资源简介

第一节　直线的方程
(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；(3)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．　
重点一　直线的倾斜角、斜率公式
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为；
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．直线的斜率
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α；
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．
[逐点清]
1．(选择性必修第一册57页习题1题改编)已知直线斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为________．
解析：由|k|＝|tan α|＝知tan α＝±，∴α＝或．
答案：或
重点二　直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含垂直于x轴，y轴的直线
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用
[逐点清]
2．(选择性必修第一册65页例5改编)过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为(　　)
A．x－3y＋4＝0　　 B．x－y＋2＝0
C．x－3y＋2＝0 D．x－y＝0
解析：A　由倾斜角为30°知，直线的斜率k＝，因此，其直线方程为y－＝(x＋1)，化简得，x－3y＋4＝0．故选A．
3．(选择性必修第一册67页习题7题改编)经过点P(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________．
解析：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0．若a≠0，设l的方程为＋＝1，因为l过点(4,1)，所以＋＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0．综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0．
答案：x－4y＝0或x＋y－5＝0
[记结论]
特殊直线的方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1，垂直于y轴的方程为y＝y1；
(2)x轴的方程为y＝0，y轴的方程为x＝0．
[提速度]
1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为(　　)
A．0　　　 B．
C．　　 D．不存在
解析：C　由结论(1)知，直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为．
2．经过M(3,0)与N(6,0)两点的直线的方程为(　　)
A．x＝0 B．y＝0
C．x＝3 D．x＝6
解析：B　由结论(2)知，直线的方程为y＝0．
直线的倾斜角与斜率
　直线l过点P(1，0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为____________．
[解析]　法一：设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ ]．故斜率的取值范围是(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．
法二：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0．∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1－k)(－－k)≤0，即(k－1)·(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－．即直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．
[答案]　(－∞，－]∪[1，＋∞)
1．由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在∪上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在∪上并不是单调的．
2．过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在．　
1．(多选)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(　　)
A．k1＜k3＜k2
B．k3＜k2＜k1
C．α1＜α3＜α2
D．α3＜α2＜α1
解析：AD　如题图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则k2＞k3＞0，k1＜0，故＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，故选A、D．
2．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．
解析：因为sin α∈[－1,1]，所以－sin α∈[－1,1]，所以已知直线的斜率范围为[－1,1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是∪．
答案：∪
直线的方程
1．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　)
A．x＋y－3＝0　　　　　 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：D　设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan(α＋45°)＝＝－3，又点M(2,0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0．
2．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限
B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)
C．过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3
解析：ABC　对于A中，由直线y＝kx＋b过第一、二、四象限，所以直线的斜率k＜0，截距b＞0，故点(k，b)在第二象限，所以A正确；对于B中，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a(x－3)＋(－y＋2)＝0，所以无论a取何值点(3,2)都满足方程，所以B正确；对于C中，由点斜式方程，可知过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，所以C正确；由斜截式直线方程得到斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误．故选A、B、C．
3．过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍的直线l的方程为____________．
解析：当直线过原点时，它在x轴，y轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为，所以直线方程为y＝x；当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又直线过A(4,2)，所以＋＝1，解得a＝，方程为x＋3y－10＝0．综上，所求直线方程为y＝x或x＋3y－10＝0．
答案：y＝x或x＋3y－10＝0
求解直线方程的2种方法
直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程
待定系数法 ①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
　
直线方程的综合应用
　已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，当|MA|·|MB|取最小时，求直线l的方程．
[解]　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A，B(0,1－2k)．
∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，
∴ k<0．
∴|MA|·|MB|＝ ·＝2＝2≥4．
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
1．求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式(或函数)求解最值．
2．求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决问题．　
已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，四边形的面积最小．
答案：
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．直线2x·sin 210°－y－2＝0的倾斜角是(　　)
A．45°　　　　　　　　 B．135°
C．30° D．150°
解析：B　由题意得直线的斜率k＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1，故倾斜角为135°．故选B．
2．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m＝(　　)
A． B．－
C．－2 D．2
解析：A　因为A(－2,3)，B(3，－2)，故kAB＝＝－1，因为A，B，C三点共线，故kAB＝kAC＝＝－1，故m＝，故选A．
3．(2022·潍坊月考)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
解析：A　直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2．∴直线l的方程为y＝x＋2．
4．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为(　　)
A．1 B．
C．－ D．－3
解析：C　设Q(3,0)，则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－，∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是，则的最大值为－，故选C．
5．(2022·青岛检测)已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　由f＝f知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f，所以－b＝a，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为，故选D．
6．(多选)已知直线l的一个方向向量为u＝，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　)
A．l的倾斜角等于150°
B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线x－3y＋2＝0垂直
D．l上不存在与原点距离等于的点
解析：CD　由已知得直线l的斜率k＝＝－，设其倾斜角为θ，则tan θ＝－，所以θ＝120°，故A选项错误；直线l的方程为y＋2＝－(x－1)，即x＋y＋2－＝0，所以它在x轴上的截距等于1－，故B选项错误；直线x－3y＋2＝0的斜率为，×(－)＝－1，所以两直线垂直，故C选项正确；原点到直线l的距离d＝1－>，即l上的点与原点的最小距离大于，故l上不存在与原点距离等于的点，故D选项正确．故选C、D．
7．(多选)已知直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是(　　)
解析：AC　直线l1：ax－y－b＝0可化为y＝ax－b，斜率为a，在y轴上的截距为－b．直线l2：bx－y＋a＝0可化为y＝bx＋a，斜率为b，在y轴上的截距为a．当a＝b≠0时，直线l1与l2平行，故A正确．选项B中，由直线l2在y轴上的截距可得a＞0．与直线l1的斜率a＜0矛盾，故B不正确．在选项C中，由直线l2的斜率为b＜0，而直线l1在y轴上的截距－b＞0．直线l2在y轴上的截距为a＞0，直线l1的斜率为a＞0，故C正确．选项D中，两直线斜率a＞0，b＜0．与直线l1在y轴上的截距－b＜0，b>0相矛盾，故D不正确．故选A、C．
8．过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________________．
解析：由题意可设直线方程为＋＝1．则解得a＝b＝3或a＝4，b＝2．故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0．
答案：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
9．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________________．
解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0．
答案：4x－3y－4＝0
10．已知直线x＋m2y－2＝0(m∈R)的倾斜角为α，求α的取值范围．
解：当m＝0时，直线为x＝2，斜率不存在，倾斜角α＝；
当m≠0时，直线x＋m2y－2＝0(m∈R)化为直线的斜截式方程y＝－x＋，
斜率k＝－＜0，即tan α＜0，所以＜α＜π．
综上可知，倾斜角α的取值范围是．
B级——综合应用
11．已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．6
解析：B　已知直线kx－y＋2k－1＝0，整理得y＋1＝k(x＋2)，由直线恒过定点A，得A(－2，－1)．因为点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，所以2m＋n＝2，整理得m＋＝1，由于m，n均为正数，则＋＝＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当即时取等号．故选B．
12．(2022·淄博模拟)如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示．则直线AB的方程为________；旅客最多可免费携带行李________千克．
解析：由题图知点A(60,6)，B(80,10)，代入直线方程的两点式得＝，整理得直线AB的方程是x－5y－30＝0．依题意，令y＝0，解得x＝30，即旅客最多可免费携带30千克的行李．
答案：x－5y－30＝0　30
13．若正方形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，________．
解析：正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3，建立如图所示直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝3，由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝．kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－2．
答案：　－2
14．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，∴k>0．
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥×(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
C级——迁移创新
15．(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
解析：BD　根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所以D正确．
16．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，
所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)．
由题意，得·＝－，
化简，得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
(2)法一：设点P的坐标为(x0，y0)，点M，N的坐标分别为(3，yM)，(3，yN)．
则直线AP的方程为y－1＝(x＋1)，
直线BP的方程为y＋1＝(x－1)．
令x＝3，得yM＝，yN＝．
于是△PMN的面积为S△PMN＝|yM－yN|(3－x0)＝．
又直线AB的方程为x＋y＝0，|AB|＝2，
点P到直线AB的距离d＝．
于是△PAB的面积为S△PAB＝|AB|·d＝|x0＋y0|．
当S△PAB＝S△PMN时，得|x0＋y0|＝．
又|x0＋y0|≠0，
所以(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝．
因为x＋3y＝4，所以y0＝±．
故存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为或．
法二：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)，
则|PA|·|PB|sin∠APB＝|PM|·|PN|·sin∠MPN．
因为sin∠APB＝sin∠MPN，
所以＝，所以＝，
即(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝．
因为x＋3y＝4，所以y0＝±．
故存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为或．

展开更多......

收起↑