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第2课时　等差数列的概念及其通项公式(二)
[教材要点]
要点一　等差数列与一次函数的关系
由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的________，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d>0时，数列{an}为________，如图甲所示．
当d<0时，数列{an}为________，如图乙所示．
当d＝0时，数列{an}为________，如图丙所示．
状元随笔　
项目 等差数列 一次函数
解析式 an＝kn＋b(n∈N*) f(x)＝kx＋b(k≠0)
不同点 定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上) 定义域为R，图象是一条直线
相同点 等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式
要点二　等差中项
(1)如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成________数列，那么A叫作a与b的等差中项．
(2)如果A是a与b的等差中项，则A＝________．
状元随笔　在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项．
反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的均成立，则数列{an}是等差数列．
因此，数列{an}是等差数列 2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．(　　)
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　)
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　)
(4)任意两个实数都有等差中项．(　　)
2．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　)
A．递增数列　　　B．递减数列
C．常数列 D．无法确定
3．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值是(　　)
A．26 B．29
C．39 D．52
4．在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，则B等于________.
题型一　等差数列与一次函数的关系
例1　已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点．
(1)求这个数列的通项公式；
(2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由；
(3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项．
方法归纳
(1)根据等差数列图象上的两点求通项公式的一般方法是设出an＝dn＋b，将图象上的点代入，求d，b.
(2)判断等差数列增减性的方法主要有两种，一是公差法：d>0递增；d<0递减；d＝0不单调．二是图象法：图象上升递增；下降递减；图象不上升也不下降，不单调．
跟踪训练1　在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则a2 021＝________．
题型二　等差中项
例2　已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数分别为________．
变式探究　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
方法归纳
当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以d为公差向两边分别设项，即设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列的项数n为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以2d为公差向两边分别设项，即设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….
跟踪训练2　若四个非零实数a，x，b，2x成等差数列，则的值为________．
题型三　等差数列性质的应用
例3　(1)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，则an＝________．
(2)在等差数列{an}中，a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________．
方法归纳
等差数列的性质
若数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，它的性质有：
(1)an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)；
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则an＋am＝ap＋aq；
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则an＋am＝2ap；
(3)d＝＝(m，n，k∈N＋)；
(4)若{an}为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项的和；
(5)若{an}的公差为d，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列；
(6)数列{an}，{bn}的公差都是d，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)是公差为(λ1＋λ2)d的等差数列；
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，(k，m∈N＋)，且{an}的公差为d，组成公差为md的等差数列．
跟踪训练3　(1)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　)
A．20 B．30
C．40 D．50
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．
题型四　等差数列的实际应用
例4　某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
方法归纳
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
跟踪训练4　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，求需要支付的车费．
易错辨析　混淆等差数列的公共项问题中n的取值致错
例5　两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
解析：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11
又等差数列5，8，11，…的通项公式为an＝3n＋2，
等差数列3，7，11，…的通项公式为bn＝4n－1.
∴数列{cn}为等差数列，且公差d＝12.
∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302.
得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项．
【易错警示】
出错原因 纠错心得
混淆了两个等差数列中n的取值，误认为3n＋2＝4n－1，解得n＝3，致错． 解题时一定要理解好两个通项公式的n值的含义，否则会造成不必要的丢分．
[课堂十分钟]
1．已知数列{an}的通项公式是关于n的一次函数，a3＝7，a7＝19，则a10的值为(　　)
A．26 B．28
C．30 D．32
2．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　)
A．8 B．6
C．4.5 D．3
3．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)
A．1升 B．升
C．升 D．升
4．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝________.
5．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这个数列．
第2课时　等差数列的概念及其通项公式(二)
新知初探·课前预习
要点一
斜率　递增数列　递减数列　常数列
要点二
(1)等差　(2)
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝＝－2<0，则直线呈下降趋势，故数列{an}单调递减．
故选B.
答案：B
3．解析：因为5，x，y，z，21成等差数列，
所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，所以5＋21＝2y，
∴y＝13，
∴x＋z＝2y＝26
∴x＋y＋z＝39.
故选C.
答案：C
4．解析：因为三个内角A、B、C成等差数列，
所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，所以B＝60°.
答案：60°
题型探究·课堂解透
题型一
例1　解析：(1)设等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b，
由(2，1)，(4，5)是等差数列图象上的两点，可得
解得所以an＝2n－3.
(2)(n，17)是{an}图象上的点．
由2n－3＝17，得n＝10∈N＋，
所以(10，17)是{an}图象上的点．
(3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列．
令2n－3>0，得n>，
即n≥2.
所以数列{an}的最小正数项为a2＝1.
跟踪训练1　解析：因为通项公式是关于n的一次函数，所以数列{an}为等差数列，
设an＝pn＋q(p，q是常数)，由已知得
解得所以an＝2n＋1(n∈N*)，
则a2 021＝2×2 021＋1＝4 043.
答案：4 043
题型二
例2　解析：设此三个数分别为x－d，x，x＋d，
则
解得x＝5，d＝±2.
∴所求三个数分别为3，5，7或7，5，3.
答案：3，5，7或7，5，3
变式探究　解析：法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得
解得或
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得
化简得
解得或
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
化简得解得
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
跟踪训练2　解析：∵a，x，b，2x成等差数列
∴x是a与b的等差中项，b是x与2x的等差中项，
∴
解得a＝b
∴＝.
答案：
题型三
例3　解析：(1)∵a2＋a5＋a8＝3a5＝9
∴a5＝3
∴a3＋a7＝6①
又a3a5a7＝－21
∴a3·a7＝－7②
由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1
∴当a3＝－1时，d＝2，∴an＝－1＋(n－3)×2＝2n－7
当a3＝7时，d＝－2，∴an＝7＋(n－3)×(－2)＝－2n＋13.
(2)∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17
∴a7＝
又∵a4＋a5＋a6＋…＋a13＋a14＝11a9＝77
∴a9＝7
∴d＝＝＝
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13
∴13－7＝(k－9)×
∴k＝18.
答案：(1)2n－7或－2n＋13　(2)18
跟踪训练3　解析：(1)∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，
∴a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.故选C.
(2)因为{an}，{bn}都是等差数列
所以{an＋bn}是等差数列
设{an＋bn}的公差为d
则(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2d
∴d＝7
∴a5＋b5＝(a3＋b3)＋2d＝21＋2×7＝35.
答案：(1)C　(2)35
题型四
例4　解析：设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
跟踪训练4　解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
[课堂十分钟]
1．解析：因为数列{an}的通项公式是关于n的一次函数，所以设an＝an＋b，
因为a3＝7，a7＝19，
所以解得
所以a10＝3×10－2＝28.
故选B.
答案：B
2．解析：∵m＋2n＝8，2m＋n＝10，∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6，∴m和n的等差中项是＝3.
故选D.
答案：D
3．解析：设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意得即
解得所以a5＝a1＋4d＝.
答案：B
4．解析：由等差数列的性质知，a2＋a10＝a4＋a8＝16.
答案：16
5．解析：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
则有
解得
所以所求数列为1，3，5或5，3，1.§2　等差数列
最新课程标准 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．体会等差数列与一次函数的关系． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 学科核心素养 1.理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象) 2．了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会求等差数列的通项公式以及与等差数列通项公式有关的计算．(数学运算) 4．能利用等差数列解决相关的实际问题．(数学建模、数学运算)
2.1　等差数列的概念及其通项公式
第1课时　等差数列的概念及其通项公式(一)
[教材要点]
要点一　等差数列的概念
对于一个数列，如果从第________项起，每一项与它的前一项的差都是________，那么称这样的数列为等差数列，称这个________为等差数列的公差，通常用字母________表示．
状元随笔　(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．
(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数\”，即该常数与n无关．
(3)求公差d时，可以用d＝an－an－1来求，也可以用d＝an＋1－an来求．
注意：公差是每一项与其前一项的差，用an－an－1求公差时，要求n≥2，且n∈N*.
要点二　等差数列的通项公式
若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为：______________，此公式的推导方法是________．
状元随笔　等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个量(首项a1，公差d，项数n和第n项an)，如果知道了其中的任意三个，就可以由通项公式求出第四个．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列的公差不能为0. (　　)
(2)若一个数列从第三项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，则该数列为等差数列. (　　)
(3)若一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差是常数，则该数列为等差数列. (　　)
(4)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(　　)
2．(多选题)下列数列是等差数列的有(　　)
A．1，1，1，1，1　　 B．4，7，10，13，16
C．，1， D．－3，－2，－1，1，2
3．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(　　)
A．2 B．3
C．－2 D．－3
4．已知等差数列{an}中，d＝－，a7＝8，则a1＝________．
题型一　等差数列的判断
例1　判断下列数列是否为等差数列．
(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n.
方法归纳
定义法判定等差数列
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
跟踪训练1　判断下列数列是不是等差数列？
(1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…；
(2)－1，11，23，35，…，12n－13，…；
(3)1，2，1，2，…；
(4)1，2，4，6，8，10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
题型二　等差数列的基本量的计算
例2　(1)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，则an＝________.
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，则a15＝________.
方法归纳
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量．
(2)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．
(3)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
跟踪训练2　等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于(　　)
A．50 B．49
C．48 D．47
题型三　等差数列的概念及通项公式的综合应用
例3　已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求{bn}的通项公式；
(3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？
方法归纳
找出等差数列{an}与等差数列{bn}间的联系是解决本题的关键．
跟踪训练3　100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
易错辨析　忽视等差数列中的隐含条件致误
例4　已知{an}为等差数列，首项为，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是(　　)
A．d> B．d<
C．解析：由题意可得a1＝，且即
解得答案：D
【易错警示】
出错原因 纠错心得
(1)错选A，只看到了a10>1而忽视了a9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C，误认为a9<1，是由不会读题，马虎造成错误． 认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件．
[课堂十分钟]
1．下列数列是等差数列的是(　　)
A． B．1，
C．1，－1，1，－1 D．0，0，0，0
2．下列哪个数不是等差数列0，－3，－7，…的项(　　)
A．－20 B．－21
C．－ D．－
3．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于(　　)
A．－2 B．－
C． D．2
4．等差数列1，－1，－3，…，－89共有__________项．
5．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)问112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间有多少项？
§2　等差数列
2．1　等差数列的概念及其通项公式
第1课时　等差数列的概念及其通项公式(一)
新知初探·课前预习
要点一
2　同一个常数　常数　d
要点二
an＝a1＋(n－1)d　累加法
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．答案：ABC
3．解析：由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.故选C.
答案：C
4．解析：由通项公式得：
a7＝a1＋(7－1)＝8
解得：a1＝10.
答案：10
题型探究·课堂解透
题型一
例1　解析：　(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，∴数列{an}是等差数列．
(2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，∴数列{an}不是等差数列．
跟踪训练1　解析：由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．
题型二
例2　解析：(1)由题意得，解得
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)法一：(方程组法)由
得解得
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.
法二：(利用am＝an＋(m－n)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－，
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
答案：(1)2n　(2)－
跟踪训练2　解析：由题得2a1＋5d＝4，将a1＝代入得，d＝，则an＝(n－1)＝33，故n＝50.
答案：A
题型三
例3　解析：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列．
(1)因为a1＝3，d＝－5，所以an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.
数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，
即{bn}的通项公式为bn＝13－20n.
(3)b503＝13－20×503＝－10 047，
设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m，解得m＝2 011，
即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项．
跟踪训练3　解析：100是这个数列的项，
∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，
由7n－5＝100，得n＝15，
∴100是这个数列的第15项．
[课堂十分钟]
1．解析：由等差数列的定义可知，D正确．
故选D.
答案：D
2．解析：由题意可知：a1＝0，d＝－3.
所以此数列的通项公式为an＝－n＋
令－n＋＝－20，解得n＝，
因为－n＋＝－20没有正整数解，
所以－20不是这个数列的项．
故选A.
答案：A
3．解析：由题意，得
解得d＝－.
故选B.
答案：B
4．解析：由题意知a1＝1，d＝－2，an＝－89
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×(－2)＝－89
解得n＝46.
答案：46
5．解析：设{an}的公差为d，则
解得
(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项．
(3)由80<3n－5<110，解得
28所以n的取值为29，30，…，38，共10项．

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