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第2课时　等比数列的概念及其通项公式(二)
[教材要点]
要点　等比中项
如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成________数列，那么称G＝________为a，b的等比中项．
状元随笔　(1)若G是a与b的等比中项，则＝，所以G2＝ab，G＝±.
(2)等比中项与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项．
(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若G是a与b的等比中项，则G＝.(　　)
(2)若a，G，b满足G2＝ab，则a，G，b一定是等比数列．(　　)
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(　　)
(4)等比数列{an}中，a1，a4，a7，a10，…仍然是等比数列．(　　)
2．若三个正数1，b，16成等比数列，则b的值为(　　)
A．－4　　B．4
C．8 D．±4
3．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6的值为(　　)
A．4 B．8
C．36 D．32
4．若三个数3－，x，3＋成等比数列，则x＝________．
题型一　等比中项
例1　(1)(多选题)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项可能是(　　)
A．－ B．
C．－4 D．4
(2)在两个数a，b(ab>0)之间插入三个数，使它们成等比数列，则正中间的一个数是________．
方法归纳
应用等比中项解题策略
(1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示；
(2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要考虑与项的关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同．
跟踪训练1　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
题型二　等比数列的性质应用
例2　已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a5；
(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法归纳
运用等比数列性质计算的策略
运用等比数列的性质，“若m＋n＝p＋q，(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq；特别地若m＋n＝2p，(m，n，p∈N＋)则＝”，这样大大的简化了运算，因此在解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项序号之间的关系，以寻求满足数列性质的条件．
跟踪训练2　(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7.
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
题型三　等比数列的实际应用
例3　某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
方法归纳
等比数列应用题的两种常见类型
(1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．
(2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决．
跟踪训练3　一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
易错辨析　忽略等比数列各项的符号规律致错
例4　在等比数列{an}中，a5＝1，a9＝81，则a7＝(　　)
A．9或－9 B．9
C．27或－27 D．－27
解析：由等比中项的性质得＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a7＝9，故选B.
答案：B
【易错警示】
出错原因 纠错心得
没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a7＝±9，错选A. 在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当．
[课堂十分钟]
1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，则a5为(　　)
A．4 B．6
C．±6 D．±4
2．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　)
A．± B．－
C． D．±
3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　)
A．32 B．64
C．256 D．±64
4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________.
5．已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5与a7的等比中项．
第2课时　等比数列的概念及其通项公式(二)
新知初探·课前预习
要点
等比　±
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由等比中项知b2＝16，又b>0，∴b＝4.
故选B.
答案：B
3．解析：∵{an}是等比数列，∴a2a6＝＝36.
故选C.
答案：C
4．解析：由等比中项知：x2＝(3－)(3＋)＝4.
∴x＝±2.
答案：±2
题型探究·课堂解透
题型一
例1　解析：(1)由题意知an＝·2n－1＝2n－4>0
∴a4＝1，a8＝16
∴a4·a8＝16
∴a4与a8的等比中项是±4.
故选CD.
(2)由题意知，所求的中间项是a与b的等比中项，
设此数为G，则G2＝ab，故G＝±.
答案：(1)CD　(2)或－
跟踪训练1　解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，
∴b2＝(－1)×(－9)＝9
∵b<0，∴b＝－3.
又∵b2＝ac，∴ac＝9.故选B.
答案：B
题型二
例2　解析：(1)在等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以＝a1a5＝a2a4＝，所以a5＝.
(2)根据等比中项，化简条件得
＝25，即(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5＝5.
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
跟踪训练2　解析：(1)法一：相除得q8＝9.
所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.
法二：因为＝a3a11＝81，所以a7＝±9，
又因为a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.
(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.
所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.
题型三
例3　解析：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，
a3＝10(1－10%)2，….
由等比数列定义知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，
所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1.
所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元．
(2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1
＝7.29 (万元)．
所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元．
跟踪训练3　解析：由题意可得每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．
答案：45
[课堂十分钟]
1．解析：∵等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，
＝.故选C.
答案：C
3．解析：由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝＝a1a99＝16，又∵a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.故选B.
答案：B
4．解析：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝25.
答案：25
5．解析：设该等比数列的公比为q，首项为a1，
因为a2－a5＝42，所以q≠1，
由已知得，
所以
因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
所以由②除以①，得q(1－q)＝.
所以q＝.
所以a1＝＝96.
若G是a5，a7的等比中项，
则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962×＝9，
所以a5与a7的等比中项为±3.§3　等比数列
最新课程标准 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．体会等比数列与指数函数的关系． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 学科核心素养 1.理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象) 2．会求等比数列的通项公式，并能利用通项公式进行基本量的运算．(数学运算) 3．会利用等比数列的性质进行基本量的运算．(数学运算) 4．体会等比数列与指数函数的关系．(直观想象) 5．能在具体的问题情景中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算)
3.1　等比数列的概念及其通项公式
第1课时　等比数列的概念及其通项公式(一)
[教材要点]
要点一　等比数列的概念
文字语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)
符号语言 若＝q(n≥2，q是常数且q≠0)，则数列{an}为等比数列
状元随笔　(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．
(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．
(3)定义中的“同一个常数\”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．
要点二　等比数列的通项公式
若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝________(a1≠0，q≠0)．
状元随笔　(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．
(3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2，4，－8，16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　)
(2)数列－1，1，1，－1，…是等比数列．(　　)
(3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　)
(4)常数列一定为等比数列．(　　)
2．(多选题)下列数列不是等比数列的是(　　)
A．2，22，3×22，…　　　　　　B．，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0，0，0，…
3．已知{an}是等比数列，a1＝1，a4＝2，则a3＝(　　)
A．±2 B．2
C．－2 D．4
4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________．
题型一　等比数列的基本运算
例1　在等比数列{an}中
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
状元随笔　(1)由＝q3便可求出q，再求出a1，则an＝
(2)两个条件列出关于a1，q的方程组，求出a1，q后再由an＝1求n；也可以直接先由q＝入手．
方法归纳
等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
跟踪训练1　(1)在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于(　　)
A．－2 B．1或－2
C．1 D．1或2
(2)在等比数列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，则a2等于(　　)
A．12 B．18
C．24 D．36
题型二　等比数列与函数
例2　已知是等比数列{an}图象上的两点，求数列{an}的通项公式并判断{an}的单调性．
方法归纳
等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1<0，0(2)当a1>0，01时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；
(4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．
跟踪训练2　已知等比数列{an}为递增数列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
题型三　等比数列的判定
例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
变式探究　将本例中条件换为“数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1”，求证：{an＋1}是等比数列，并求an.
方法归纳
(1)定义法．
①涉及an＋1，an，an－1的式子，将关系式代入后证明或(n≥2)为常数．
②涉及Sn与an的式子，则利用an＝Sn－Sn－1，n≥2，消去Sn，判断an，an－1或an＋1，an的关系证明．
(2)通项公式法：an＝a1qn－1(a1，q为非零常数，n∈N＋) {an}为等比数列．
跟踪训练3　已知数列{an}的前n项和Sn＝a2n－1(a≠0，a≠1，n∈N＋)，试判断{an}是否为等比数列，请说明理由．
易错辨析　忽视q>0这一隐含条件致错
例4　若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比q＝________．
解析：由题意知a1a2＝16，a2a3＝162，
∴q2＝＝16，
∴q＝±4.
又∵此等比数列中隐含相邻的项同号，
∴q>0，
∴q＝4.
答案：4
【易错警示】
出错原因 纠错心得
没考虑到此等比数列中隐含相邻的项同号，致使错填为：±4. 在处理等比数列的项或公比问题 时，一定要注意数列的首项及公比的正负情况，总之要养成检验意识．
[课堂十分钟]
1．观察下面几个数列，其中一定是等比数列的是(　　)
A．数列1，2，6，18，54，…
B．数列{an}中，已知＝2，＝2
C．数列{an}中，＝n，其中n∈N＋
D．数列{an}中，＝－1，其中n∈N＋
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)
A．－ B．－2
C．2 D．
3．在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
4．在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则a6＝________.
5．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2an＋1.试说明数列{an}是等比数列，并求出其通项公式.
§3　等比数列
3．1　等比数列的概念及其通项公式
第1课时　等比数列的概念及其通项公式(一)
新知初探·课前预习
要点二
a1qn－1
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：≠，A不是等比数列；＝＝…，B是等比数列；当s＝1时，不是等比数列；当s≠1时，是等比数列，所以C不是等比数列；D显然不是等比数列．故选ACD.
答案：ACD
3．解析：设等比数列{an}的公比为q，则有1×q3＝2＝()3，
∴q＝，∴a3＝＝2，故选B.
答案：B
4．解析：∵a1＝－2，a3＝－8，∴＝q2＝＝4，∴q＝±2，∴an＝(－2)·2n－1或an＝(－2)·(－2)n－1，即an＝－2n或an＝(－2)n.
答案：－2n或(－2)n
题型探究·课堂解透
题型一
例1　解析：(1)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.
解析：(2)方法一：由已知可得
由得q＝，从而a1＝32.
又因为an＝1，所以32×＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，
所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
跟踪训练1　解析：(1)a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，
即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2，故选B.
(2)设公比为q，
由已知得6＋6q＋6q2＝78，
即q2＋q－12＝0
解得q＝3或q＝－4(舍去)．
∴a2＝6q＝6×3＝18.故选B.
答案：(1)B　(2)B
题型二
例2　解析：由题意知a2＝，a5＝
∴q3＝＝
∴q＝
∴an＝a2·qn－2＝＝3×
∴a1＝3
∵a1>0，0∴数列{an}单调递减．
跟踪训练2　解析：∵2(an＋an＋2)＝5an＋1
∴2an＋2an·q2＝5an·q
即2q2－5q＋2＝0
解得q＝2或q＝
∵等比数列{an}为递增数列
∴q＝2
又＝a10＝a5·q5
∴a5＝25＝32
∴32＝a1q4＝a1·24
∴a1＝2
∴an＝2×2n－1＝2n.
答案：2n
题型三
例3　解析：(1)当n＝1时，S1＝(a1－1)＝a1，解得：a1＝－，
当n＝2时，S2＝(a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
变式探究　解析：由an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2，
∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2×2n－1＝2n，
∴an＝2n－1.
跟踪训练3　解析：数列{an}是等比数列，
理由如下：
a1＝S1＝a2－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1)＝(a2－1)a2n－2
当n＝1时，a1＝a2－1，符合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N＋)
即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列．
[课堂十分钟]
1．解析：A选项不符合等比数列的定义，故不是等比数列；B选项不一定是等比数列，当数列只有三项时，它是等比数列；当数列多于3项时，不一定也等于2，故它不一定是等比数列；C选项不是等比数列，n不是定值；D选项是等比数列，满足等比数列的定义．故选D.
答案：D
2．解析：由a2＝2，a5＝，
知q3＝＝＝，
∴q＝.
故选D.
答案：D
3．解析：等比数列{(－1)n}的公比q＝－1，为摆动数列，不具有单调性．由公比q<1知等比数列{an}不可能为常数列．等比数列是递减数列，等比数列是递增数列．
故选D.
答案：D
4．解析：∵＝q3＝8，∴q＝2，a6＝a1q5＝1×25＝32.
答案：32
5．解析：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1,
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1＋1－2an－1＝2an＋1－2an,
∴－an＋1＝－2an，即an＋1＝2an
∴数列{an}是以2为公比的等比数列.
∵a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
∴an＝－1·2n－1＝－2n－1.

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