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第六节　双曲线
(1)了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质；(3)通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．　
重点一　双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
[注意]　 1 当|PF1|－|PF2|＝2a 2a＜|F1F2| 时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支；当|PF1|－|PF2|＝－2a 2a＜|F1F2| 时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支； 2 若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
[逐点清]
1．(易错题)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是____________．
解析：由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1(y<0)．
答案：双曲线－＝1(y<0)
重点二　双曲线的标准方程
1．中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
2．中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
[注意]　在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负：若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”．
[逐点清]
2．(选择性必修第一册121页练习1题改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为____________．
解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为－＝1．
答案：－＝1
重点三　双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝＝ ∈(1，＋∞)；e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 a2＝c2－b2
[逐点清]
3．(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
解析：双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝．
答案：(3,0)　
[记结论]
1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
4．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
[提速度]
1．与双曲线 －y2＝1有相同渐近线， 且与椭圆 ＋＝1有共同焦点的双曲线方程是(　　)
A．－＝1　　　　　 　 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：B　由结论2，可设双曲线为y2－＝λ，故2λ＋λ＝6，λ＝2，所以所求双曲线方程为－＝1．
2．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点 F作垂直于 x轴的直线，交双曲线于 A, B两点， O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e＝________．
解析：若△OAB为等腰直角三角形，依结论1可得c＝，即ac＝c2－a2，可得e2－e－1＝0，e>1，解得e＝．
答案：
双曲线的定义及应用
1．(2022·滨州质检)－＝4表示的曲线方程为(　　)
A．－＝1(x≤－2)　　 B．－＝1(x≥2)
C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)
解析：C　的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离， 的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则－＝4表示点M(x，y)到点F1(0,3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4<|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则－＝4表示的曲线方程为－＝1(y≤－2)，故选C．
2．(2022·广州模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A．x±y＝0 B．2x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：C　∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a．在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos 60°＝，即＝，∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又b2＋a2＝c2，∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故选C．
3．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9(当A，P，H三点共线时取等号)．
答案：9
1．利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．　
双曲线的标准方程
　(2021·北京高考)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
[解析]　∵e＝＝2，则c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此双曲线的方程为x2－＝1．故选A．
[答案]　A
求双曲线标准方程的常用方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)；
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
[注意]　求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m·n<0)求解．　
　已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆F：(x－2)2＋y2＝3相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的方程为________．
解析：双曲线渐近线方程为y＝±x，由双曲线渐近线与圆F：(x－2)2＋y2＝3相切，可得＝＝，又双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，所以c＝2，故b＝，a＝1，所以双曲线的方程为x2－＝1．
答案：x2－＝1
双曲线的几何性质
考向1　双曲线的离心率问题
　(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝．
[答案]　A
求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e；
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化为关于e的方程(不等式)求解．　
考向2　双曲线的渐近线问题
　(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为__________．
[解析]　＝＝＝，故双曲线C的渐近线方程为：y＝±x．
[答案]　y＝±x
求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令－＝0，得y＝±x．反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)．　
考向3　几何性质的综合应用
　(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
[解析]　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x．因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B．
[答案]　B
1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．
2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解；
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．　
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则此双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．[2，＋∞)
C．(1，] D．[，＋∞)
解析：B　当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP(图略)，因为OP为△PF1F2的边F1F2上的中线，所以＝(＋)；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式．因为双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，所以4||≤2c，由||≥a，所以a≤||≤，所以a≤，所以e≥2．故选B．
2．已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，求C的离心率．
解：设B(c，yB)，因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以y＝．因为AB的斜率为3，所以yB＝，＝3，所以b2＝3ac－3a2，所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a，所以C的离心率e＝＝2．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．“方程－＝1表示双曲线”的一个必要不充分条件为(　　)
A．m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．m∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．m∈(－∞，－2)
D．m∈(1，＋∞)
解析：A　由方程－＝1表示双曲线，知(m－1)·(m＋2)＞0，∴m∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)，故它的一个必要不充分条件为m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选A．
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为x±y＝0，则该双曲线实轴长为(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．1
C． D．2
解析：A　由题意知，渐近线方程为y＝±x，则＝，又焦点为F(2,0)，即c＝2，所以c2＝a2＋b2＝4a2＝4，则a2＝1，即a＝1或－1(舍去)，所以实轴长为2a＝2，故选A．
3．设双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan ∠PF2F1＝(　　)
A． B．
C．2 D．
解析：A　易知c2＝25a2，则c＝5a，|F1F2|＝2c＝10a．因为P为C右支上的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a．因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，则(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝100a2，解得|PF2|＝6a(负值舍去)，所以|PF1|＝8a，故tan∠PF2F1＝＝．故选A．
4．(2020·浙江高考)已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3图象上的点，则|OP|＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　由|PA|－|PB|＝2<|AB|＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)，又y＝3，所以x2＝，y2＝，所以|OP|＝＝ ＝，故选D．
5．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，则下列结论正确的有(　　)
A．m＝2
B．当n＝0时，C的离心率是2
C．F1到渐近线的距离随着n的增大而减小
D．当n＝1时，C的实轴长是虚轴长的两倍
解析：AC　对于选项A：由双曲线的方程可得a2＝m＋n，b2＝m－n，所以c2＝a2＋b2＝m＋n＋m－n＝2m，因为2c＝4，所以c＝2，所以c2＝2m＝4，可得m＝2，故选项A正确；对于选项B：当n＝0时，双曲线C：－＝1，此时a2＝b2＝2，c2＝4，所以离心率e＝＝，故选项B不正确；对于选项C：双曲线C：－＝1中，由选项A知：m＝2，a2＝2＋n，b2＝2－n，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，不妨取焦点F1(－2,0)，则F1到渐近线的距离d＝＝b＝，所以F1到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确；对于选项D：当n＝1时，a＝＝，b＝＝1，所以实轴长为2，虚轴长为2，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确．故选A、C．
6．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则(　　)
A．b＝2 B．C的焦距为2
C．C的离心率为 D．△ABF1的面积为4
解析：ACD　设|AF2|＝t，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝t，离心率e＝＝，选项C正确．因此 ＝，b＝2，选项A正确．|F1F2|＝2＝2，选项B错误．△ABF1的面积为|F1F2|＝4，选项D正确．故选A、C、D．
7．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，|PF|－|PO|＝2a，则双曲线C的离心率的取值范围是________．
解析：设双曲线C的右焦点为F1，由双曲线的定义可知|PF|－|PF1|＝2a，又|PF|－|PO|＝2a，所以|PO|＝|PF1|，即点P在OF1的垂直平分线上，所以P点的横坐标为，因为点P在双曲线上，显然有≥a，即e＝≥2，所以离心率e的取值范围是[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
8．已知点A在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，点O是坐标原点，直线OA的斜率为，若线段OA的垂直平分线经过双曲线的顶点，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：不妨设点A在第一象限，此时线段OA的垂直平分线经过双曲线的右顶点B(a,0)，如图所示，连接AB，则|AB|＝|OB|＝a，根据直线OA的斜率为，可得直线OA的倾斜角为30°，所以直线AB的倾斜角为60°，所以点A，又由点A在双曲线－＝1上，可得－＝1，可得3a2＝5b2，即＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x．
答案：y＝±x
9．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为(，0)，一条渐近线方程为2x－y＝0．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知倾斜角为的直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，求直线l的方程．
解：(1)由焦点可知c＝，
又一条渐近线方程为2x－y＝0，所以＝2，
由c2＝a2＋b2可得5＝a2＋4a2，解得a2＝1，b2＝4，
故双曲线C的标准方程为x2－＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点的坐标为(x0,4)，
则x－＝1，①
x－＝1，②
②－①得x－x＝－，
即k＝＝＝x0，又k＝tan＝－1，所以x0＝－1，所以直线l的方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0．
B级——综合应用
10．(多选)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是(　　)
A．＝2 B．e1e2＝
C．e＋e＝ D．e－e＝1
解析：BD　因为·＝0且||＝||，所以△MF1F2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝．在三角形PF1F2中，∠F1PF2＝，设PF1＝x，PF2＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，则故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，所以(a′)2＝，即e2＝，故＝，e1e2＝，e＋e＝2，e－e＝1，故选B、D．
11．已知双曲线C：－＝1(k＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k＝________；若点P在双曲线C上，且cos∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积为________．
解析：由题意，知2c＝10，所以c＝5，所以k＋5＝25，所以k＝20．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝4　①．在△F1PF2中，由余弦定理，知m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝100　②．由①②及cos∠F1PF2＝得mn＝30．又sin∠F1PF2＝＝，所以S＝mnsin∠F1PF2＝5．
答案：20　5
12．试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程____________．
解析：∵渐近线方程为2x±y＝0，设双曲线方程为4x2－y2＝λ，λ≠0，∴双曲线的方程为x2－＝1(或其他以y＝±2x为渐近线的双曲线方程)．
答案：x2－＝1(或其他以y＝±2x为渐近线的双曲线方程)
13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx交双曲线C于M，N两点．
(1)若M(2,3)，四边形MF1NF2的面积为12，求双曲线C的方程；
(2)若≤k≤，且四边形MF1NF2是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围．
解：(1)因为直线y＝kx交双曲线C于M，N两点，
所以M，N两点关于原点对称，从而四边形MF1NF2是平行四边形，
设双曲线C的焦距为2c，则四边形MF1NF2的面积S＝2××2c×3＝12，解得c＝2，
从而F1(－2,0)，F2(2,0)，所以|MF2|＝＝3，|MF1|＝＝5，
于是2a＝|MF1|－|MF2|＝2，解得a＝1，所以b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)设M(x1，y1)，则N(－x1，－y1)．
由得－x2＝x2＝1．
因为·＝(x1＋c，kx1)·(－x1＋c，－kx1)＝c2－(k2＋1)x＝0，
所以c2－(k2＋1)＝0，化简得k2＝．
因为≤k2≤3，所以≤≤3．
由≤3得e4－8e2＋4≤0，解得1＜e≤＋1；
由≤得3e4－8e2＋4≥0，解得e≥．
因此，e的取值范围为[，＋1]．
C级——迁移创新
14．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)
A．(1,2)　　 B．(1,3)
C．(3，＋∞)　 D．(2,3)
解析：A　在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以
|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，得3a＋a＞2c，即2a＞c，所以e＝＜2，又e＞1，所以1＜e＜2，故选A．
15．(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
解：(1)因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由得(16－k)x2－2k1x－2－16＝0．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知16－k≠0，
则xAxB＝，xA＋xB＝，
所以|TA|＝＝，
|TB|＝＝，
则|TA|·|TB|＝(1＋k)
＝(1＋k)
＝(1＋k)
＝．
同理得|TP|·|TQ|＝．
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以＝，所以k－16＋kk－16k＝k－16＋kk－16k，即k＝k，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0．
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．

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