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第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．　
重点一　直线与圆的位置关系(圆的半径为r，圆心到直线的距离为d)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0
几何观点 d＞r d＝r d＜r
[逐点清]
1．(选择性必修第一册93页练习1题改编)直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1．
答案： [－3,1]
2．(选择性必修第一册92页例2改编)已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为______________．
解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，所以＝3，解得k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0．综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0．
答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
重点二　圆与圆的位置关系(两圆半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
相离 外切 相交 内切 内含
图形
量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
[逐点清]
3．(选择性必修第一册93页练习2题改编)若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________．
解析：两圆的圆心距d＝，由两圆相切，得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0．
答案：±2或0
4．(选择性必修第一册96页例5改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
解析：由得公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0．又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝．由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2．
答案：2
[记结论]
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
[提速度]
1．若M(x0，y0)为圆x2＋y2＝r2(r＞0)上一点，则直线x0x＋y0y＝r2与该圆的位置关系为(　　)
A．相切　　 B．相交　　
C．相离　 D．相切或相交
解析：A　由结论1可知直线x0x＋y0y＝r2为圆的切线方程，故选A．
2．经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，并且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程为________．
解析：由结论2，设所求圆的方程为(x2＋y2＋6x－4)＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，λ为实数，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，圆心坐标为，得－＋－4＝0，求得λ＝－7，故所求的圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．
答案：x2＋y2－x＋7y－32＝0
直线与圆的位置关系的判断
1．已知直线ax＋by＋c＝0过点M(cos α，sin α)，则(　　)
A．a2＋b2≤1　　　　　　 B．a2＋b2≥1
C．a2＋b2≤c2 D．a2＋b2≥c2
解析：D　由cos2α＋sin2α＝1可得点M在单位圆x2＋y2＝1上，所以直线ax＋by＝－c和圆x2＋y2＝1有公共点．所以圆心(0,0)到直线ax＋by＝－c的距离≤1，即得到a2＋b2≥c2．故选D．
2．(多选)已知直线l：kx＋y＝0与圆M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A．直线l与圆M一定相交
B．若k＝0，则直线l与圆M相切
C．当k＝－1时，直线l与圆M的相交弦最长
D．圆心M到直线l的距离的最大值为
解析：BCD　M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆，A项，因为直线l：kx＋y＝0，直线l过原点，02＋02－2×0－2×0＋1＞0，原点在圆外，所以直线l与圆M不一定相交，故错误；B项，若k＝0，则直线l：y＝0，直线l与圆M相切，故正确；C项，当k＝－1时，直线l的方程为y＝x，过圆M的圆心，故正确；D项，由点到直线距离公式，知d＝＝＝≤(当k＝1时，等号成立)，故正确，故选B、C、D．
3．若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是________．
解析：计算得圆心到直线l的距离为＝>1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1．
答案：(＋1，＋∞)
处理直线与圆的位置关系的一般思路
(1)判断直线与圆的位置关系常用几何法；
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形；
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．　
圆的弦长问题
　(2021·北京高考)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝(　　)
A．±2 B．±
C．± D．±3
[解析]　由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d＝，则弦长为2，则当k＝0时，弦长取得最小值为2＝2，解得m＝±．故选C．
[答案]　C
弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长；
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2．　
　(2022·温州模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25与直线l：mx＋y＋m＋2＝0，若圆C关于直线l对称，则m＝________，当m＝________时，圆C被直线l截得的弦长最短．
解析：∵圆C：(x－1)2＋y2＝25关于直线l：mx＋y＋m＋2＝0对称，则圆心(1,0)在直线l：mx＋y＋m＋2＝0上，故有m＋0＋m＋2＝0，求得m＝－1．由于直线l：mx＋y＋m＋2＝0，即m(x＋1)＋y＋2＝0，经过定点M(－1，－2)，故当CM和直线l垂直时，圆C被直线l截得的弦长最短，此时，－m·kCM＝－1，即－m·＝－1，求得m＝1．
答案：－1　1
圆的切线问题
(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
[解析]　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确．易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜ －4＝1，故B不正确．过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C、D都正确．综上，选A、C、D．
[答案]　ACD
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．　
　(2021·天津高考)若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切与点B，则|AB|＝________．
解析：设圆心为M，由直线的斜率为知此切线的倾斜角为60°，又切线与y轴交点为A，所以∠MAB＝30°，又∠ABM＝90°，且MB＝1，所以AM＝2，即|AB|＝＝．
答案：
圆与圆的位置关系
　已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0．
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
[解]　(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，所以|r1－r2|(2)圆C1和圆C2的方程左、右分别相减，整理得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0．圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，故公共弦长为2＝2．
圆与圆位置关系相关问题的求解策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．　
1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：D　x2－4x＋y2＝0 (x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2,0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0 (x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2,0)，半径为1，则圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D．
2．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(t，－1)，两圆圆心都在直线x＋2y＋c＝0上，则t＋c的值为________．
解析：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB与直线x＋2y＋c＝0垂直，且AB的中点在直线x＋2y＋c＝0上．由AB与直线x＋2y＋c＝0垂直，可得＝2，解得t＝－1，则B(－1，－1)，故AB中点为(0,1)，且其在直线x＋2y＋c＝0上，代入直线方程可得0＋2×1＋c＝0，可得c＝－2，故t＋c＝(－1)＋(－2)＝－3．
答案：－3
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．直线7x－24y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相切，则正实数m的取值是(　　)
A．25－55或25　　　 B．25＋55或25－55
C．25－55 D．25＋55
解析：C　圆x2＋y2－2x＋4y＝0 (x－1)2＋(y＋2)2＝5，圆心(1，－2)，半径r＝，由题意可知圆心到直线的距离d＝＝，即m2＋110 m－100＝0，解得m＝－55±25，∵m＞0，∴m＝－55＋25．故选C．
2．(2022·滕州三模)“点(a，b)在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：B　命题p：点(a，b)在圆x2＋y2＝1外等价于a2＋b2＞1，命题q：直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交等价于＜1 a2＋b2＞4，从而有p / q，q p，所以p是q的必要不充分条件．故选B．
3．(2022·珠海一模)已知直线l：x－2ky＋1＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且·＝－，则k＝(　　)
A．1　　　 B．±1　　　　
C．　　 D．±
解析：D　∵⊙O的半径为1，·＝－，得cos∠AOB＝－，∠AOB＝π，∠ABO＝，∴圆心到直线AB的距离为OB·sin ＝，则＝，k＝±．故选D．
4．已知点P(6,0)，点A(1,1)，动点C满足·＝0(O为坐标原点)，过A点的直线被动点C的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x－1 D．y＝－x＋1
解析：A　设C(x，y)，由·＝0得动点C的轨迹方程为x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2＝9，则动点C的轨迹曲线为圆，圆心为D(3,0)．又点A(1,1)在圆内，所以kAD＝＝－，所以最短弦所在直线的斜率为2，所以所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．故选A．
5．(2022·泉州高三模拟)已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．
C． D．
解析：A　由圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0，圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0，得圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为k(x＋y)－2y－2＝0，求得定点P(1，－1)，又P(1，－1)在直线mx－ny－2＝0上，m＋n＝2，即n＝2－m．∴mn＝(2－m)m＝－(m－1)2＋1，∴mn的取值范围是(－∞，1]．故选A．
6．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．则以下命题正确的有(　　)
A．直线l恒过定点(3,1) B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离
解析：AC　将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由解得则无论m为何值，直线l过定点(3,1)，又定点(3,1)与圆心C(1,2)的距离为＝＜5，故直线l与圆C恒相交，故A、C正确．
7．(多选)已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．圆A的半径为2
B．圆A截y轴所得的弦长为2
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
解析：ABC　把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以圆A的圆心坐标为(1,0)，半径为2，A正确；圆A截y轴所得的弦长为2×＝2，B正确；圆心(1,0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为B(4,4)，半径为3，则点A与点B之间的距离为＝5，圆A与圆B相切，D错误．故选A、B、C．
8．(2022·本溪高三模拟)已知直线l与圆x2＋y2－2x＝0相交于A，B两点，线段AB中点为，则|AB|＝________．
解析：圆的圆心为(1,0)，半径为1，则圆心与线段中点的距离d＝，所以|AB|＝2＝2＝．
答案：
9．直线x－y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是________．
解析：画出图形，如图，圆心(2,0)到直线的距离为d＝＝1，∴sin∠AOC＝＝，∴∠AOC＝，∴∠CAO＝，∴∠ACO＝π－－＝．
答案：
10．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l．
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
解：(1)由题意可得圆心为C(2,3)，半径为2，直线l与圆C相切，
当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，满足题意；
当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，
∴＝2，解得k＝－，
∴直线l的方程为3x＋4y－8＝0，
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0．
(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
圆心C(2,3)到直线l的距离为＝，
∴弦长为2＝2．
B级——综合应用
11．已知点P是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A为切点，若PA长度的最小值为2，则k的值为(　　)
A．3 B．
C． D．2
解析：D　易知点P在圆外，圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1．当PC所在直线与直线kx＋y＋4＝0(k＞0)垂直时，|PA|最小．此时在Rt△PAC中，|PC|＝＝，即点C到直线kx＋y＋4＝0(k＞0)的距离为，所以＝，解得k＝±2．又k＞0，所以k＝2．故选D．
12．(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　　)
A．圆O1和圆O2有两条公切线
B．直线AB的方程为x－y＋1＝0
C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
解析：ABD　对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为＝，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，D正确．故选A、B、D．
13．古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k＞0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0,0)，A(3,0)，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的值为________．
解析：设动点P(x，y)，由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，又点P是圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有的一点，所以两圆相切．圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心坐标为(－1,0)，半径为2，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心坐标为(2,0)，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r＋2＝3，得r＝1；当两圆内切时，|r－2|＝3，r＞0，得r＝5．
答案：1或5
14．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x－y＋2＝0均与圆相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)设点P(0,1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN＝90°，求m的值．
解：(1)设圆心(a,0)，a＞0，∴圆的半径为r＝a，∴＝a，解得a＝2．
∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y得2x2＋2(m－2)x＋m2＝0，∵直线与圆有两个交点，
∴Δ＝4(m－2)2－8m2＞0，解得－2－2＜m＜－2＋2，
且∴又·＝0，
∴(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，
整理得m2＋m－1＝0，解得m＝或m＝．
C级——迁移创新
15．过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆O的切线，切点分别为A，B，我们可以把线段AB叫做圆O的切点弦，其所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．现过点P(1,3)作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为________；若点Q是直线l：x－y－4＝0上的动点，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点________．
解析：根据题意，圆O：x2＋y2＝4中，由r2＝4，点P(1,3)在圆O外，过点P(1,3)作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为x＋3y－4＝0．设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得n(x＋y)＋4x－4＝0，则有解得则直线AB恒过定点(1，－1)．
答案：x＋3y－4＝0　(1，－1)
16．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2．
又点C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2．
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－．
联立
又x＋mx2－2＝0，可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝．
故圆在y轴上截得的弦长为2 ＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

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