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第五节　椭 圆
(1)了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；(2)经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；(3)通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想；(4)了解椭圆的简单的应用．　
第一课时　椭圆的定义、标准方程及简单几何性质
重点一　椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．
[逐点清]
1．(选择性必修第一册109页练习1题改编)平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0,9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________．
解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，且|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段F1F2．
答案：线段F1F2
重点二　椭圆的标准方程
1．中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
2．中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
[逐点清]
2．(选择性必修第一册115页习题4题改编)已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为(－，0)，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为(　　)
A．＋y2＝1　　　　　　 B．＋y2＝1
C．x2＋＝1 D．x2＋＝1
解析：A　由题可知a＝2b，c＝．又a2＝b2＋c2，所以b2＝1，a2＝4，故椭圆的标准方程为＋y2＝1，故选A．
重点三　椭圆的简单几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
对称性 关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
(0，－b)，(0，b) (－b,0)，(b,0)
焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c)
半轴长 长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b＞0
离心率 e＝
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
[逐点清]
3．(易错题)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：B　因为椭圆的离心率e＝＝，所以a2＝4c2．又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2．故选B．
4．(多选)下列结论正确的有(　　)
A．椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形
B．椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)
C．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆
D．方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆
解析：ABD　对于A，椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形，正确；对于B，椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距，正确；对于C，椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁，椭圆的离心率e越小，椭圆就越圆，错误；对于D，方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆，正确．故选A、B、D．
[记结论]
1．椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值分别为a＋c，a－c．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S．
(1)当P为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc；
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝．
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则：
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－．
[提速度]
1．已知F1(－1,0)，F2(1，0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：C　由结论3可知|AB|＝3＝，又c＝1，解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1．
2．已知 P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝时，△PF1F2的面积为________．
解析：由结论2可得：S＝b2tan ，可得S＝1·tan＝．
答案：
椭圆的定义及其应用
(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)
A．椭圆　　 B．双曲线　　　
C．抛物线　 D．圆
(2)(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
[解析]　(1)连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|．所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r．又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．
(2)根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8．
[答案]　(1)A　(2)8
椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．　
1．设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
解析：由题意知，c＝．又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，∴|F1P|·|PF2|＝，∴S＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝××＝．
答案：
2．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
解析：椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋．
答案：6＋　6－
椭圆的标准方程
　古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析]　∵焦点F1，F2在y轴上，∴可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意可得＝2a×2b＝4ab，∴S＝abπ＝8π，即ab＝8，∵△F2AB的周长为32，∴4a＝32，则a＝8，∴b＝，故椭圆方程为＋＝1．故选B．
[答案]　B
根据条件求椭圆方程的两种方法
(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程；
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b．当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．　
　在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：
条件 方程
①△ABC周长为10 C1：y2＝25
②△ABC面积为10 C2：x2＋y2＝4(y≠0)
③△ABC中，∠A＝90° C3：＋＝1(y≠0)
则满足条件①、②、③的轨迹方程依次为(　　)
A．C3，C1，C2 B．C1，C2，C3
C．C3，C2，C1 D．C1，C3，C2
解析：A　对于①，△ABC的周长为10，则|AB|＋|BC|＋|AC|＝10，又|BC|＝4，所以|AB|＋|AC|＝6＞|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆(不与A，B重合)，与C3对应；对于②，△ABC的面积为10，所以|BC|·|y|＝10，即|y|＝5，与C1对应；对于③，因为∠A＝90°，所以点A在以AB为直径的圆上(不与A，B重合)，与C2对应．故选A．
椭圆的几何性质
考向1　离心率问题
　已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A．　　 B． C．　 D．
[解析]　如图，作PB⊥x轴于点B．由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝．
[答案]　D
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e．通过已知条件列方程组，解出a，c的值；
(2)构造a，c的齐次式，解出e．由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[注意]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．　
1．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为(　　)
A．－1 B．
C． D．＋1
解析：A　不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝＝－1．故选A．
2．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，＋＝1，可得x＝a2－y，则|PB|2＝x＋(y0－b)2＝x＋y－2by0＋b2＝－y－2by0＋a2＋b2≤4b2．因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤，故选C．
考向2　与椭圆性质有关的最值、范围问题
　(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　)
A． B．
C． D．2
[解析]　设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2．易知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝－2．当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．
[答案]　A
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围；
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围；　
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围；
(4)利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围．　
　已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A．　 B．
C． D．
解析：A　设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2．设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2．离心率e＝＝＝ ＝ ∈，故选A．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是(　　)
A．＋＝1　　　　　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：B　由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1．
2．“(loga2)x2＋(logb2)y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是(　　)
A．0＜a＜b B．1＜a＜b
C．2＜a＜b D．1＜b＜a
解析：C　若(loga2)x2＋(logb2)y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则需即所以1＜a＜b，所以“(loga2)x2＋(logb2)y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2＜a＜b，故选C．
3．如图，P是椭圆＋＝1上的一点，F是椭圆的左焦点且＝－，||＝2，则|PF|＝(　　)
A．2 B．
C．3 D．4
解析：A　由＋＝1可得a＝3．因为＝－，所以点Q是线段PF的中点，设椭圆的右焦点为F′，则O是FF′的中点，所以|PF′|＝2|OQ|＝4，由椭圆的定义可知：|PF|＋|PF′|＝2a＝6，所以|PF|＝2，故选A．
4．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为(　　)
A．3 B．2
C． D．
解析：D　因为椭圆为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝＝4．当△MF1F2的面积最大时，点M为椭圆C短轴的顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则|MF1|＝|MF2|＝a＝5，|F1F2|＝2c＝8，|OM|＝b＝3，S＝(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·r＝|F1F2|·|OM|，所以r＝，故选D．
5．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝．又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤．又06．(多选)对于曲线C：＋＝1，下面四个说法正确的是(　　)
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1解析：CD　对于A，当17．(多选)如图，两个椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个说法正确的为(　　)
A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值
B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称
C．曲线C所围区域面积必小于36
D．曲线C总长度不大于6π
解析：BC　易知F1(－4,0)，F2(4,0)分别为椭圆＋＝1的两个焦点，E1(0，－4)，E2(0,4)分别为椭圆＋＝1的两个焦点．若点P仅在椭圆＋＝1上，则P到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A错误；两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，则曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D错误．故选B、C．
8．若椭圆＋＝1的离心率为，则该椭圆的长轴长为________．
解析：由椭圆＋＝1的离心率为，当m＞2时，椭圆焦点在x轴上，＝＝，解得m＝4，所以椭圆的长轴长为4，当0＜m＜2时，椭圆焦点在y轴上，＝＝，得m＝1，所以椭圆的长轴长为2．
答案：4或2
9．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞1)的左、右焦点，P(1,1)为C内一点，Q为C上任意一点．现有四个结论：
①C的焦距为2；
②C的长轴长可能为；
③|QF2|的最大值为a＋1；
④若|PQ|＋|QF1|的最小值为3，则a＝2．
其中所有正确结论的编号是________．
解析：对于①：因为c2＝a2－(a2－1)＝1，所以椭圆C的焦距为2c＝2，故①正确；对于②：若椭圆C的长轴长为，则a2＝，所以椭圆C的方程为＋＝1，则＋＞1，从而点P在C的外部，这与P在C内矛盾，所以②不正确；对于③：因为c＝1，Q为C上任意一点，由椭圆的几何性质可知，|QF2|的最大值为a＋c＝a＋1，故③正确；对于④：由椭圆定义可知，|PQ|＋|QF1|＝|PQ|－|QF2|＋2a，因为||PQ|－|QF2||≤|PF2|＝1，所以|PQ|－|QF2|≥－1，所以|PQ|－|QF2|＋2a≥2a－1＝3，此时a＝2，故④正确．
答案：①③④
10．(2019·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解：(1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1．
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当
|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1．③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝．
又由①知y2＝，故b＝4．
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4．
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．
B级——综合应用
11．如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　由图可得，椭圆的短轴长2b＝22 b＝11，长轴长2a＝＝ a＝，∴e＝＝＝＝．故选B．
12．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图①、②、③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则(　　)
A．e1＞e3＞e2 B．e2＞e3＞e1
C．e1＞e2＞e3 D．e2＞e1＞e3
解析：A　因为椭圆的离心率e＝＝＝＝＝ ，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大．因为≈1．44，≈1．24，≈1．43，则＞＞，所以e1＞e3＞e2．故选A．
13．(多选)数学家称为黄金比，记为ω，定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆．若黄金椭圆＋＝1(a＞b＞0)与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有(　　)
A．ω2＋ω＝1
B．黄金椭圆的离心率e＝ω
C．设直线OQ的倾斜角为θ，则sin θ＝ω
D．交点Q的坐标为(b，ωb)
解析：AC　方程ω2＋ω－1＝0的根为ω＝，故A正确；由题意可知，＝＝ω，则e＝＝＝＝≠ω，故B错误；易知QF1⊥QF2，且∠QF1F2＝，则|QF2|＝2c·sin ，|QF1|＝2c·cos，所以|QF1|＋|QF2|＝2c＝2a，即sin＋cos＝＝，两边平方，可得sin θ＋1＝＝＝，即sin θ＝－1＝＝ω，故C正确；由C知，sin θ＝ω，所以tan θ≠ω，即D错误．故选A、C．
14．(2021·浙江高考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．若过F1的直线和圆2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．
解析：设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A，则|AM|＝c，|AF1|＝c，所以|MF1|＝c，所以该直线的斜率k＝＝＝．因为PF2⊥x轴，所以|PF2|＝，又|F1F2|＝2c，所以k＝＝＝＝，得e＝．
答案：　
15．已知直线x－y＋＝0经过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点和上顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A，B为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线y＝3－x上存在一点P，使得三角形PAB为正三角形，求AB所在直线的方程．
解：(1)因为直线x－y＋＝0与x轴交于点(－，0)，与y轴交于点(0,1)，
又直线x－y＋＝0经过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点和上顶点，
可得a＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，
由题意知直线AB的斜率存在，
当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，y轴与直线l：x＋y－3＝0的交点为P (0,3)，因为|AB|＝2，PO＝3可得∠PAO＝60°，以△PAB为等边三角形，故得直线AB的方程为y＝0．
当直线AB的斜率不为0时，
设AB的方程为y＝kx，
代入椭圆方程消去y，得(3k2＋1)x2＝3，
所以|x1|＝，则|AO|＝·＝，
设AB的垂直平分线为y＝－x，设它与直线l：x＋y－3＝0的交点为P(x0，y0)，
则x0＝，y0＝－，所以|PO|＝，
因为△PAB为正角形，所以应有|PO|＝|AO|，
可得 ＝·，解得k＝0(舍)或k＝－1，
故直线AB的方程为y＝0或x＋y＝0．
第二课时　直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
1．过圆x2＋y2＝r2上一定点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2，此结论可推广到圆锥曲线上．过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为(　　)
A．x＋y－2＝0　　　　　　　 B．x－y－3＝0
C．2x＋3y－3＝0 D．3x－y－10＝0
解析：A　过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为＋＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，与直线l垂直的直线的斜率为－1，过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0，故选A．
2．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围为____________．
解析：法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．
法二：由消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0．由题意知Δ＝100k2－20(1－m)·(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，所以m≥1－5k2恒成立，所以m≥1且m≠5．
答案：[1,5)∪(5，＋∞)
研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题；
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．　
弦长问题
　如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4．
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．
[解]　(1)由题意知e＝＝，2a＝4．
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1．
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线CD的方程为y＝－(x－1)．
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·＝．
同理，|CD|＝＝．
所以|AB|＋|CD|＝＋
＝＝，解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0．
1．弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种：
①|AB|＝|x1－x2|＝
；
②|AB|＝|y1－y2|
＝(k≠0)．
2．注意两种特殊情况
(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；
(2)直线过圆锥曲线的焦点．　
1．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(　　)
A．±1 B．±
C． D．±
解析：A　由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由题意，得|AB|＝＝ ＝，解得m＝±1．
2．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B．
C． D．
解析：C　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，又Δ＝(8t)2－16(t2－1)×5＞0，得t2＜5，则x1＋x2＝－t，x1x2＝．∴|AB|＝|x1－x2|＝ ＝·＝·，当t＝0时，|AB|max＝．
中点弦问题
　过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)右焦点F的直线l：x－y－＝0交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为－，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析]　直线l：x－y－＝0中，令y＝0，可得x＝，所以右焦点F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点P，联立消去x并整理得(a2＋b2)y2＋2b2y＋3b2－a2b2＝0，所以y1＋y2＝－，x1＋x2＝y1＋y2＋2＝，所以kOP＝＝－＝－，所以a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，c2＝3，所以a2＝6，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1，故选A．
[答案]　A
处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率；
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．　
　已知椭圆C：＋＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为(　　)
A．3x－2y－2＝0 B．3x＋2y－4＝0
C．3x＋4y－5＝0 D．3x－4y－1＝0
解析：B　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式可得所以因为两式作差得＋＝0，即＝－，即·＝kAB＝－，所以kAB＝－，因此，直线AB的方程为y－＝－(x－1)，即3x＋2y－4＝0．故选B．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．≤m＜9　　　　　　 B．9＜m＜10
C．1≤m＜9 D．1＜m＜9
解析：C　直线y＝kx＋1恒过定点P(0,1)，焦点在x轴上的椭圆＋＝1，可得0＜m＜9　①，由直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，可得P在椭圆上或椭圆内，即有＋≤1，解得m≥1　②，由①②可得1≤m＜9．故选C．
2．若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有(　　)
A．1个　　 B．至多一个 C．2个　 D．0个
解析：C　因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，所以＞3，即m2＋n2＜9，所以＋≤＋＜1，即点(m，n)在椭圆＋＝1内，所以过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个，故选C．
3．已知F1，F2是椭圆G：＋＝1的左、右焦点，过F1作直线l交G于A，B两点，若|AB|＝，则△F2AB的面积为(　　)
A．　　　 B．
C．　 D．
解析：C　由G：＋＝1知c2＝52－42＝32，所以F1(－3，0)，把x＝－3代入椭圆方程可得y2＝，故y＝±，又|AB|＝，所以AB⊥x轴，则S＝|AB|×2c＝××6＝，故选C．
4．已知点P(x，y)是椭圆＋＝1上任意一点，则点P到直线l：y＝x＋5的最大距离为(　　)
A． B．
C．5＋ D．5－
解析：A　设直线y＝x＋m与椭圆相切，由得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，∴Δ＝(18m)2－4×13(9m2－36)＝0，解得m＝±，切线方程为y＝x＋和y＝x－，与l距离较远的是y＝x－，∴所求最大距离为d＝＝．故选A．
5．(2022·青岛质检)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　设内层椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成＋＝1(m＞1)，设切线AC的方程为y＝k1(x＋ma)，与＋＝1联立得：(b2＋a2k)x2＋2ma3kx＋m2a4k－a2b2＝0，由Δ＝0, 则k＝·，同理可得k＝·(m2－1)，∴k·k＝＝2, 则＝，因此，e＝＝＝＝．故选D．
6．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜)与椭圆交于A，B两点，则(　　)
A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
解析：ACD　设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，且|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；设点A在点B的左侧，将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，又∵F(，0)，∴·＝×＋2＝0．∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．故选A、C、D．
7．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S＝4，则弦长|AB|＝________．
解析：∵S＝4，∴×2c×|yA－yB|＝4，又∵|F1F2|＝2，∴|yA－yB|＝4，∵直线过椭圆左焦点且斜率为2，∴|AB|＝|yA－yB|＝×4＝2．
答案：2
8．直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)，则两式相减得b2(y－y)＋a2(x－x)＝0，即＝－，即kMN＝－·，因为kMN＝－，kOP＝，所以＝，所以e＝＝＝．
答案：
9． (2022·衡水模拟)已知直线y＝kx－1与椭圆＋＝1交于点A，B，与y轴交于点P，若＝3，则实数k的值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线y＝kx－1与y轴交于点P，所以P(0，－1)．联立直线与椭圆方程得消去y得(3＋4k2)x2－8kx－8＝0，Δ＞0．由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝．因为＝3，所以(－x1，－1－y1)＝3(x2，y2＋1)，所以x1＝－3x2，将其代入x1＋x2＝，得x2＝．将x1＝－3x2，x2＝代入x1x2＝，可得－3·2＝，解得k2＝，所以k＝±．
答案：±
10．已知点B是圆C：(x－1)2＋y2＝16上的任意一点，点F(－1,0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)直线l：y＝2x＋m与E交于点M，N，且|MN|＝，求m的值．
解：(1)由条件可得|PC|＋|PF|＝|PC|＋|PB|＝|BC|＝4＞|FC|＝2，
所以动点P的轨迹E是以F，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，
所以2a＝4,2c＝2，所以a＝2，c＝1，b＝，
所以动点P的轨迹方程为＋＝1．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立可得19x2＋16mx＋4m2－12＝0，
由Δ＝256m2－76(4m2－12)＞0，得m∈(－，)，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为|MN|＝
＝＝，解得m＝±1．
B级——综合应用
11．(多选)已知P是椭圆E：＋＝1(m＞0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是(　　)
A．椭圆E的方程为＋y2＝1
B．椭圆E的离心率为
C．曲线y＝log3x－经过E的一个焦点
D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点
解析：ACD　设P(x0，y0)，M(x1，y1)，x0≠±x1，y0≠±y1，则N(－x1，－y1)，＋＝1，＋＝1，所以y＝m－，y＝m－，k1k2＝·＝＝－．于是|k1|＋|k2|≥2＝2＝2＝，依题意，得＝1，解得m＝1，故E的方程为＋y2＝1，A正确；离心率为，B错误；焦点坐标为(±，0)，曲线y＝log3x－经过焦点(，0)，C正确；又直线2x－y－2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E内，故直线2x－y－2＝0与E有两个公共点，D正确．故选A、C、D．
12．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△F1AB的周长是________，△F1AB内切圆面积的最大值是________．
解析：根据椭圆定义可知△F1AB的周长C＝4a＝4；在△F1AB内，S＝Cr＝2r，问题转化为求△F1AB面积最大值，设AB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(m2＋2)y2＋2my－1＝0 于是S＝|F1F2|·|y1－y2|＝＝＝≤＝，则2r≤ r≤ πr2≤，等号在m＝0时取到．
答案：4　
13．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左焦点为F1(－1,0)，经过点F1的直线l与圆F2：(x－1)2＋y2＝8相交于P，Q两点，M是线段PF2与C的公共点，且|MF1|＝|MP|．
(1)求椭圆C的方程；
(2)l与C的交点为A，B，且A恰为线段PQ的中点，求△ABF2的面积．
解：(1)由圆F2：(x－1)2＋y2＝8可得|PF2|＝2，因为|MF1|＝|MP|，
所以2a＝|MF1|＋|MF2|＝|MP|＋|MF2|＝|PF2|＝2，即a＝，又c＝1，故b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为A为线段PQ的中点，则AF1⊥AF2，
所以·＝x＋y－1＝0，又＋y＝1，
解得x1＝0，y1＝±1，
若y1＝1，则A(0,1)，直线l的方程为y＝x＋1，
由解得即B，
所以△ABF2的面积S＝|F1F2|·|y1－y2|＝×2×＝，
若y1＝－1，同理可求得△ABF2的面积S＝，
综上所述，△ABF2的面积为．
C级——迁移创新
14．如图，椭圆＋＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H．若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为(　　)
A．20　　 B．10
C．2　 D．4
解析：D　由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程，得得N，∴H，M．把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝1，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，得a2＝5，∴a＝．由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D．
15．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：＋y2＝1．
(1)若椭圆C2：＋＝1，试判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；
(2)写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的焦点在x轴上的椭圆Cb的标准方程．若在椭圆Cb上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围．
解：(1)椭圆C2与C1相似．如图，在同一坐标系中作出C1，C2的图象．
∵椭圆C2的“特征三角形”是腰长为4，底边长为4的等腰三角形，而椭圆C1的“特征三角形”是腰长为2，底边长为2的等腰三角形，∴两三角形的三边对应成比例，∴这两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1，∴椭圆C2和C1相似，且相似比为2∶1．
(2)椭圆Cb的方程为＋＝1(b＞0)．
由题意，可设lMN：y＝－x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)．
联立
消去y，整理得5x2－8tx＋4(t2－b2)＝0，
则x0＝＝t，y0＝．
∵MN的中点在直线y＝x＋1上，
∴＝t＋1，解得t＝－．
故直线lMN的方程为y＝－x－．
若M，N存在，则方程5x2－8×x＋4＝0有两个不同的实数解，
∴Δ＝2－4×5×4×＞0，
解得b＞．

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