资源简介

6.1　平面向量的概念
学习目标　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
知识点一　向量的概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.
知识点二　向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，).
3.模、零向量、单位向量
向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
思考　“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
答案　错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.
知识点三　相等向量与共线向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.
(2)规定：零向量与任意向量平行.
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
思考　(1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
答案　(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.
1.如果||>||，那么>.(　×　)
提示　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
2.若a，b都是单位向量，则a＝b.(　×　)
提示　a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b的方向可能不同.
3.力、速度和质量都是向量.(　×　)
提示　质量不是向量.
4.零向量的大小为0，没有方向.(　×　)
提示　任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.
一、向量的概念
例1　(多选)下列说法错误的有(　　)
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量都是相等的
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
答案　BCD
解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.
反思感悟　解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
跟踪训练1　下列说法中正确的是(　　)
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
答案　D
解析　不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
二、向量的几何表示及应用
例2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解　(1)向量，，如图所示.
(2)由题意，可知与方向相反，故与共线，
∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200 km.
反思感悟　作向量的方法
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练2　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解　(1)根据相等向量的定义，所作向量b与向量a方向相同，且长度相等(作图略).
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略).
三、相等向量与共线向量
例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与共线的向量；
(2)写出模与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量.
解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，EF＝BC.
又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)模与的模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
反思感悟　相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
跟踪训练3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有几个？
解　(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.
(2)存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.
特殊向量的作用
典例　给出下列命题：
①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；
④若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确的是________.(填序号)
答案　④
解析　由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a＝0，则对于任意的向量b，都有a∥b，知①错误；取b＝0，则对于任意的向量a，c都有a∥b，b∥c，知②错误；两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知③错误；由两个向量相等的概念可知④正确.
[素养提升]　(1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进行推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养.
(2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆.
例如：零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立.
1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　)
A.单位圆 B.一段弧
C.线段 D.直线
答案　A
2.(多选)下列说法错误的有(　　)
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的起点相同
C.若∥，则一定有直线AB∥CD
D.若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
答案　ABCD
解析　A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错，直线AB与CD可能重合；D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线.
3.若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
答案　C
解析　因为＝，
所以四边形ABCD为平行四边形，
又||＝||，即邻边相等，
所以四边形ABCD为菱形.
4.如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有________.(填序号)
①＝；
②∥；
③与共线；
④＝.
答案　①②③
解析　与方向相同，长度相等，∴①正确；
∵A，O，C三点在一条直线上，
∴∥，②正确；
∵AB∥DC，∴与共线，③正确；
与方向不同，∴二者不相等，④错误.
5.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
答案　0
解析　与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.
1.知识清单：
(1)向量的基本概念.
(2)向量的几何表示.
(3)相等向量与共线向量(平行向量).
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视零向量这一特殊向量.
1.给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.
其中是向量的有(　　)
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
答案　A
解析　速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有大小和方向.
2.(多选)下列命题中错误的有
A.温度含零上和零下温度，所以温度是向量
B.向量的模是一个正实数
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.若|a|>|b|，则a>b
答案　ABD
解析　温度没有方向，所以不是向量，故A错；向量的模也可以为0，故B错；向量不可以比较大小，故D错；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故若a与b不共线，则应均为非零向量，故C对.
3.设O是△ABC的外心，则，，是(　　)
A.相等向量 B.模相等的向量
C.平行向量 D.起点相同的向量
答案　B
解析　因为O是△ABC的外心，所以||＝||＝||.
4.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　)
A.＝ B.||＝||
C.> D.<
答案　B
解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等.
5.下列说法正确的是(　　)
A.若a∥b，则a＝b
B.若|a|＝|b|，则a＝b
C.若a＝b，则a与b共线
D.若a≠b，则a一定不与b共线
答案　C
解析　A中，当a∥b时，不能得到a＝b，A不正确；B中，向量的模相等，但a与b的方向不确定，B不正确；D中，a≠b，a可与b共线.
6.若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移的大小是________ km，方向是________.
答案　5　西北方向
7.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
答案　2
解析　由题意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，
设AC与BD的交点为O，
∴在Rt△ABO中，||＝||·cos 30°＝2×＝，
∴||＝2||＝2.
8.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是________.(填序号)
①与相等的向量只有1个(不含)；
②与的模相等的向量有9个(不含)；
③的模恰为的模的倍；
④与不共线.
答案　①②③
解析　由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项①②正确.而Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以||＝||，故||＝||，因此选项③正确.由于＝，因此与是共线的，故填①②③.
9.如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝.
证明　∵＝，∴AB＝DC且AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴＝，
又＝，∴CN＝MA，CN∥MA，
∴四边形CNAM是平行四边形，
∴＝，∴CM＝NA，CM∥NA.
∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN.
又DN∥MB，∴与的模相等且方向相同，
∴＝.
10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位移.
解　(1)向量，，，如图所示.
(2)由题意知＝，
∴AD∥BC，AD＝BC，
则四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，长度为6千米”.
11.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(　　)
A.||＝|| B.与共线
C.与共线 D.＝
答案　C
12.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||＝________.
答案　1
解析　连接AC，由||＝||得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，
则||＝||＝×2＝1.
13.已知在四边形ABCD中，＝且||＝||＝||＝2，则该四边形内切圆的面积是________.
答案　
解析　由＝知四边形ABCD为平行四边形，由||＝||＝||知四边形ABCD为菱形，△ABD为等边三角形，故∠ABC＝120°，菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处，令其半径为r，则r＝||sin 60°＝，所以S圆＝πr2＝π×2＝.
14.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 km，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向
40 km处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移.
解　(1)如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB＋BC＝70(km).
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为||＝＝50(km)，由于sin∠BAC＝，故方向为北偏东∠BAC，其中sin∠BAC＝.
15.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
解　(1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同.
16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值.
解　(1)画出所有的向量，如图所示.
(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，
||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.
所以||的最大值为，最小值为.

展开更多......

收起↑