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洛阳市2022年中招模拟考试（二）
数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．一个数的相反数－2，则这个数是（ ）
A．2 B．2或－2 C．－2 D．
2．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度减小，在芯片上的某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图．搭成这个几何体所用的小正方体的个数至少是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，，AC交直线b于点C，，则的度数是（ ）
A．50° B．45° C．35° D．30°
6．某中学四月份举行“读书节”活动，对七年级（1）班48位学生所阅读书籍数量情况进行统计，统计结果如下表所示，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
阅读书籍数量（单位：本） 1 2 3 3以上
人数（单位：人） 15 18 10 5
A．1，2 B．2，2 C．3，2 D．2，1
7．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
8．如图，中，，，，作的平分线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF的长为半径作弧，交BA于点G，则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为．将沿x轴向右平移得到，使点落在函数的图象上．若线段BC扫过的面积为9，则点的坐标为（ ）
A． B．（3，3） C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为（1，0），过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边做正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．不等式的最小整数解是______．
12．已知点，点在直线上，则m与n的大小关系是m______n（填“＞”“＜”或“＝”）．
13．一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放进若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中一次摸出两个球，使得摸出一个红球和一个黄球的概率等于摸出两红球的概率，则放入的红球个数为______．
14．如图，在中，，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F、G分别在BC、AC上，若，，且，则EF的长为______．
15．如图，正方形ABCD中，，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且，连接GH，则GH最小值为______．
三、解答题（共8小题，总75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（9分）2020年10月，国家卫健委疾控局发布《儿童青少年防控近视系列手册》，其中分别针对学龄前儿童、小学生、初中生和高中生，量身定制了不同版本的个性化“防控近视手册”．学校为了解学生关于近视防控知识的掌握情况，在七、八年级中分别随机抽取了20名学生进行问卷调查，得分用x表示，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：，，，，．对问卷得分进行整理分析给出了下面部分信息：
两组问卷得分的平均数，中位数，众数，满分率如表：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 满分率
七年级 60 m 60 5%
八年级 60 65 80 10%
其中：七年级分数在C，D组的数据为：60，40，40，60，60，70，60，50．
根据以上信息回答问题：
（1）扇形统计图中A的圆心角______度，信息表中______分，请补全频数分布直方图；
（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级的近视防控知识掌握更好，请说明理由；
（3）已知七年级有2000人、八年级有1800人，若分数大于等于60分即为合格，请估计七、八年级成绩合格的人数共有多少人？
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，曲线．
（1）求点D的坐标；
（2）当曲线G经过的对角线的交点时，求k的值；
（3）若曲线G刚好将边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则直接写出k的取值范围是______．
19．（9分）如图是某游乐场的摩天轮，小嘉从摩天轮最低处B出发先沿水平方向向左行走36米到达点C，再经过一段坡度为，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向左行走50米到达点E．在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为58°，摩天轮最高处A的仰角为24°．AB所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求AB的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）
20．（9分）如图，已知AB是的弦，C为上一点，AD是的切线．
（1）求证：；
（2）若于点B，，，求的半径．
21．（9分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套）
餐桌 a 380 940
餐椅 160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
22．（10分）已知，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，点B的坐标为．
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为，求y与x的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为，当m取何值时，拋物线与线段BC只有一个交点．
23．（10分）在和中，，，，点E在内部，直线AD与BE交于点F．
（1）如图（1），当点D、F重合时，则AF，BF，CF之间的数量关系为______；
（2）如图（2），当点D、F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立；
（3）如图（3），在和中，，，（k是常数），则线段AF，BF，CF之间满足什么数量关系，请说明理由．
洛阳市2022年中招模拟考试（二）
数学试卷参考答案
一、选择题：1~5．ABCAD 6~10．BDDBC
二、填空题：11．－1 12．＜ 13．3 14． 15．
16．（1）原式．
（2）解：原式
．
解：当时，原式．
17．（1）解：72，，八年级D组频数为（人），补全频数分布直方图如下：
（2）八年级成绩较好，理由：八年级学生成绩的中位数、众数、满分率均比七年级的高；
（3）（人），
答：七八年级成绩合格的人数共有2000人．
18．（1）∵，，∴．
又∵，，∴点D的坐标为．
（2）由点，可求得的中心坐标为，，
∴．
（3）从的中心上下移动曲线，如图1，当经过点时，，曲线上方有7个整点，下方有8个整点．如图2，当经过点时，，曲线上方有8个整点，下方有6个整点．综上，当时，曲线刚好将边上及其内部的“整点”分成数量相等的两部分．
19．过C作于M，过F作于N，如图所示：
则，，米，，，
∴，
∵斜坡CD的坡度为，米，
∴在中，设，，
，即，解得：，
∴（米），（米），
∵米，∴（米），
在中，，∴（米），
∴米，∴（米），
在中，，∵，
∴（米），∴（米）．
答：AB的高度约为120米．
20．（1）证明，如图，连接AO并延长交于点E，连接BE，
∵AE为直径，∴，∴．
∵AD是的切线，∴，
∴，∴，
∵，；
（2）解：∵，∴，
由（1）可知，∴，∴D，B，E三点共线，
∵，，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，∴半径为．
21．解：（1）根据题意，得：，
解得：，经检验，是所列方程的解，∴；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅张，销售利润为W元．
由题意得：，解得．
∵，∴餐桌的进价为260元/张，餐椅的进价为120元/张．依题意可知：
，
∵，∴W随x的增大而增大，∴当时，W取最大值，最大值为9200元．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
22．解：（1）∵抛物线过点，
∴把代入，整理得，解得，，
当时，，其顶点A的坐标为；
当时，，其顶点A的坐标为；
综上，顶点A坐标为或；
（2）∵，∴顶点A的坐标为，
∵点A的坐标记为，∴，∴；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线上运动，且形状不变，
由（1）知，当或3时，抛物线过，
把代入，得，
解得或－3，
所以当或－3时，抛物线经过点，
如图所示，当或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是且．
23．解：（1）
（2）过点C作，交BF于点G，∴，
∴即，
由（1）得，∴，
在和中，∵∴
∴，∴是等腰直角三角形，∴Q
∴．
（3），理由如下：过点C作，交BF于点G
由（2）得，∴Q，（k是常数）
∴，，∴，
由（2），∴
∴，∴，
在中，
∵，∴

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