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第十九章 一次函数复习
学习目标
1．了解本章的知识结构，对本章的知识脉络有一个清晰的认识；
2．掌握函数、正比例函数、一次函数的解析式、图象和性质；
3．理解函数与方程（组）及不等式的内在联系；
4．会建立函数模型解决实际问题．
知识梳理
1. 一次函数的概念
函数y=_________(k、b为常数，k______)叫做一次函数. 当b_____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数.
kx ＋b
≠0
=0
≠0
kx
(1)解析式中自变量x的次数是_____次，比例系数_______.
1
k≠0
(2)正比例函数是一次函数的特殊形式 .
★理解一次函数概念应注意下面两点
重点突破
考点1　一次函数的概念
注意：既要满足自变量x的最高次数为1，还要满足自变量一次项系数不能为0.
例1. 关于x的函数y=(m-2)+2+m是一次函数，则m=______.
-2
m2-3=1
m-2≠0
m=±2
m ≠ 2
m= -2
知识梳理
2. 平移与平行的条件.
(1)把 y=kx的图象向上平移b个单位得y=________，向下平移b个单位得y=________.
kx+b
(2)若直线y=k1x+b1与y=k2x+b2平行，则_______， .反之也成立 .
b1≠b2
k1=k2
kx-b
重点突破
考点2　平行和平移问题
例2．直线y=kx+b与y=-5x+1平行，且经过(2，1)，则k=_____，b=_______.
-5
11
直线y=kx+b与y=-5x+1平行
k =-5
y=-5x+b
经过(2，1)
b=11
知识梳理
(1)图象：正比例函数y=kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过_______的一条直线，我们称它为直线y=kx.
3. 正比例函数的图象与性质
(2)性质：当k>0时，直线y= kx经过第_______象限，从左向右上升，即随着x的增大y也_______；
当k<0时，直线y=kx经过第_______象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而________.
原点
一, 三
增大
二,四
减小
难点突破
考点3　正比例函数的图象与性质
例3. 正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A()和点B()，当时，则m的取值范围是_________.
y随x的增大而减小
1-2m＜0
m
知识梳理
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0，___)，(____，0)的_______.
4. 一次函数的图象及性质
(2)性质：当k>0时, 从左向右上升，即随着x的增大y也______；
当k<0时, 从左向右下降，即随着x的增大y反而______.
b
-
直线
增大
减小
难点突破
考点4　一次函数的性质
例4．已知一次函数y=kx－k，若y随着x的增大而减小，则该图象经过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
B
k <0
(二、四象限)
-k >0
(一、二、四象限)
知识梳理
5. 一次函数y=kx+b(k≠0)中k的作用及b的位置
k决定直线的方向和直线的陡、平情况.
k＞0，__________________.
k＜0，___________________.
|k|越大，直线越_____.
b＞0，_____________________________.
b＜0，_____________________________.
y
O
（0，b）
（0，b）
x
直线左低右高
直线交y轴正半轴(x轴上方)
直线左高右低
直线交y轴负半轴(x轴下方)
陡
难点突破
例5．如图，在同一直角坐标系中，关于x的一次函数y = x+ b与 y = bx+1的图象只可能是( )
x
x
y
O
y
O
O
x
x
y
y
A
B
C
D
考点5　一次函数图象
C
知识梳理
6. 一次函数与一元一次方程
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解．
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解．
x为何值时函数y= ax+b的函数值为0．
求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标．
重点突破
考点6　一次函数与一元一次方程
例6．如图，已知一次函数y＝2x－1的图象如图，当y＝3 时，求x的值．
解：由图象可知 y＝3 时，x＝2，也就是解方程 3＝2x－1，得x＝2.
知识梳理
7. 一次函数与二元一次方程组
解方程组
自变量(x)为何值时两个函数的值相等，并求出这个函数值.
解方程组
确定两直线交点的坐标.
从“数”的角度看
从“形”的角度看
难点突破
例7. 用图象法解方程组：
解：由①得：y=-2x+4
由②得：y=
作出图象：
观察图象得：交点(3,-2)
∴方程组的解为
x
O
y
y=-2x+4
y= - 4
考点7　一次函数与二元一次方程组
知识梳理
8. 一次函数与一元一次不等式
从“数”的角度看
从“形”的角度看
解不等式ax+b＞0 (a，b是常数，a≠0) ．
解不等式ax+b ＞0(a，b是常数，a≠0) ．
x为何值时函数y= ax+b的值大于0．
求直线y= ax+b在x轴上方的部分(射线)所对应的的横坐标的取值范围．
难点突破
考点8　一次函数与一元一次不等式
例8. 直线l1：与直线l2：在同一平面直角坐标系中，图象如图所示，则关于x的不等式的解集为__________.
知识梳理
用待定系数法求一次函数y=kx+b的解析式，可由已知条件给出的两对x、y的值，列出关于k、b的二元一次方程组. 由此求出k、b的值，就可以得到所求的一次函数的解析式.
9. 待定系数法求函数解析式
重点突破
得 ，
∴此一次函数的解析式为y= - x+6.
例9. 已知一次函数y=kx+b(k≠0)，当x=1时，y=5，且它的图象与x轴交点的横坐标是6，求这个一次函数的解析式.
考点9　待定系数法求解析式
解：把x=1时， y=5；x=6时，y=0分别代入解析式，
解得
知识梳理
10. 利用一次函数解决实际问题
①使用直译法求解一次函数应用题
所谓直译法就是将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法.
②使用列表法求解一次函数应用题
列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法.
③使用图示法求解一次函数应用题
所谓图示法就是用图形来表示题中的数量关系，从而观察出函数关系的解题方法. 此法对于某些一次函数问题非常有效，解题过程直观明了.
难点突破
出厂价 成本价 排污处理费
甲种塑料 2100(元/吨) 800(元/吨) 200（元/吨）
乙种塑料 2400(元/吨) 1100(元/吨) 100（元/吨）
每月还需支付设备管理、维护费20000元
例10. 塑料厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：
考点10　一次函数的实际应用
(1)设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为元和元，分别求和 关于x的函数解析式(注：利润=总收入-总支出)；
(2)已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？
难点突破
出厂价 成本价 排污处理费
甲种塑料 2100(元/吨) 800(元/吨) 200（元/吨）
乙种塑料 2400(元/吨) 1100(元/吨) 100（元/吨）
每月还需支付设备管理、维护费20000元
例10. 塑料厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：
考点10　一次函数的实际应用
(1)设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为元和元，分别求和 关于x的函数解析式(注：利润=总收入-总支出)；
解： (1)
难点突破
(2)已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？
解：(2)设该月生产甲种塑料x吨吨，则乙种塑料(700-x)吨，总利润为W元，
依题意得：W=1100x+1200(700-x)-20000=-100x+820000 ．
由题意得解得：300≤ ≤400
∵ -100<0，∴W随着x的增大而减小，
∴当x=300时，W最大=790000(元)．
此时，700-x=400(吨)．
因此，生产甲、乙塑料分别为300吨和400吨时总利润最大，最大利润为790000元．
随堂小测
1. 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y<0时，x的取值范围是( )
A. x<0 B. x>0 C. x<2 D. x>2
D
x
y
o
2
3
随堂小测
2. 已知直线y1=2x与直线y2= -2x+4相交于点A. 有以下结论：
①点A的坐标为A(1, 2)；
②当x=1时，两个函数值相等；
③当x＜1时，y1＜y2；
④直线y1=2x与直线y2=2x-4在平面直角
坐标系中的位置关系是平行.
其中正确的是( )
A. ①③④ B. ②③ C. ①②③④ D. ①②③
C
y1
y2
随堂小测
3. 已知一次函数y=kx+b, y随着x的增大而减小，且kb<0，则在直角坐标系内它的图象大致为( )
A
k<0
b>0
随堂小测
4．一次函数y=kx+3的图象经过点P(-1，2)，则k=________.
1
2=-k+3
k =1
随堂小测
5. 函数y=(m-2)x+ (m为常数).
(1)当m取何值时，y是x的正比例函数
(2) 当m取何值时，y是x的一次函数
解：(1)当m2-4=0且m-2≠0时，y是x的正比例函数，
解得m=-2.
(2)当m-2≠0时，即m ≠2时，y是x的一次函数 .
随堂小测
6. 已知：函数y=(m+1)x+2m-6.
(1)若函数图象过(-1，2)，求此函数的解析式.
(2)若函数图象与直线y=2x+5平行，求此函数的解析式.
(3)求满足(2)条件的直线与y =-3x+1的交点，并求这两条直线与y轴所围成的三角形面积.
随堂小测
6. 已知：函数y=(m+1)x+2m-6.
(1)若函数图象过(-1，2)，求此函数的解析式.
解：(1)由题意：2= -(m+1)+2m-6
解得m=9
∴ y=10x+12
随堂小测
6. 已知：函数y=(m+1)x+2m-6.
(2)若函数图象与直线y=2x+5平行，求此函数的解析式.
m+1=2
m=1
y=2x﹣4
随堂小测
6. 已知：函数y=(m+1)x+2m-6.
(3)求满足(2)条件的直线与y =-3x+1的交点，并求这两条直线与y轴所围成的三角形面积.
y=2x﹣4
解：由题意得
解得：x =1，y = -2
∴ 这两直线的交点是(1,﹣2)
y=2x-4与y轴交于(0, -4)
y=-3x+1与y轴交于(0 , 1)
S△=
x
y
1
1
﹣4
(1, -2)
-2
O
随堂小测
∴招聘甲种职员5 人，乙种职员10人时，超市每月所付的工资总额最少.
解：设招聘甲种职员x 人，则乙种职员(15- x )人，设超市每月所付的工资总额为y 元.由题意可得：y= 800 x+1000(15- x)=15000-200x .
∵15-x≥2 x ， ∴ 0≤ x≤5.
∵ y 是x的一次函数，-200＜0，y 随x的增大而减小,
∴当x=5时，超市每月所付的工资总额最少，
7. 某超市人事部要招聘甲、乙两种职员共15人，甲种职员每月的工资为800元，乙种职员每月的工资为1000元，要求乙种职员的人数不少于甲种职员的2倍，请你用所学知识帮人事部经理算一算甲、乙两种职员应各招聘多少名时，超市每月所付的工资总额最少？

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