P(0,1)也在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0．
(2)设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0．又反射光线经过点N(2,6)，所以反射光线所在直线的方程为6x－y－6＝0．
[答案]　(1)x＋4y－4＝0　(2)6x－y－6＝0
解决对称问题的策略
(1)线关于点对称的求解方法：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(2)线关于点对称的实质：“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．　
1．光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有(　　)
A．a＝，b＝6 B．a＝－3，b＝
C．a＝3，b＝－ D．a＝－，b＝－6
解析：D　由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点(0,2)关于直线y＝－x的对称点(－2,0)在直线y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6,0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－．
2．直线x－2y－3＝0关于定点M(－2,1)对称的直线方程是________________．
解析：设所求直线上任一点(x，y)，则关于M(－2,1)的对称点(－4－x,2－y)在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0．
答案：x－2y＋11＝0
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A　当a＝1时，直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0的斜率为－3，直线ax－3y＋3＝0的斜率为，两直线垂直；当a＝0时，两直线也垂直，所以“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的充分不必要的条件，故选A．
2．点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(　　)
A．(1,0)　　　　　　　　 B．(0,1)
C．(0，－1) D．(2,1)
解析：B　设点A(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是B(a，b)，则有解得a＝0，b＝1，故点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(0,1)，故选B．
3．点P(cos θ，sin θ)到直线3x＋4y－12＝0的距离的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　由点到直线距离公式得点P到直线的距离为d＝＝，其中sin φ＝，cos φ＝，由三角函数性质易知，5sin(θ＋φ)－12∈[－17，－7]，故d∈，故选C．
4．(2022·南昌二模)直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则k的取值范围是(　　)
A．(－2,2) B．(－，)
C．(－1,1) D．
解析：D　直线l：y＝k(x＋2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则原点到直线的距离小于1，所以＜1，解得－＜k＜．故选D．
5．(2022·滕州三模)若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C．2 D．2
解析：A　由解得把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0，可得m＋2n＋5＝0，∴m＝－5－2n．∴点(m，n)与原点之间的距离d＝＝＝≥，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)与原点之间的距离的最小值为，故选A．
6．(多选)已知直线l经过点(3,4)，且点A(－2,2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为(　　)
A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0 D．2x－3y＋6＝0
解析：AB　当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0．由已知得＝，所以k＝2或k＝－，所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0．故选A、B．
7．(多选)已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0．若l1，l2，l3三条直线构不成三角形，则m的值可能为(　　)
A． B．－
C．－ D．
解析：ABC　当m＝时，直线l1与l3平行，故三条直线构不成三角形；当m＝－时，直线l2与l3平行，故三条直线构不成三角形；当m＝－时，l1，l2，l3交于同一点，故三条直线也构不成三角形；当m＝时，三条直线两两相交，且不过同一点，故三条直线能构成三角形，不合题意．
8．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．
解析：设A(x,0)，B(0，y)，∵AB的中点P(2，－1)，∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝＝2．
答案：2
9．已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则＋的最小值为________．
解析：∵动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a＋bm＋c－3＝0．又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，∴＝3，解得m＝0．∴a＋c＝3．则＋＝(a＋c)＝≥＝，当且仅当c＝2a＝2时取等号．
答案：
10．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大．
解：(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，
则解得
所以C′(－1,1)，所以直线AC′的方程为y＝1．
由得直线AC′与直线l的交点为P，此时|AP|＋|CP|取最小值．
(2)如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，
则解得
所以B′(3,3)，所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，
由得直线AB′与直线l的交点为Q(2,5)，
此时||AQ|－|BQ||取最大值．
B级——综合应用
11．设直线l：3x＋2y－6＝0，P(m，n)为直线l上动点，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　(m－1)2＋n2表示点P(m，n)到点A(1,0)距离的平方，该距离的最小值为点A(1,0)到直线l的距离，即＝，则(m－1)2＋n2的最小值为．故选A．
12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤3，若将军从点A(3,1)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
A．－ B．
C．2－ D．2
解析：C　设点A关于直线x＋y＝5的对称点为A′(a，b)．根据题意，A′O－为最短距离，先求出A′的坐标．AA′的中点为，直线AA′的斜率为1，故直线AA′的方程为y－1＝x－3，即y＝x－2．联立解得a＝4，b＝2，∴A′(4,2)，则A′O＝＝2，故A′O－＝2－，则“将军饮马”的最短总路程为2－．故选C．
13．(2022·菏泽质检)已知直线l1：kx＋y－1＝0，l2：x＋ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝________；若曲线：y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是________．
解析：因为l1∥l2，所以k2－1＝0，即k＝±1，经检验k＝1；y＝|x|＝直线l1化为y＝－kx＋1，恒过点(0,1)，画出函数图象，如图，因为曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，所以－k＝0或0＜－k＜1或－1＜－k＜0，即－1＜k＜1．
答案：1　(－1,1)
14．已知直线l：(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0．
(1)m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？
(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)直线方程可化为(2x＋y＋4)－m(x－2y－3)＝0，令解得故直线l恒过定点P(－1，－2)，
由点Q(3,4)到直线的距离最大，
可知点Q与定点P的连线的距离就是所求最大值，
即＝2为最大值．
∵kPQ＝＝，
∴(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0的斜率为－，可得－＝－，解得m＝．
(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，
∵直线l恒过定点P(－1，－2)，∴直线l的方程可设为y＋2＝k(x＋1)，k＜0，则A，B(0，k－2)，
S△AOB＝|k－2|＝(2－k)＝2＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即k＝－2时取等号，故△AOB面积的最小值为4．
此时直线l的方程为2x＋y＋4＝0．
C级——迁移创新
15．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2．以下命题不正确的是(　　)
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
解析：BCD　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P2不一定与l垂直，错误；对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
16．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A，B)为ρ(A，B)＝|x2－x1|＋|y2－y1|．对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若点C(x，y)是平面xOy上的点，试证明：ρ(A，C)＋ρ(C，B)≥ρ(A，B)；
(2)若A，B两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面xOy上是否存在点C(x，y)，同时满足：①ρ(A，C)＋ρ(C，B)＝ρ(A，B)；②ρ(A，C)＝ρ(C，B)？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由绝对值不等式知，ρ(A，C)＋ρ(C，B)＝|x－x1|＋|x2－x|＋|y－y1|＋|y2－y|≥|(x－x1)＋(x2－x)|＋|(y－y1)＋(y2－y)|＝|x2－x1|＋|y2－y1|＝ρ(A，B)．
当且仅当(x－x1)(x2－x)≥0，(y－y1)(y2－y)≥0时等号成立，即A，B，C三点共线时等号成立．
(2)∵点A(x1，y1)与点B(x2，y2)是在同一条平行于坐标轴的直线上的两个不同的点，可分下列两种情况讨论：
(Ⅰ)若x1＝x2，则y1≠y2，由条件①，得|x－x1|＋|y－y1|＋|x2－x|＋|y2－y|＝|x2－x1|＋|y2－y1|，
∴2|x－x1|＋|y2－y1|＝|y2－y1|，∴|x－x1|＝0，
∴x＝x1．
由条件②，得|x－x1|＋|y－y1|＝|x2－x|＋|y2－y|，
∴|y－y1|＝|y－y2|，∴y＝．
因此，所求的点C．
(Ⅱ)若y1＝y2，则x1≠x2，类似于(Ⅰ)，可得符合条件的点C．

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