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第三节　圆的方程
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．　
重点一　圆的定义与方程
[注意]　当D2＋E2－4F>0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，它不表示任何图形.
[逐点清]
1．(选择性必修第一册86页例4改编)已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0，则圆C的圆心坐标和半径分别为(　　)
A．(－2,3)，16　　　　　　 B．(2，－3)，16
C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，4
解析：D　因为x2＋y2－4x＋6y－3＝0等价于(x－2)2＋(y＋3)2＝16．故圆心为(2，－3)，半径为4．
2．(易错题)半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为______________________．
解析：由题意知圆心坐标为(3,3)或(－3，－3)，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9．
答案：(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9
重点二　点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设点M的坐标为(x0，y0)．
[逐点清]
3．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是________．
解析：∵点(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－＜m＜．
答案：(－，)
[记结论]
1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
[提速度]
1．以A(3，－1)，B(－2,2)为直径的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2－x－y－8＝0
B．x2＋y2－x－y－9＝0
C．x2＋y2＋x＋y－8＝0
D．x2＋y2＋x＋y－9＝0
解析：A　由结论2得，圆的方程为(x－3)(x＋2)＋(y＋1)·(y－2)＝0，整理得x2＋y2－x－y－8＝0，故选A．
2．设A为圆x2＋y2－2x＝0上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是(　　)
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2
C．y2＝2x D．y2＝－2x
解析：B　圆x2＋y2－2x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，由题意可得圆心(1,0)到P点的距离为，所以点P在以(1,0)为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2．故选B．
3．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
解析：因为该方程表示圆，由结论1得D2＋E2－4F＝a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4<0，所以－2答案：
求圆的方程
1．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：B　因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝，故选B．
2．圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解析：C　设圆心坐标为(t,0)，因为圆心在x轴上且圆与y轴相切，所以|t|即为半径，则根据题意得＝|t|，解得t＝－5，所以圆心坐标为(－5,0)，半径为5，该圆的方程是(x＋5)2＋y2＝25，展开得x2＋y2＋10x＝0．故选C．
3．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(2,7)，则圆C的标准方程为__________．
解析：如图所示，由圆心C(0，m)与切点A的连线与直线垂直，得＝－，解得m＝8．所以圆心为(0,8)，半径为r＝＝．所以圆C的标准方程为x2＋(y－8)2＝5．
答案：x2＋(y－8)2＝5
求圆的方程的两种方法
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．　
与圆有关的轨迹问题
　(1)长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＋＝1 B．－＝1
C．y2＝16x D．x2＋y2＝25
(2)点A(3,0)为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，则点M的轨迹方程为____________．
[解析]　(1)由题意，设A (x0,0)，B(0，y0)，则x＋y＝100，设M(x，y)，即x＝，y＝，有x0＝2x，y0＝2y，所以(2x)2＋(2y)2＝100，得x2＋y2＝25．
(2)设点M(x，y)，因为M为线段AP的中点，点A(3,0)，所以P(2x－3,2y)，因为P为圆x2＋y2＝1上任意一点，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1，化简得2＋y2＝，所以点M的轨迹方程为2＋y2＝．
[答案]　(1)D　(2)2＋y2＝
求解与圆有关的轨迹的四种方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法：也叫代点转移法，即找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式化简得方程．　
　圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：D　由题意得P(x，y)，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P在6x－8y－21＝0上．
与圆有关的最值问题
考向1　借助几何性质求最值
　已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值；
(3)求 的最大值和最小值．
[解]　(1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－．
(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1．
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1．
(3)＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值为－1．
把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：
(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．　
考向2　建立函数关系求最值
　(2022·重庆模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________．
[解析]　由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－
3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12．
[答案]　12
根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值．　
1．已知两点A(－1,0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)
A．2，(4－) B．(4＋)，(4－)
C．，4－ D．(＋2)，(－2)
解析：B　
如图，圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离d＝，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是＋1，最小值是－1．又|AB|＝，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋，2－．故选B．
2．设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为________．
解析：由题意，知＝(－x,2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|＋|＝＝2．由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|＋|的值最大，最大值为2＝10．
答案：10
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
解析：A　圆心为(2,1)且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A．
2．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A　方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆，则有D2＋E2－4F＝a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，则“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要条件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A．
3．(2022·黄冈模拟)若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为(　　)
A．8　　　 B．4
C．2　　 D．5
解析：C　设2x＋y＝t，则y＝t－2x，当直线y＝t－2x与x2＋y2＝8相切时，t取到最值，所以≤2，解得－2≤t≤2，所以2x＋y的最大值为2，故选C．
4．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是(　　)
A．(0,2]　 B．[1,2]
C．[2,3]　 D．[1,3]
解析：D　圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1的圆心C(，1)，半径为1，因为圆心C到O(0,0)的距离为2，所以圆C上的点到O(0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB＝90°，则以AB为直径的圆和圆C有交点，可得|PO|＝|AB|＝t，所以有1≤t≤3，故选D．
5．(2022·青岛质检)点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为(　　)
A．2 B．
C．2＋1 D．＋1
解析：D　整理直线方程得：(x＋y－2)＋(3x＋2y－5)λ＝0，由得∴P(1,1)，由圆的方程知圆心C(－2，－1)，半径r＝1，∴|MP|max＝|CP|＋r＝＋1＝＋1．故选D．
6．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有(　　)
A．关于点(2,0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
解析：ABC　x2＋y2－4x－1＝0 (x－2)2＋y2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以本选项正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A、B、C．
7．(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为(　　)
A．x2＋2＝ B．x2＋2＝
C．(x－)2＋y2＝ D．(x＋)2＋y2＝
解析：AB　由题意知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心C(0，a), 半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝．
8．(2022·东莞模拟)已知三个点A(0,0)，B(2,0)，C(4，2)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是________．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得所以圆的方程为x2－2x＋y2－6y＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．
答案：(1,3)
9．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是________．
解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C(2，1)，半径r＝2，圆心C到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝3，设P到直线AB的距离为h，则S△ABP＝·|AB|·h＝h，∵d－r≤h≤d＋r，∴1≤h≤5，∴S△ABP∈[1,5]，即△ABP的面积的取值范围为[1,5]．
答案：[1,5]
10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．
所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0．
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0．①
又直径|CD|＝4，
所以|PA|＝2．
所以(a＋1)2＋b2＝40．②
由①②解得或
所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)，
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．
B级——综合应用
11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是(　　)
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－2,0) D．(0，－2)
解析：D　∵A(－4,0)，B(0,4)，∴AB的垂直平分线方程为x＋y＝0，又外心在欧拉线x－y＋2＝0上，联立解得三角形ABC的外心为G(－1,1)，又r＝|GA|＝＝，∴△ABC外接圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝10．设C(x，y)，则三角形ABC的重心在欧拉线上，即－＋2＝0．整理得x－y－2＝0．联立解得或∴顶点C的坐标可以是(0，－2)．故选D．
12．写出一个关于直线x＋y－1＝0对称的圆的方程____________．
解析：设圆心坐标为C(a，b)，因为圆C关于x＋y－1＝0对称，所以C(a，b)在直线x＋y－1＝0上，则a＋b－1＝0，取a＝1 b＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x－1)2＋y2＝1．
答案：(x－1)2＋y2＝1(答案不唯一)
13．已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是____________________；又若·＝0，此时△MAB的面积为________．
解析：设M(x，y)，由|MA|＝2|MB|，得＝2，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0．以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，联立解得|y|＝．即M点的纵坐标的绝对值为．此时△MAB的面积为S＝×4×＝．
答案：3x2＋3y2－20x＋12＝0　
14．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：圆C：x2＋(y－4)2＝42，故圆心为C(0,4)，半径为4．(1)当C，M，P三点均不重合时，∠CMP＝90°，所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P，C)，线段PC中点为(1,3)，|PC|＝＝，故M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2(x≠2，且y≠2或x≠0，且y≠4)．当C，M，P三点中有重合的情形时，易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2．
(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．
法一(几何法)：由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，故直线l的方程为y＝－x＋，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝2，点O到直线l的距离为＝，|PM|＝ 2＝，所以△POM的面积为××＝．
法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝2得x2＋y2＝8，
联立方程组
①－②得直线l方程为x＋3y－8＝0，将x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝，y2＝2．从而x1＝－，x2＝2．所以M点坐标为，
|PM|＝ ＝．
又点O到l距离d＝＝，
所以△POM的面积S＝|PM|·d
＝××＝．
C级——迁移创新
15．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　)
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
解析：ABD　圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选A、B、D．
16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T两侧．
(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l的斜率的取值范围；
(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5) ＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．
解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，
因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，
则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，
解得－1(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·<0，
故点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，如图所示，
设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，
故∠AOB＝，
因此，所求面积为S＝··22＋··22＝＋．

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